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同学们好
本节我们讲辐射传热的角系数
热辐射的发射和吸收
具有空间方向特性
因此表面间的辐射传热
与表面的几何形状大小
及其相对位置等因素有关
那么这些因素
通常用角系数来统一考虑
角系数的概念
是随着固体表面辐射
换热计算的出现与发展
于20世纪20年代提出的
它有很多的名称
比如形状因子 可视因子
交换系数等
但叫的最多的是角系数
那么什么是角系数呢
角系数是指表面1发出的辐射能中
落到表面2的百分数
我们就称之为
叫表面1对表面2的角系数
把它记为X12
我们来看
假如说有两个任意的黑体表面
它们在空间的位置随意摆放
那么这个时候
我们去根据角系数的定义
来看它的角系数应该是怎么去计算
假如说表面1是一个微元面
表面2也是一个微元面的话
求表面1对表面2的角系数
实际上也就根据定义知道
就相当于是表面1
向外界发出的总辐射能中
有多少落到了表面2上
去除上对表面1发出的总辐射能
既Xd1,d2应该等于Φd1,d2除上Φd1
那么Φd1等于什么呢
它应该是表面1
向外界发出的所有的辐射能
它就应该等于表面1的黑体辐射率
乘上它的面积值
那表面2有多少落到了表面2上呢
那么就是表面1发出的辐射能
在一个半球空间上
它落在表面2上的这个能量
应该是Φd1,d2等于Ib1乘以cosθ1乘以dA1乘以dΩ1
其实这就是兰贝特定律
那么这里边的dΩ1是立体角
立体角它应该等于什么呀
根据立体角的定义
我们知道它是dAC除以r的平方
但是大家要知道
在那个里面的dAC
其实指的是
在半球空间球面上的面积
显然我们这个dA2
不是处在
dA1所画出的这个半球空间的
这个球面上
所以我们要对dA2进行旋转
让他达到dA1发出的
这个半球空间的这个球面上
那么也就是说dΩ1等于dA1乘以cosθ2除以r的平方
好我们把这些都带到Xd1,d2里面
我们就可以得到Xd1,d2等于
Ib1乘以cosθ1乘以dA1乘以dΩ1除以Eb1除以dA1
00:03:22,460 --> 00:03:26,853
那么Ib1除以Eb1等于π分之一
其实这还是兰贝特定律
兰贝特定律的另外一种表述形式
那么最终Xd1,d2等于dA2乘以cosθ1乘以cosθ2除以πr的平方
这就是任意两个黑体微元面之间
它的角系数的表达式
那么角系数的应用条件是什么呢
一要求我们所研究的表面
是一个漫射表面
所谓的漫射表面
其实指的是它服从兰贝特定律
也就是说它在整个半球空间
它的定向辐射强度是不变
那么第二个就是在不同的地点上
向外界发射的辐射热流密度
是均匀的
假如说我们碰到了一个表面
它在不同的部位
它的辐射热的密度不一样怎么办呢
那么这个时候
其实我们可以把这个辐射面
划分为若干个热流密度均匀的子面
每一个子面
都是符合这个要求的
这样的一个表面
我们去分别去计算它的角系数
就可以
如果满足了这样的两个条件
其实我们不难理解
那么这个时候表面的温度也好
和发射率也好
它只会影响表面
向外界辐射的能量值的高低
而对表面向外界发射出去
在半球空间里面的能量的分布
是没有影响的
那么这个时候
我们可以说在这种条件下
角系数其实就是一个什么呀
纯粹的几何因子
它只跟表面的几何空间位置有关
而跟它的温度和发射率没有关系
从角系数的定义式
其实我们可以看到
那么它就是跟几何空间位置相关的
这样的一个表达式
角系数的性质
角系数具具有这样的几个性质
一就是相对性
所谓的相对性我们再看
还是任意两个位置的微元面
那么Xd1对d2的它的这样一个角系数
比较这两个公式我们不难发现
也就是说任意两个面
它们之间的角系数不是随意
而是要满足这样的一个关系
就是说面积乘上角系数
应该等于另外一个面的面积
乘上另外一个面对本面的角系数值
那么根据这个公式
实际上我们不难推想
一旦两个面之间
一旦有一个面
对另外一个面的角系数确定了之后
其实另外一个面
对这个面的角系数值
我们就可以用这种公式
把它直接求算出来
而不需要再重新按照这种定义式
对它进行求解
那么刚才我们看到的是
微元面对微元面
实际我们的物体
应该都是一个面对面
那么对面对面来说
实际上我们还是从定义出发
因为我们知道角系数是能量的比值
假如说现在有两个表面
一个是A1面一个是A2面
那么实际上表面1对表面2的角系数
就应该等于什么呀
Φ1,2除上Φ1
这里的Φ1
指的是表面1向半球空间
发射出去的所有的能量
然后Φ1,2表明的是
表面1发出去的能量
落到表面2上的份额数
那么显然它就应该等于什么呀
微元面
我们在各自的两个表面上
取一个微元面dA1和dA2
那么就应该等于这个Φ1
就应该等于在微元在表面1上的
对微元面的面积分
就是分母上的这个值
而分子上的Φd1,d2
我们前面知道是表面微元面1
对发出去的能量
有多少落到微元面2上
那么Φ1,2就应该是什么呀
整个表面1发射出去的能量
