5.5.1 定积分的几何应用(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第五章

定积分

第五节

定积分的几何应用

在这一讲中

我们将介绍

如何利用定积分

求平面图形面积的大小

首先我们来介绍

怎么样利用定积分

来求平面图形的面积

我们要求平面图形的面积

首先要知道

平面图形边界线的方程

下面我们分别讨论

当平面图形它的边界线方程

是以直角坐标方程给出时

和以极坐标方程给出时

他们的面积的求法

首先我们来看

在直角坐标系下

如何利用定积分求平面图形的面积

第一种情况

如果我们考虑到平面图形

它是由曲线y等于f1(x)

y等于f2(x)以及直线x等于a

和x等于b围成

这个时候他的图形

就像我们图1中的情况

我们要求这块平面图形的面积

我们就将这块平面图形

用垂直于x轴的直线

给他进行分割

我们看其中一条的情况

也就是我们要考虑

当自变量从x变到x加dx时

我们要求的这块面积的变化情况

这个时候面积的改变量

可以看做是一个小矩形的面积

这个矩形的高近似的可以取作是

上边这根线的纵坐标减掉

下边这根线的纵坐标

所以它的面积我们用dA来表示

dA就等于f2(x)减掉f1(x)

再乘上小矩形的宽度

也就是dx

这就是我们要求的面积的改变量

也就是我们要求的面积的微元

有了面积的微元之后

我们对面积的微元

从左边到右边做积分

我们就得到

这个时候我们要求的面积

A就等于f2(x)减掉f1(x)

在区间[a,b]上的定积分

这样我们就把这种情况的

图形面积问题

转化成了一个简单的定积分计算问题

下面我们看

如果我们要求面积的图形

只有曲线x等于g1(y)

x等于g2(y)以及直线y等于a

和直线y等于b围成

这个时候这个图形

也就是我们图2中画的这个情况

对于这样的平面图形

我们就用垂直于y轴的直线

去对他进行做分割

下面我们看一下

当自变量从y变到y加dy时

我们要求的面积的变化情况

这个时候我们可以得到

我们要求的面积的面积微元

也就是dA就等于边界线上

右边的横坐标减掉

左边边界线的横坐标

再乘上它的高度dy

这就是我们要求的

面积的面积微元

有了面积微元之后

我们对他从下边到上边

关于y做积分

就得到了我们要求的面积就等于

g2(y)减掉g1(y)

对y从a到b做积分

这时候我们也将要求的图形的面积

转化成了一个简单函数的定积分

一般的在直角坐标系下

我们利用定积分

求平面图形面积时

首先应该画出平面图形的草图

然后我们根据图形的形状

或者是特点

来选择我们是以x做积分变量

还是以y做积分变量

我们以x为积分变量

也就是说我们的面积微元是

上边边界线的纵坐标

减掉下边边界线的纵坐标

乘上dx

如果是以y为积分变量

那么我们的面积微元就是

右边边界线的横坐标

减掉左边边界线的横坐标

再乘上dy

有了面积微元之后

我们再决定它的积分限

如果是以x作积分变量

那么我们就对面积微元

从左边到右边关于x做积分

而如果是以y做积分变量

那么我们就对面积微元

关于y从下面到上面做定积分

接下来我们来看几道具体的题目

例1

我们假设平面图形

是由曲线y方等于两倍x

与直线y等于x减4围成

我们求这个平面图形的面积

首先我们将边界线

也就是一条抛物线与一条直线

它的图形画出来

这样我们就得到了

我们要求面积的平面图形的大概情况

从这个平面图形的形状

我们可以看出

我们应该选择y作为积分变量

为了要确定定积分的积分限

我们就求这块平面图形

边界线的交点

最后我们得到抛物线与直线

两个交点坐标是

(2,-2)和(8,4)

这样我们知道对y求积分时

积分下限应该是-2

积分上限就应该是4

而我们的面积元素

或者是面积微元dA就等于

右边边界线上的横坐标

就是y加4减掉

左边边界线上横坐标

就是2分之1倍的y的平方

再乘上dy

有了面积微元

我们就得到了

我们要求的平面图形的面积

A就等于y加4减去2分之y方

在-2到4上的定积分

我们运用牛顿-莱布尼兹公式

就求得了这个定积分的值

就等于18

这就是我们要求的

平面图形的面积大小

下面我们来看第二道例题

我们假设平面图形

是由抛物线y等于1减x平方

以及抛物线在(1,0)处的切线

和y轴围成的平面图形

我们来求它的面积

我们首先要求

这条抛物线在(1,0)

