4.4.1 函数单调性的判定在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第四章

微分中值定理和导数的应用

第四节

函数单调性的判定

我们知道

函数的单调性是

函数的一种整体性质

利用单调性定义

我们只能判别

个别简单函数的单调性

一般的

如何判断函数的单调性呢

本讲将介绍

利用导数的正负号

判断函数单调性的方法

我们在前面已经学习过

函数在某个区间上单调的定义

在这一节中

我们将讨论函数单调性

与函数导数之间的关系

我们利用导数的正负号

来提供一种

判别函数单调性的方法

关于导数的正负号

与函数单调性之间的关系

我们有下面的定理

定理7

如果函数f(x)

在闭区间[a,b]上连续

在开区间(a,b)内可导

则f(x)在闭区间[a,b]上

单调递增的充分必要条件是

f(x)的导数大于等于0

而且f(x)的导数

在[a,b]区间的任意子区间上

都不恒为0

相应的

如果函数f(x)

在闭区间[a,b]上连续

在开区间(a,b)内可导

那么函数f(x)在[a,b]上

单调递减的充分必要条件是

f(x)的导数小于等于0

而且f(x)的导数

在[a,b]区间的任意子区间上

都不恒为0

下面我们给出

这个定理的证明

我们只证f(x)单增的情况

我们先证必要性

也就是说

在f(x)单增的前提下

我们来证明

他的导数是非负的

而且在任何[a,b]的

一个子区间上

都不为0

我们知道

函数f(x)在[a,b]上

是单调增的

所以对任意的

[a,b]区间中的x

以及x加上△x

我们都有

f(x+△x)减f(x)

与△x是同号的

也就是说

它们两者的比值是大于0的

因为函数f(x)

在x这点是可导的

那么根据导数的定义

以及极限的局部保号性

我们让△x趋向0

就会得到f'(x)是大于等于0的

这样就证明了

f(x)的导数是非负的

下面我们再证明

f(x)的导数

在[a,b]区间的

任意一个子区间上

都不恒为0

我们用反证的想法

如果f'(x)等于0

在[a,b]的某个子区间上

是恒成立的

这就说明

f(x)在这个子区间上

是恒为常数

这与我们的条件

f(x)单调递增

是矛盾的

这样我们就证明了

这个定理中的必要性

下面我们来证充分性

我们的条件就是

f(x)的导数非负

而且在[a,b]的任意子区间上

导数均不恒为0

我们来证他是单调递增的

因为导数是大于等于0的

我们根据Lagrange中值定理

就知道

函数f(x)

在[a,b]上是单调不减的

下面我们来说他是单调增的

也就是所谓的严格单调增

我们用反证的想法

如果存在两点x1 x2

使得x1是小于x2的

但是f(x1)与f(x2)是相等的

因为f(x)是单调不减的

所以f(x1)等于f(x2)

就意味着f(x)