有多少落到了表面2上
那么这个时候
就应该是一个两重的面积分
就是在面1和面2上都进行积分
好然后我们一样按照这个定义式
把它一点点代进去
最后我们就可以化简到
X1,2实际上就等于A1分之1
乘上一个两重面积分乘上Xd1,d2 dA1
这是表面1对表面2的
这样的一个角系数
反过来我们再看
表面2对表面1的角系数
还是它应该是一个能量的比值
然后我们把它代进去
两个面的面积分
第三步我们看
得到的应该是A2分之一
两个面积分cosθ1 cosθ2 dA1除上πr的平方dA2
那么它就等于什么
A2分之一
Xd2,d1 dA2一个双重面积分
而我们知道两个微元面来说
Xd1,d2 dA1应该等于Xd2,d1 dA2
好我们就可以得到
最后的这一行的式子
那么也就是说X2,1
应该等于A2分之一
乘上双重面积分Xd1,d2 dA1
比较这两页的公式
我们就会发现它就有满足A1
乘上X1,2等于A2乘上X2,1
那么一样
也就是说任意两个面之间
那么它们之间的角系数
是满足这样的一个约束关系
角系数的第二个性质就是完整性
所谓的完整性
指的是在由若干个表面
构成的一个封闭体系里面
任意表面对其他表面的角系数的和
加起来应该是1
那么这一点我们不难理解
比如我们看到这个图
有一个七个表面
构成的这样的一个封闭体系
那么我们根据角系数的定义知道
假如说表面1向外面发射出去的能量
它分别落到了表面2表面3表面4
表面5表面6表面7上
假如说表面1还是一个凹面
如虚线所示的话
那么它还有一部分
会落到表面1自身上
但是不管怎么样
发射出去的所有的能量
被这七个面所吸收
也就是说表面1发射出去的
所有的能量分别落到了七个表面上
而分母是表面1发射出去的所有能量
那么显然就应该是X1加上X1,2
加上X1,3加上一直加到X1,7
应该等于1
那么这就是它的完整性的表述
当然如果表面1是一个非凹面
就是说是一个凸面或者平面的话
实际上这个时候X1等于0
那么为了表示
表达这个公式的完整性的话
我们仍然把它写成了一个X1
一直加到X1,n等于1
角系数的第三个性质就是可加性
如图我们可以看到
假如说有两个表面表面1和表面2
我们把表面2
分为了表面2A和表面2B
那么这个时候
表面1对表面2的角系数
就可以写为等于什么呢
表面1对表面2的角系数
就等于表面1对表面2a的角系数
加上表面1对表面2b的角系数
那么这一点
其实我们从能量分配的角度来说
也是容易理解的
但是我们要注意反过来
就是表面2对表面1的角系数
却不存在表面2a对表面1的角系数
加上表面2b对表面1的角系数
这样的一个关系
我们来看一下
它的整个这样的一个分析过程
如果表面1对表面2的角系数
实际上还是能量的分配
这是一个能量守恒关系
那么这个时候
我们Φ等于什么呀
应该等于它的黑体辐射率
乘上它的面积
那么再乘上Φ1,2
就是表面1落到表面2上的这个份额
就是X1,2
那么同样的道理
那么显然X1,2应该等于X1,2a
加上X1,2b
如果反过来
就是表面2对表面1的角系数
那么这个时候
应该是能量守恒
这个是没错的
那我们进一步写出来
应该是A2乘上Eb2乘上X2,1
那么这个时候
最终我们会发现X2,1
应该等于A2a除上A2乘上X2A1
加上A2b除上A2乘上X2b
那么显然也就是说
表面2对表面1的角系数
是不能够把它拆分开
角系数的计算
角系数的计算我们有两种办法
一直接积分的方法也就是说我们按照角系数的定义
直接对它进行积分
那么这种方法
好处是物理意义非常明确
那对任意表面我们都可以进行求解
但是它的困难在于
我们会发现角系数
实际上是一个双重面积分
也就是说实际上它是一个四重积分
那么对这样一个四重积分来说
其实就会很困难
那么或者说
我们在有些情况下的积分的原函数
我们都找不到
它的难点是在于
这个角系数是一个双重面积分
实际上它是一个四重积分
那么这种四重积分
从数学上求解就会很困难
甚至于有一些原函数
我们都找不到
那么另外一种办法
叫系数的求解方法
就是代数分析的方法
所谓代数分析的方法
是指利用角系数的性质
经过代数运算或者数学运算
来求取角系数的数值
比如说我们现在有一个三个表面
构成的这样一个封闭体系
A1 A2 A3
那么它们构成一个封闭的体系
那么针对这样的一个封闭体系
我们利用角系数的完整性
就可以得到X1,2加上X1,3
等于X2,1加上X2,3等于X3,1加上X3,2
等于1
这是它的完整性
那我们利用它的相对性
其实我们一样
也可以得到这样的三个式子
我们可以看到这样六个公式里边
我们需要求取的是什么呀
是角系数
也就是说六个式子六个未知数
那么显然这样的一个方程组
我们求解完了以后
就可以得到
六个角系数的具体的数值
那么解这样的一个方程组
比如说我们是X1,2的话
就可以知道X1,2等于A1加上A2
减去A3除上一个2倍的A1
也就是说角标所涉及到的
两个面的面积和
