1.6.1 两个重要的极限(1)在线视频

同学们大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第一章

极限

第六节两个重要极限

在微积分课程中

sinx比上x在x趋向于0

时的极限

与1加x分之一的x次方

在x趋向于无穷时的极限

代表了两种常见的极限类型

也就是

0比0型的分式极限

和1的无穷次方型的

幂指函数极限

这两个极限的结果

对于一些基本极限的计算

和一些基本初等函数的

导数运算都具有重要意义

所以

习惯上

我们称它们为重要极限

在这一讲中

我们主要介绍

求得sinx比上x在x趋向于0

时的值的方法和结论

并利用这个极限值得到了

几个常用的极限结果

我们首先看一下

第一个极限

也就是

sinx比上x在x趋向于0时的极限

在x趋向于0时

我们知道

sinx也是趋向于0的

所以

Sinx比上x在x趋向于0时的极限

是一个分子分母都趋向于0的

极限类型

关于这样的极限问题

我们不能直接利用极限的除法运算

进行求值

关于这个极限

我们可以利用下面的

方法求得它的值是等于1的

我们做一个圆心在原点

半径为1的单位圆

我们从原点出发

做一条射线OC

这条射线

与圆周相交于点B

在这个图中

我们有

三块平面图形

一个就是三角形OAB

一块就是扇形OAB

还有一个就是三角形OAC

从图上可以看出

三角形OAB的面积小于扇形

OAB的面积

而扇形OAB的面积

又小于三角形OAC的面积

三角形OAB的面积利用

两边及其夹角的正弦

我们求出来就是二分之一倍的

sinx

而扇形OAB的面积

利用二分之一R方乘上θ

我们得到它的面积值是x/2

而三角形OAC的面积

利用两个直角边乘积的一半

我们就得到它的面积是1/2倍的tanx

这样我们就得到了1是小于x除

上sinx的

而x除上sinx又是小于1除上cosx的

我们做一个倒数

我们就知道sinx比上x

一方面是大于cosx的

另外一方面是小于1的

因为cosx在x大于0趋向于0时的极限是

等于1的

而1的极限自然就是1

这样我们根据极限的夹逼定理

就知道x大于0趋向于0时sinx

比上x的极限是等于1的

也就是证明了这个函数在0这点的

右极限存在

右极限值等于1

下面我们看一下这个函数

在0这一点的左极限

情况是怎样的

当x小于0趋向于0时

我们利用sinx是个奇函数

那么我们就知道sinx比上x

与sin(-x)比上-x的比值是相等的

当x小于0趋向于0时

那么-x它就大于0趋向于0

所以我们这个极限就等于sinx

比上x在x大于0趋向于0

时的极限

也就等于1

这样我们就得到了

我们第一个重要极限的值

就是sinx比上x在x趋向于

0时的极限是等于1的

下面我们利用这个极限

来做几道例题

例1 求下面两个极限的值

第一个极限就是tanx比上x

在x趋向于0时的极限

第二个是1-cos比上x平方

在x趋向于0时的极限

我们先看第一个

因为tanx比上x我们可以写成

Sinx比上x再乘上1/cosx

在x趋向于0时sinx比上x

的极限是等于1的

1/cosx在x趋向于0时的极限

也等于1

那么利用极限的乘法运算

我们就得到了tanx比上x

在x趋向于0时的极限

是等于1的

我们再来看第二个极限

我们利用倍角公式知道

1-cosx是等于2sin平方x/2

我们为了用上上面的重要极限

我们将这个表达式变形为1/2

乘上括号里面sin(x/2)再除上x/2

整个括号做个平方

因为根据重要极限

我们知道sin(x/2)比上x/2

在x趋向于0时的极限是等于1的

这样我们根据极限的运算法则

就知道第二个极限

它的值是等于是1/2的

利用我们前面得到的sinx比上x

的极限是1

我们就可以得到arcsinx比上x

在x趋向于0时的极限也等于1

同样的利用我们这道例题中得到的

Tanx比上x在x趋向于0时的极限等于1

我们就可以得到arctanx比上x在x

趋向于0时的极限也为1

下面我们来看第二道例题

我们求sin(1-x)比上根下x-1

在x趋向1时的极限

这个分式极限在x趋向于1时

分子分母也都是趋向于0的

所以我们不能直接用除法运算

但是我们知道sin(1-x)

比上1-x在x趋向于1时的极限是

等于1的

所以我们就对这个表达式进行变形

把它除上一个1-x

再乘上一个1-x

那么1-x比上根下x-1

我们可以写出是负的1+根下x

这样我们就利用sin(1-x)比上1-x

的极限是1

而1+根下x在x趋向于1时的极限

是2

所以我们要求的这个极限

就是负的1乘上2

也就等于-2

我们看第三道例题

我们求cosx比上x-二分之π

在x趋向于二分之π时的极限

这仍然是一个在x趋向于二分

之π时分子分母都趋向于0的

分式极限问题

我们做一个变量替换

也就是将x-二分之π记做t

那么x趋向于二分之π就等价

于t趋向于0

分子就变成了cos（π/2+t）

分母就变成了t

根据余弦函数的诱导公式

我们知道cos(π/2+t)是等于

-sint

那么利用前面的重要极限

我们就求出了我们的极限值

就等于-1

下面看一下例4

也就是求(sinx-sin2)除上（2-x）

在x趋向2时的极限

这仍然是一个在x趋向2时

分子分母都趋向于0的分式极限问题

我们利用三角形的和差化积公式

分子就变成了两倍的cos((x+2)/2)

乘上sin((x-2)/2)

我们为了用上重要极限的结果

我们就将它变形为cos((x+2)/2)

乘上sin((x-2)/2)

再除上二分之(x-2)

因为在x趋向2时cos((x+2)/2)

的极限就等于cos2

而sin((x-2)/2)除上(x-2)/2

在x趋向2时的极限

就等于1

所以我们要求的极限值

就是cos2

通过这几道例题

我们知道

在求分式极限时

如果分子分母极限

都等于0时

当表达式中含有三角函数时

我们就想能不能通过做

简单的变形能够与我们知道

的那个所谓的重要极限联系起来

如果能够联系起来

那么我们进一步就可以用上

极限的四则运算法则

从而求出我们要求的极限值

所以说

利用重要极限求极限

是处理简单极限问题时

经常用的一种方法

在这一讲中

我们主要介绍了

利用夹逼定理求得sinx

比上x在x趋向于0时

极限等于1的结果

并通过几道具体的题目

介绍了

这个极限值在求其它极限值

的问题中的应用

我们在处理0比0型的

分式极限时

如果函数中带有三角函数因子

我们就应该考虑是否能用

这里的结果

在下一讲中

我们要介绍

另一个重要极限的内容

谢谢同学们

下一讲再见