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大家好

下面我们进行第四章

导热问题数值解法

非稳态导热过程的学习

非稳态导热

我们以一个

一维非稳态导热问题为例

来主要进行

空间区域离散

以及时间变量离散

所要解决的重点问题

是非稳态项的离散方法

以及不同离散方法

对于计算的影响

下面我们进入这一节的学习

我们首先来看一下

说到的

一维非稳态导热问题的数学描述

和物理问题

我们针对的是这样一个

厚度为2δ的无限大的一个平壁

物性参数是已知的

知道了初始温度是t0

突然将其放置到一个

t∞的流体当中去

并且保持不变

两侧表面与流体的表面

换热系数均为h

这样一个

两侧是对称的问题

因此求解的时候

就可以取中心截面

到其中的一半厚度的部分

作为求解区域

问题的物理描述

是非稳态的一个一维的导热问题

有非稳态项

后面是Partial(t)

Partial(x^2)

沿着厚度方向

要求解它的温度分布

因为是非稳态问题

有一个初始条件

τ=0 的时候

温度等于t0

然后给出来边界条件

在X=0对称面上

是对称的条件

在边界上

半厚度的方向上

是第三类边界条件

首先需要进行一个

时空坐标的离散

这个图

给出来的是

水平方向是空间上的离散

(即) X方向上的离散点

竖直方向

是时间坐标上的离散

首先是把0到δ

分成了(N-1)等份

一共有N个节点

网格步长

就是空间步长 是△X

然后在时间方向上

把时间分成了

(I-1)个等份

有I个时层

时间步长是△τ

那么每一个时刻

每个位置上的温度

可以表示成t温度值

n是所在的空间位置

上标的(i)表示第i个时层

这里说到的

扩展项的离散

就是方程右边Partial^2(t)

Partial(x^2)的离散

与稳态导热是一致的

对于非稳态项的离散

这是我们主要要考虑的问题

以及扩散项

和非稳态项离散的时候

它取的时间层

是我们也关注的一个问题

我们首先采用热平衡法

进行内节点的控制方程的离散

因为是一个一维导热问题

分别在

X方向上的

w和e界面上

(推出)导入控制体的热流量

对它

进行热平衡法

(推导)求解

在w这个界面上

通过导热方式

流入控制体的热流量

写成φw

那么导热热流量

是导热系数乘以面积

因为在这个方向上

△y是等于1的

然后是温差

用的是t(n-1)的温度

减去tn的温度

除以节点的间距△x

得到在w界面上

导入控制体的热流量

相似地可以得到

在e界面上

流入控制体的热流量

如下这个表达式

对于这样一个非稳态导热问题

导入控制体的热流量的代数和

应该等于

控制体内能的一个增量

控制体内能的变化

用ρVc Partial(t)/Partial(τ)来表示

这里Partial(t)/Partial(τ)

写成离散的形式是

△t/△τ

在这里

用它前一步的

时间步上的温度值

和当前

第i时间步上的温度值

差值来表示

这个温差

就是用的是

Tn(i+1) 时层

减去Tn(i) 时层的温度值

除以两层之间的时间差△τ

热力学内能的增量

等于流入控制体的热流量

上述表达式

整理成如下的形式

这里最后要得到的是

因为已知的是

第i时层上的温度值

要求的是

第(i+1)时层上的温度值

我们最后整理出来

Tn(i+1) 等于如下的表达式

看出来在Tn(i) 温度变量的前面

这个系数是

(1- 表达式) 的形式

它有可能为正

也有可能会达到一个负值

通过刚才的分析

看出

由于非稳态项

选用时层不同

控制方程

会写成两种不同的形式

对于非稳态项

如果写成

(i+1)时层温度

和i时层当点的温度值

的一个差值的话

对于右边空间导数的离散

用的是

第i时层上的温度值

这样得到的是

一个显式的格式

就是说待求的是

第(i+1)时层上的温度值

后面(公式)对于当前的节点

周围的邻点(的温度)

都是用第i时层的旧值来表示

另外一种写法是

对空间导数的离散

采用的是

第(i+1)时层

新时层上的温度值

这样的话

得到的控制方程

是一个隐式的格式

这里面除了

当前点在i时层上的旧值之外

其它周围邻点的温度值

都是未知的

因此得到了一个

隐式表达式

所以说

内节点离散方程

由于

空间离散

和时间离散

采用不同的时层

会得到

一个是显式格式

一个是隐式格式

接下来我们再考虑

用热平衡法

进行显式格式离散

对于边界节点的处理

我们刚才说到了

在其中的一个边界

用到的是对称条件

在另外一个边界

给的是第三类边界条件

先看在右端边界上节点

同样还是采用热平衡法

流入边界的导热热流量

(是)左边第一项

流入边界的对流换热式流量

是这方程里面第二项

h(tf－tn(i))

流入边界节点

热流量的代数和

应该是等于本身这一(单元)点

内能的一个增量

那么用的是ρc

V是控制容积

△x/2 这样一个尺度

温差用的同样是

(i+1)时层上的温度值

减去i时层的温度值

除以△τ

这个方程

通过热平衡法得到之后

整理一下

得到了Tn(i+1)时层上

待求的温度变量

和第i时层上温度变量

之间的一个关系

这里 同样看到

在Tn(i)这个节点

温度变量前面的系数

它是有减号的

有可能系数会导致出来负值

至于左端边界

用到的是

对称的边界条件

也就是说

我们待求的温度变量是t1

它的邻点t2和t(-1)

