当前课程知识点：微积分（先修课） > 第一章 极限 > 1.2 极限的概念 > 1.2.3 极限的概念(3)
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微积分MOOC课程
今天我们介绍
第一章 极限
第二节 极限的概念（3）
函数在一点的单侧极限
指的是函数在一点的左极限和右极限
在我们研究分段函数在分段点的极限
或者是研究函数在它的定义域的
区间的端点的极限时
都会碰到单侧极限的问题
在这一讲中
我们将介绍左极限和右极限的概念
并给出函数在一点的极限
与左右极限的关系
下面 我们给出函数在一点的
单侧极限的概念
定义3 假设函数f(x)在x0的
左侧某个开区间(x0-δ0,x0)内是有定义的
如果x从左侧趋向x0时
函数值f(x)趋向于某个常数A
我们就称A是函数f(x)在x0处的左极限
记作lim x趋向于x0负时f（x）的极限等于A
假设函数f(x)在x0右侧的
某个开区间内有定义
当x从x0的右侧趋向x0时
函数值f(x)趋向于某个常数A
我们就称A是这个函数f(x)在x0处的右极限
记作lim x趋向于x0正时f（x）的极限等于A
根据函数在一点左极限和右极限的定义
那么 通过前面我们的讨论
我们就知道符号函数在0这点的左极限是等于-1的
它在0这点的右极限是等于+1的
例1 函数f(x)是一个分段函数
它在x>0时的表达式是x+1
在x<0时的表达式是x-1
我们求f(x)在x=0的左极限和右极限
我们要求f(x)在x=0这点的左极限
也就是要求x-1在x<0趋向于0时的极限值
所以f(x)在x=0这点的左极限就等于-1
我们要求函数f(x)在x=0的右极限
也就是要求x+1在x>0趋向于0时的极限值
因此它在这点的右极限就等于+1
第二个例题 f(x)是一个分段函数
在x>0时它的表达式是xsin(1/x)
在x<0时它的表达式是cosx
我们求f(x)在x=0的左极限和右极限
f(x)在x<0时它的函数值是cosx
所以它在x=0这点的左极限
也就等于x<0趋向于0时cosx的极限
也就等于cosx在0这点的函数值 等于1
f(x)在x=0的右极限
也就是xsin(1/x)在x>0趋向于0时的极限
这个极限值等于0
第三个例题 函数f(x)是一个分段函数
在x>0时它的表达式是1-x的平方
在x<0时它的表达式是cosx
我们求f(x)在x=0的左极限和右极限
函数f(x)在x=0的左极限等于1
f(x)在x=0的右极限
也就是1-x的平方在x>0趋向于0时的极限
这个极限值也是1
在前面这三个例题中
尽管f(x)在x=0的左极限和右极限都是存在的
但是在前两个例题中
函数f(x)在x=0的极限并不存在
而在第三个例子中
函数f(x)在x=0的极限是等于1的
我们知道在一点我们给出了函数极限
函数的左极限和函数的右极限
三个概念
那么在同一点
函数的这三个极限之间
有没有相互关系
如果有 这种关系又是什么呢
下面我们给出一个结论
定理1
假设函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义
那么函数f(x)在x0点的极限存在
它的充分必要条件是
f(x)在x0这一点的左极限和右极限都存在
而且值是相等的
下面我们给出这个定理的一个简单证明
我们要证等价性 实际就是要证两个方面
既要证必要性 也要证充分性
首先我们来证必要性
也就是如果知道函数在这点的极限存在
我们来证明它在这点的左右极限都存在
而且相等
我们记f(x)在x趋向x0时的极限等于A
那么对于任意的正数ε
根据极限的定义
就一定存在一个正数δ
只要x满足它到x0的距离小于δ大于0
那么就有|f(x)-A|是小于ε的
所以 只要x0-δ 这就说明了f(x)在x0这点的左极限是等于A的 同时只要x0 这就说明f(x)在x0这点的右极限也是等于A的 这样我们就证明了必要性 下面我们看一下充分性的证明 我们记f(x)在x0这一点的 左极限和右极限的值就是A 那么对于任意的大于0的数ε 根据左极限它的定义 我们就知道 一定存在一个大于0的数δ1 只要x0-δ1 对于同一个ε来说 我们根据函数在x0这点右极限的定义 就会找到一个大于0的数δ2 只要x0 如果我们取δ是δ1和δ2中的最小的 那么当x到x0的距离小于δ而大于0时 那么x一定满足 它要么是大于x0-δ1小于x0 要么它是大于x0小于x0+δ2的 这时我们一定有|f(x)-A|<ε 那么根据函数在一点的极限定义 这样我们就证明了 f(x)在x趋向x0时的极限是等于A的 这就是充分性的证明 下面我们看两道例题 例4 我们看一下arctan(1/x)这个函数 在x趋向于0时的极限是否存在 根据反正切函数的图象 我们知道 当x大于0趋向于0时 1/x是趋向正无穷的 那么它对应的反正切函数 