减去第三个面的面积
除上这个本表面的面积的2倍
那么这就是它的角系数的值
假如说这个系统在这个横截面上
它的三个表面的这个长度
分别是L1,L2和L3的话
那么面积实际上和这个边长
就可以产生这种对应的关系
就是X1,2也可以表述为L1加上L2
减去L3除上一个2倍的L1
那么这是
对三个表面构成的封闭体系
我们可以求出来角系数值
如果是任意两个表面怎么样
角系数
我们首先需要
让他是一个封闭的体系
那么这个时候
我们可以添加假想面
或者添加辅助线的方式
比如说我们现在有两个表面
A1 A2这样的两个表面
用线段来表示的话
就是ab和cd他们是不封闭
那好
我们需要添加这样的一个辅助线
两条红线
首先让这个系统进行封闭
然后我们再把ad和cd进行连接
那么对abcd这样的一个封闭系统
来说的话
显然如果我们要求的是
表面1对表面2的角系数
就是Xa,b对cd的话
那么对一个封闭体系来说
它应该是什么呀
Xab,cd等于1减去Xab,ac减去Xab,bd
就是说表面1对表面2角系数
应该等于1减去
表面1对左侧的红线角系数
再减去表面1对右侧的红线角系数
那Xab,ac 应该等于什么呢
我们看三角形abc
这是不是也是一个封闭体系
那么这个时候
我们用上面的这个三表面封闭体系
这样的一个公式
我们是不是就可以得到Xab,ac
就应该等于ab加ac减去bc
除上一个2倍的ab
同样的道理我们对三角形abd
是不是我们就可以知道Xab,bd
就应该等于ab加bd减去一个ad
除上一个2倍的ab
那么这也是一个方程组
对这样的一个方程组
我们对它进行求解我们就可以得到
Xab,cd就等于bc加上ad减去
ac加上bd除上2倍的ab
或者说它等于什么呢
交叉线之和减去不交叉线之和
除上一个两倍的表面1的短片长度
那么这种方法
我们就把它称之为叫什么
交叉线法
只不过是这里面我们要注意的
这里所谓的交叉线指的是什么呀
辅助线
这个不交叉线指的是什么呀
也是辅助线
好本节课我们就讲到这
谢谢大家
-1.1传热学的研究内容及其应用
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-1.2热量传递的三种基本方式
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-第一章--1.2热量传递的三种基本方式
-1.3传热过程与传热热阻
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-第一章--1.3传热过程与传热热阻
-2.1导热基本定律
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-2.2热导率的概念
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-第二章--2.2热导率的概念
-2.3导热微分方程
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-第二章--2.3导热微分方程
-2.4导热微分方程单值条件
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-第二章--2.4导热微分方程单值条件
-2.5平板稳态导热问题
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-第二章--2.5平板稳态导热问题
-2.6圆筒壁的稳态导热问题
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-第二章--2.6圆筒壁的稳态导热问题
-2.7球壳稳态导热
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-第二章--2.7球壳稳态导热
-3.1集总参数法-I
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-3.2集总参数法-II
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-第三章--3.2集总参数法-II
-4.1稳态导热解-I
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-4.2稳态导热解-II
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-4.3非稳态导热解
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-第四章--4.3非稳态导热解
-5.1对流传热概说
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-第五章--5.1对流传热概说
