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大家好

这堂课我们讲一下

对流传热问题的数学描写

这里我们只限于

二维对流传热的分析

为了简化分析

我们要做一定的假设

一流体为连续性介质

二流体为不可压缩的

牛顿型流体

即服从牛顿粘性定律的流体

而像油漆泥浆等

它不遵守该定律

所以我们称之为非牛顿流体

三那么所有的物性参数为常量

四粘性耗散产生的耗散热

可以忽略不计

于是我们就有四个未知量

其中两个速度

一个温度 一个压力

于是我们需要四个方程

主要包括连续性方程

动量方程和能量方程

我们先看一下连续性方程

从流场中取出一个边长为dx

dy的微元体

那么单位时间内沿X轴方向

经X表面流入微元体的质量

Mx就等于pudy

单位时间内沿X轴方向

经X加dx表面流出

微元体的质量

Mxdx就等于Mx加上∂Mx

比上∂x乘以dx

这样单位时间内沿X轴方向

流入微元体的净质量

就可以表示为两者之差

最后可以整理为

-∂(ρu)比上∂x乘以dxdy

那么单位时间内沿Y轴方向的

流入微元体的净质量

同样我们可以得到两者之差

最后表示成负-∂(ρu)比上∂y

乘以dx dy

在单位时间内微元体

流体的质量变化还可以表示成

∂ρ比上∂τ乘以dx dy

这样根据质量守恒

流入为微元体的质量

等于微元体内流体质量的变化量

所以我们可以得到如下方程式

我们将其进行整理

就可以得到二维连续性方程

如果是三维条件下

应该是什么样的呢

三维就多了一个Z方向

所以再加一个∂(ρW)比上∂Z

然后这个就是三维条件下的

连续性方程

对于二维稳态流动密度为常数时

∂ρ比上∂τ应该是等于0的

所以我们就可以得到

二维连续性方程式

∂ρ比上∂x加上∂v比上∂y等于0

再看一下动量守恒方程

动量微分方程主要描述的是

流体的速度场

根据牛顿第二运动定律

作用在微元体上各外力的总和

等于控制体中流体动量的变化率

那么作用力就等于

质量乘以加速度

就是F等于ma

作用力主要包括体积力 表面力

而体积力又包括重力

离心力和电磁力

法向应力δ中包括了压力P

和法向粘性应力ζ

而压力P和法向粘性应力ζ的

区别主要是无论流体流动与否

P都存在而ζ只存在于流动时

而在同一点处

各方向的P都相同

而ζ与表面的方向都有关

进而我们可以获得

动量的微分方程

也就是标准的NS方程

在这里第一项是惯性项

第二项是体积力

第三项是压力梯度

第四项就是粘滞力

对于稳态流动∂ρ比∂τ等于0

∂v比∂τ等于0

而且只考虑重力场作用时

Fx就等于ρgx

Fy就等于ρgy

下面再看一下能量守恒方程

能量守恒主要是在描述

流体的温度场

其中导入与导出的净热量

再加上热对流传递的净热量

再加上内热源的发热量

等于总能量的增加量

加上对外做膨胀功

于是Q就等于ΔE加上W

而这个Q主要就是Q导热

Q对流和Q内热源

这里我们也需要做一定的假设

第一就是流体的热物性均为常量

流体不做功

所以就是对外做膨胀功的

W是等于0的

第二流体不可压缩

所以就是∂ρ比上∂τ等于0

第三一般工程问题流速较低

ΔUK也等于0

μΦ等于0

而在航空发动机的应用中

它的流速相当高

所以不适合这种情况

第四无化学反应等内热源

所以Q内热源就等于0

所以最后我们得到

Q导热加上Q对流

等于内能的增加量

那么我们下面进行一下推导

在单位时间内通过导热

传递到微元体的净热量Q导

就等于∂方t比上∂x方

乘以dxdy

然后在Y方向的一个导热

单位时间内沿着X方向

热对流传递的微元体的净热量

QX减QX加dx

最后我们可以得到

它等于负的ρcp

乘以∂(ut)比上∂x乘以dxdy

其中这里有一个Qx的一个换算

大家要注意一下

在单位时间内沿Y方向的

热对流传递到微元体的净热量

它可以表示成负的ρcp

乘以∂(vt)比上∂y乘以dydx

然后我们可以整理出

Q导热等于这个量

而Q对流等于两者之和

负的ρcp乘以u乘以∂t比上∂x

加上v乘以∂t比上∂y然后dxdy

∂ρ比上∂τ等于0

所以∂u比上∂x加上

∂v比上∂y它是等于0的

这个一定要注意

而内能的增加量就等于

ρcp乘以dxdy

再乘一个∂t比上∂τ

我们将根据能量守恒

Q导热加Q对流等于δU

所以得到了能量守恒的方程

如该图所示

这就是对流换热微分方程组

它的条件为常物性无内热源

二维 不可压缩牛顿流体

其中这个是连续性方程

这个是动量方程

这个是能量方程

一共四个方程

刚才提到四个方程 四个未知量

于是我们可以求得

速度场和温度场以及压力场

因为四个方程四个未知量

它是一个封闭的方程是有解的

而换热微分方程既适用于层流

也适用于湍流

通过前面四个方程

求出温度场之后

我们可以利用对流换热微分方程

进而求出当地对流换热系数h

要注意这里的λ

是流体的导热系数

完整的对流换热

数学描述要包括微分方程

还有就是定解性条件

定解性条件能够单值的反映出

对流换热过程的特点

而定解条件主要包括以下四项

第一几何条件

它是说明对流换热过程中的

几何形状和大小

第二个就是物理条件

说明对流换热过程中的物理特性

比如物性参数这些值

是否随温度和压力变化

有无内热源

第三点就是时间条件

说明在时间上

对流换热过程的特点

就是稳态还是非稳态

第四个边界条件

说明对流换热过程的边界特性

而边界条件可以分为两类

第一类边界条件和

第二类边界条件

其中第一类边界条件

主要是已知任意瞬间

对流换热过程边界上的温度值

要求求解壁面法向的温度变换率

第二类边界条件

是已知任意瞬间对流换热过程

边界上的热流密度值

要求求解壁面上的温度

以上就是对流传热问题

完整的数学描写

谢谢大家