它的函数值应该是趋向于π/2的 也就是说arctan(1/x)在x=0这点的右极限是等于π/2的 类似地 我们可以得到这个函数在x=0这点的 左极限是等于-π/2的 尽管这个函数在x=0这一点 它的左右极限都存在 但是因为它们的值并不相等 所以这个函数在x=0这点的极限并不存在 例5 我们来看一下函数e的(1/x)在x=0 这点的极限的存在性 根据指数函数的性质 我们知道x大于0趋向于0时 e的(1/x)它并不趋向于一个确定的值 也就是这个函数在x=0这点的右极限并不存在 所以它在这点的极限也不存在 在这一讲中 我们介绍了函数在一点的左极限和右极限的概念 并给出了函数在一点的极限与左右极限的关系 当我们讨论函数在一点的极限是否存在时 首先就应该看看它的左右极限是否存在 进一步再看左右极限的极限值是否相等 到现在为止 我们已经讨论完了函数在一点的极限的基本概念 下一讲开始 我们将介绍函数在无穷远处的极限 好 谢谢同学们 下一讲再见
-0.1 绪论
--0.1.1 绪论
-1.1 极限概念引例
--第1.1节测试 极限概念引例
-1.2 极限的概念
--第1.2节测试 极限的概念
-1.3 极限的性质
--第1.3节测试 极限的性质
-1.4 极限的运算
--第1.4节测试 极限的运算
-1.5 夹逼定理与单调有界收敛定理
--第1.5节测试(1) 夹逼定理与单调有界收敛定理
--第1.5节测试(2) 夹逼定理与单调有界收敛定理
-1.6 两个重要的极限
--第1.6节测试 两个重要的极限
-1.7 无穷小量
--第1.7节测试 无穷小量
-2.1 连续函数的概念
--第2.1节测试 连续函数的概念
-2.2. 初等函数的连续性结论
--第2.2节测试 初等函数的连续性结论
-2.3 连续函数的性质
--第2.3节测试 连续函数的性质
-3.1 导数与导函数
--第3.1节测试 导数与导函数
-3.2 微分
--3.2.1 微分
--第3.2节测试 微分
-3.3 导数的运算
--第3.3节测试 导数的运算
-3.4 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
--3.4.1 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
--第3.4节测试 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
-3.5 高阶导数
--第3.5节测试 高阶导数
-4.1 极值和极值点
--第4.1节测试 极值和极值点
-4.2 微分中值定理
--第4.2节测试 微分中值定理
-4.3 洛必达法则
--第4.3节测试(1) 洛必达法则
--第4.3节测试(2) 洛必达法则
-4.4 函数单调性的判定
--第4.4节测试 函数单调性的判断
-4.5 函数的极值及其求法
--第4.5节测试 函数的极值及其求法
-4.6 函数的最值及其应用
--第4.6节测试 函数的最值及其应用
-4.7 曲线的凸性和拐点
--第4.7节测试 函数的凸性和拐点
-4.8 曲线的渐近线
--第4.8节测试 曲线的渐近线
-4.9 泰勒（Taylor）公式
--第4.9节测试 泰勒公式
-4.10 原函数与微分方程初步
--第4.10节测试 原函数与微分方程初步
-5.1 定积分问题举例
-5.2 定积分的概念
--第5.2节测试 定积分的概念
-5.3 定积分的基本性质
--第5.3节测试 定积分的性质
-5.4 微积分基本定理
--第5.4节测试 微积分基本定理
-5.5 定积分的几何应用
--第5.5节测试 定积分的几何应用
-5.6 定积分的物理应用
-6.1 换元积分法
--第6.1节测试 换元积分法
-6.2 分部积分法
--第6.2节测试 分部积分法
-6.3 有理函数的积分法
--第6.3节测试 有理函数的积分法
-6.4 定积分应用举例
--第6.4节测试 定积分应用举例
-6.5 反常积分
--第6.5节测试 反常积分
-7.1 无穷级数
--第7.1节测试 无穷级数
-7.2 正项级数
-7.3 比值判敛法和根式判敛法
--第7.3节测试 比值判敛法和根式判敛法
-7.4 一般项级数
--第7.4节测试 一般项级数
-7.5 幂级数
-7.6 函数的幂级数
--第7.6节测试 函数的幂级数
-7.7 泰勒级数
--第7.7节测试 泰勒级数
-7.8 幂级数的简单应用
-8.1 一阶可求解常微分方程
--第8.1节测试 一阶可求解常微分方程
-8.2 一阶线性微分方程
--第8.2节测试 一阶线性微分方程
-8.3 二阶线性常系数微分方程
--第8.3节测试 二阶线性常系数微分方程
-8.4 常系数微分方程简单应用举例
-期末考试
--期末考试说明
-期末考试--期末考试