这一点的切线方程

我们利用导数的几何意义先求斜率

也就是这条切线的斜率

就是y关于x的导数

在x等于1这点的值是-2

知道了切点知道了斜率

那么我们就得到了切线方程

是y等于-2x加上2

这样我们就可以将我们的平面图形

它的草图画出来

也就是我们的图4

从这个图上我们可以看出

对这一块平面图形

我们选择x作为积分变量

是更方便的

这个时候我们的面积微元

就是上面边界线的纵坐标

减掉下面边界线的纵坐标

再乘上dx

也就是dA等于负的2倍x加2

减掉括号里面1减x平方

最后再乘上dx

有了面积微元之后

我们要求的面积就是对面积微元

从左边也就是x等于0

到右边也就是x等于1求积分

所以我们的面积

就等于-2x加1加上x平方

在0到1上的定积分

利用牛顿-莱布尼兹公式

我们就求得这个定积分的值

是3分之1

这就是我们要求的

面积的大小

下面我们来看在极坐标系下

如何求平面图形的面积

如果我们的平面图形的边界线方程

是极坐标方程

我们利用定积分来求

这样的平面图形面积时

我们在取面积元的时候

与直角坐标系的时候

取法是不一样的

在直角坐标方程下

我们做面积元

主要是将平面图形

用垂直于x轴或者是

垂直于y轴的直线进行剖分

而在极坐标方程形式下

我们一般的是用从原点出发的射线

对于平面图形进行剖分

我们看下面一个具体情况

我们假设一块平面区域

是由射线θ等于α

θ等于β以及曲线r等于r(θ)围成

在这儿θ等于α

θ等于β在极坐标系下

表示的就是两条射线

而曲线r等于r(θ)

给出的就是极坐标方程

我们用从原点出发的射线

把这个平面图形

分割成许多小块

我们考虑其中的一部分

也就是考虑从θ到θ加dθ

这一部分

在图5中我们可以看出

我们可以将这一部分

近似的看作是一个扇形

这个扇形的半径应该就是r(θ)

而扇形的圆心角应该是dθ

这样我们就得到了

这一块的面积

应该就是2分之1倍的r方θ

再乘上dθ

这就是我们要求的面积的面积微元

有了面积微元之后

我们对θ从α到β做积分

得到的就是我们要求的

这块平面图形的面积

这就是在这个时候

利用定积分来求区域面积

我们得到的结果

下面我们来看两道具体的例子

例3我们假设平面图形

是由双纽线围成

我们来求这个平面图形的面积

首先双纽线是一种特殊的曲线

从他的方程我们可以知道

因为cos2θ他是一个偶函数

所以说双纽线关于极轴是对称的

双纽线的图形就是图6中这种形状

那么根据对称性

我们要求双纽线围成的面积

我们只要求这个图形

在第一象限中部分的面积

然后再乘以4就可以了

在第一象限中

我们考虑的图形应该是由射线

θ等于0还有θ等于4分之π

也就是极轴和直角坐标系下

直线y等于x

他是由这两条射线夹在中间

还有一条边界线就是双纽线

所以我们要求的平面图形的面积

就等于2分之1倍的r方dθ

对θ从0到4分之π求积分

然后再乘上4

因为r方是等于a方乘上cos2θ的

而cos2θ它的一个原函数是

2分之1倍的sin2θ

这样我们利用牛顿-莱布尼兹公式

就求得了我们要求的面积是a的平方

下面我们来看另外一道例题

我们假设平面图形是由心形线围成

我们来求这个平面图形的面积

心形线也是一条特殊的曲线

它的图形就像我们图7中画的形状

根据对称性我们要求的面积

就是位于上半平面中面积的两倍

对于上半平面中的图形来说

他应该是介于两条射线

也就是θ等于0和θ等于π之间

另外一条边界线就是心形线

所以我们要求的面积就是

2分之1倍的r平方

在0到π上做积分再乘上2

在这儿我们的r平方也就等于

a乘上括号里面

1加cosθ括起来的平方

我们将被积函数

利用倍角公式进行变形

我们知道cosθ

它的原函数是sinθ

而cos2θ它的原函数是

2分之1倍的sin2θ

这样我们利用牛顿-莱布尼兹公式

也能求出我们要求的面积值

是2分之3倍的π乘上a方

与在直角坐标系下

利用定积分在极坐标系下

求平面图形面积时

为了确定积分限

我们就需要找出两条

从原点出发的射线

θ等于α和θ等于β

利用这两条射线

把我们考虑的图形夹在中间

一般来说我们找这两条射线时

有这么三种情况

第一种情况

就是如果我们考虑的平面图形

它的边界线既不经过原点

也不包围原点也就是在我们图8中

表示的这种情况

这个时候我们要找的两条射线

是从原点出发

与这块平面区域相切的两条射线

如果我们考虑的平面图形

它的边界线正好经过原点时

我们为了找这两条射线

就是看这个平面图形

在原点与它相切的直线是什么

而第三种情况

如果我们考虑的平面图形

本身是把原点作为它的一个内点时

这时候我们的积分限

就是从0到2π

在这一讲中

我们介绍了利用微元法

将平面图形面积转化为

定积分值的一般思路

当平面区域的边界线是以

直角方程坐标给出时

要掌握将区域进行竖分

或者是横分进而得到面积微元的

一般原则

当平面区域的边界线

是以极坐标方程给出时

要掌握将区域进行扇形划分

进而得到面积微元的方法

无论是在直角坐标系

还是在极坐标系中

都要掌握利用定积分

计算平面区域面积时

积分限的定值法

了解一些曲线的方程

会画一些简单函数的图像

是能将平面区域面积

表示成定积分的基础

下一讲将介绍

利用定积分处理的另外两个

简单几何问题

也就是用定积分求曲线的长度

与旋转体的体积

谢谢同学们

下一讲再见