-5.2对流传热问题的数学描写
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-第五章--5.2对流传热问题的数学描写
-5.3.1流动边界层与热边界层
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-第五章--5.3.1流动边界层与热边界层
-5.3.2二维稳态边界层型对流传热问题的数学描述
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-第五章--5.3.2二维稳态边界层型对流传热问题的数学描述
-6.1相似原理
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-6.2量纲分析及相似原理的应用
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-第六章--6.2量纲分析及相似原理的应用
-6.3.1管槽内强制对流流动和换热的特点
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-第六章--6.3.1管槽内强制对流流动和换热的特点
-6.3.2管槽内湍流强制对流换热实验关联式
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-第六章--6.3.2管槽内湍流强制对流换热实验关联式
-6.3.3管槽内层流与过渡流动强制对流换热实验关联式
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-6.4外部流动强制对流换热实验关联式
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-第六章--6.4外部流动强制对流换热实验关联式
-6.5.1大空间与有限空间自然对流传热
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-第六章--6.5.1大空间与有限空间自然对流传热
-6.5.2大空间与有限空间自然对流传热的实验关联式
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-6.6射流冲击传热的实验关联式
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-第六章--6.6射流冲击传热的实验关联式
-7.1凝结换热及影响因素-I
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-第七章--7.1凝结换热及影响因素-I
-7.2沸腾换热及影响因素-II
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-第七章--7.2沸腾换热及影响因素-II
-8.1热辐射基本定律
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-第八章--8.1热辐射基本定律
-8.2实际物体辐射特性
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-第八章--8.2实际物体辐射特性
-9.1-角系数
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-第九章--9.1-角系数
-9.2-多表面间的辐射热量-净热量法
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-第九章--9.2-多表面间的辐射热量-净热量法
-9.3多表面间的辐射热量-网络图法-
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-第九章--9.3多表面间的辐射热量-网络图法-
-10.1换热器的类型
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-第十章--10.1换热器的类型
-10.2换热器对数平均温差的计算
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-第十章--10.2换热器对数平均温差的计算
-10.3换热器的热计算：1平均温差法
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-10.4换热器的热计算：2效能-传热单元数法
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