它俩的温度值是相等的

利用刚才求内节点

温度的几个离散方程

把刚才的

t(-1)和t2的关系

代进来之后

就可以得到

在左边界

对称点上

t1

在(i+1)时层上

温度分布的离散表达式

这里看出来

这个表达式和内节点

温度分布的表达式是一致的

最后得到

通过热平衡法

显式(推导)得到的代数方程组

如下的形式

对于内节点

就是n取2到 N-1 范围内

(i+1)时层上

主控节点上的温度

和第i时层上

周围邻点温度之间的关系

(有)如下的形式

这里面

对称面的边界条件

温度分布的表达式

和它是一致的

对于第三类边界条件

在第(i+1)时层上

温度分布的表达式

有这样一个形式

这里面

对于Tn(i)节点上的温度值

同样系数都有可能变成负值

这样一个危险

这是显式代数方程组

主控方程

边界节点上的代数方程

以及初始条件

把刚才系数

里面的α△τ/△X^2

和下面的系数的表达式

分解成

节点上的Fo数

和 节点上Fo数

和Bi数乘积的形式

显式代数方程组

就整理成如下的这样一个形式了

另外一种

把偏微方程

转换成差分方程的形式

是直接采用差分代替微分

这是第二种求解方法

分别有向前差分和向后差分

这还是利用泰勒级数展开

向前差分

是指的时间层上温度

用(i+1)层的温度

和i层的温度值

这个差值

得到

Partial(t)/Partial(τ)的表达式

这里面

略去了高阶小项

得到了Partial(t)/Partial(τ)

采用向前差分

得到了这样一个

差分表达式

(表达式)后面有一个高阶小项

有△τ的这样一个截断误差

采用向前差分的时候

就是(将)Partial(t)/Partial(τ)

代入表达式 之后

空间导数的

离散仍然采用中心差分格式

最后得到了显式格式的离散形式

然后 还可以采用向后差分

就是说

Partial(t)/Partial(τ)可以采用的是

t(i-1)时层

和t(i)时层上的温度值之差

就是下一个时层和上一个时层之间的

温度值之差

来表示出来

这样导完之后

最后得到了隐式格式的

离散形式

就是说时间步上的离散

用的是(i+1)和i时层上

温度值

然后空间步上的离散

用的都是待求的

新的时层上的温度值

得到了隐式格式离散的形式

第三种 还可以采用中心差分(离散格式)

就是把

向前差分 向后差分

它两个代数表达式进行加合

得到Partial(t)/Partial(τ)

在第i时层上

时间步长的离散

用(i+1)时层和(i-1)时层 (温度)

来表示

用中心差分的这样一个形式

那么说到了

稳定性分析的问题

显式格式

因为系数

它有(1- ...) 的这样一个表达式

边界条件上的代数方程

更有(1- ... - ...) 一项

再减第二项的形式

因为系数必须反映

正的影响

就是在这个时层上变量值如果是升高

在下一个时层上

它的变量值应该还是

继续升高的这样一个趋势

为了能反映这个趋势

系数必须要求

是同号的

就是说

系数要求是大于零的

这里面如果

对于内节点 系数大于零

那么Fo数小于等于1/2

得到表达式

那么就是说

通过傅里叶数小于等于1/2

就给出来空间步长

和时间步长之间需要满足

一定的关系

带入第三类边界条件的时候

在边界节点上

更是需要对

网格尺寸和时间步长

有一个限定的关系

而隐式格式

系数

完全都是大于零的

所以说隐式格式是绝对稳定的

这里给出一个例题

我不做详细的讲解

只是分析一下

这个例题

是一维非稳态导热问题

我们假定

条件跟刚才我们分析的条件

是一样的

左边(界)对称条件

右边(界)第三类边界条件

做节点的离散之后

我们得到了

节点温度的表达式

这里

当采用显式格式

进行方程的离散的时候

Fo数

根据节点的

显式格式的稳定性分析

应该是小于一个条件的

这里的Fo数

是小于等于0.4

我们待求的是

傅里叶数等于0.1和0.5的时候

节点温度的变化

可以看出来

当傅里叶数等于0.1的时候

各节点温度变化趋势

是减少 减少

是一个正常的趋势

当傅里叶数等于0.5

就是说不满足

稳定性条件的时候

温度出现了

增大减小 增大减小

一个非正常的趋势

所以说

当(采用)显式格式的时候一定要注意

(进行)稳定性分析

空间尺度和时间尺度

需要有相对应的一个限制关系

最后我们对于

非稳态导热过程数值解法

做一小结

非稳态导热问题

有显式差分和隐式差分两种格式

其中温度对于空间坐标的二阶导数

常采用中心差分格式

温度对于时间的一阶导数

采用向前差分和向后差分格式

分别对应于

显式差分格式和隐式差分格式

非稳态导热问题的显式格式

数值解受稳定性条件限制

约束了空间步长和时间步长

必须满足稳定性条件

而隐式格式

则是无条件稳定的

非稳态导热问题的显式格式

可以采用直接求解

而隐式格式

可以通过迭代方法

通过联立求解代数方程组

进行求解

到此

我们完成了对于导热问题

数值解法的学习

谢谢大家