在[x1,x2]这个区间上

是恒为常数的

从而我们就知道

它的导数在这个区间上

就恒为0的

这就与条件里面

f'(x)在[a,b]的

任意子区间上

不恒为0是矛盾的

这个矛盾就说明

不存在不相同的两点

它的函数值是相等的

所以这就是说

在给定的条件下

f(x)是一个单调递增函数

这样我们就证明了

这个定理中的结论

尽管我们定理中

是以一个具体的区间

做例子来说的

实际上这个定理中的区间

可以包括我们碰到的任何区间

譬如说开区间 无穷区间

这些结论还是对的

这就是我们得到的

函数导数的正负号

与函数单调性之间的关系

一般的

我们可以将

利用导数正负号

判断函数单调性问题的

一般步骤总结如下

第一步

我们首先考虑函数f(x)定义域

也就是决定我们讨论问题的范围

第二步

我们求f(x)的导数

并求出使得导数等于0的点

和使得导数不存在的点

利用这些点

我们就将定义域

分成了不同的若干小区间

第三步

我们一般进行列表

利用导数在各个小区间的正负号

来给出函数在各个区间上

它的单调性的结论

关于如何判断

导数在各个区间内正负号的问题

如果表达式过于复杂时

我们只要在每个小区间内

取一个点

算出这一点的导数值

那么这一点的导数值的正负号

就确定了导函数

在这个小区间内的正负号

这个问题

我们是根据前面介绍过的

导函数的所谓介值定理得到的

下面我们来看几道具体的例题

第一道例题

我们就讨论

下面两个简单函数的单调性

也就是要求

下面两个函数的单调区间

第一个函数

是一个简单的三次多项式函数

它的定义域

就是负无穷到正无穷

而他的导函数

就是3倍的x加1乘上x减1

我们令导数等于0

就会得到x等于-1和x等于1

他没有导数不存在的点

我们利用-1和1两个点

就把负无穷到正无穷

分成了三个区间

在负无穷到-1这个区间上

导数是大于0的

函数是单调递增的

在-1到1这个区间上

导数是小于0的

函数是单调递减的

在1到正无穷这个区间上

导数是大于0的

函数是单调递增的

所以我们要求的

这个函数的单调递增区间是

负无穷到-1和1到正无穷

而这个函数的单调递减区间

就是-1到1

下面我们来看

第二道题的解答过程

这个函数是一个简单的幂函数

它的定义域是负无穷到正无穷

而在x不等于0时

他的导函数

就是2除上3倍的三次根下x

当x等于0时

我们利用导数定义

知道函数在0这点的导数

是不存在的

所以我们就利用

导数不存在的点

将它的定义域分成了两个区间

在负无穷到0上

导数是小于0的

函数是单调递减的

在0到正无穷上

导数是大于0的

函数式单调递增的

所以f(x)的单调递增区间

就是0到正无穷

单调递减区间

就是负无穷到0

下面我们看第二道例题

我们证明

当x大于0时

x除上1加x是小于

1加x的自然对数

1加x的自然对数是小于x的

我们知道了一阶导数与

函数单调性的关系之后

我们就可以利用函数的单调性

来证明一些简单的函数不等式

做这类问题

整个的想法就是

利用导数的符号

判定函数的单调性

再利用函数在某个具体点的

函数值的正负号

来说明在这个点的左侧

或者是右侧

整个函数的正负号

从而得到我们要证的函数不等式

我们来看这个题目的具体解答

我们先证右边这个不等式

我们令f(x)就等于

x减掉1加x的自然对数

为了考虑这个函数的单调性

我们求导就得到

f'(x)就等于x除上1加x

在x大于0时

f'(x)是大于0的

这就说明

f(x)在0到正无穷内

是单调递增的

由于f(x)在0到正无穷

这个半无穷区间上是连续的

所以当x大于0时

f(x)是大于f(0)的

因为f(0)是等于0的

这样我们就知道

x大于0时

f(x)是大于0的

也就是我们要证的不等式

x大于ln(1+x)是成立的

下面我们再来证左边这个不等号

同样的我们构造一个辅助函数

g(x)就等于ln(1+x)减掉

x除上1加x

为了考虑这个函数的单调性

我们对他求导

就会得到g'(x)就等于

x除上1+x括起来的平方

在x大于0时

g'(x)是大于0的

同样的我们就知道

g(x)在0到正无穷内是单调递增的

利用g(x)在0到正无穷

这个区间上的连续性

我们就得到

x大于0时

g(x)是大于

g(x)在0这点的函数值的

因为g(x)在0这点的函数值

也是等于0的

所以x大于0时

我们就得到了

g(x)是大于0的

这就是我们要证的

左边这个不等号

他是成立的

这样我们就证明了

我们这个题目中

要证的不等式是成立的

类似的

关于函数不等式问题

我们下面再看第三个例题

例3

证明当x大于0小于π/2时

3x小于tanx加上2sinx

与例2中的证明方法类似

我们构造一个辅助函数

就是这个不等式的一端

减掉另外一端

为了考虑这个函数的单调性

我们求导

就得到f'(x)等于

secx方加上2cosx减3

判断这个一阶导数的正负号

并不是太明显

那么我们为了判断

一阶导数的正负号

我们再求一阶导的导数

也就是求原来函数的二阶导数

我们得到f''(x)就等于

2倍的sinx乘上括号里面

cos三次方分之一减掉1

在x大于0小于π/2时

我们知道

sinx是大于0的

cos三次方x分之一减掉1

是大于0的

这样我们就得到了

在x大于0小于π/2时

二阶导数是大于0的

这说明一阶导数是单调递增的

所以f'(x)应该

是大于f'(0)的

我们知道

f'(x)在0这点的值是等于0的

所以我们就得到了

在0到π/2这个区间内

一阶导是大于0的结果

又因为f(0)是等于0的

所以当x属于(0,π/2)时

我们就得到了

f(x)是大于f(0)的

这样也就得到了

我们要证的不等式

3x小于tanx加上2sinx

最后我们再来看一个

关于不等式的题目

例4当a不等于b时

我们来证明

e的a次方减掉e的b次方

除上a减b

是小于1/2倍的

e的a次方加上e的b次方

这个不等式问题

与我们前面两个例题中

讨论的不等式问题

形式上是有所不同的

表面上看这是

判断两个具体数的大小

我们知道

如果把它理解成是

两个数值比较大小

那么我们只能用简单的代数运算

就不能用函数的导数运算

以及函数单调性的有关结论

首先我们要想法将这个问题

变成是一个函数不等式问题

在a b里面

我们令a是固定的

b是变动的

也就是我们把他处理成

一个函数不等式问题

所以我们就令f(x)等于

1/2倍的x减a乘上

e的x次方加上e的a次方

再减掉e的x次方加上e的a次方

我们构造一个辅助函数f(x)

这个函数就是

在我们要证的不等式两端

同乘上a减b

然后再将不等式的左端移到右端

将其中的b变成x

就得到了f(x)

为了判断这个函数的单调性

我们求这个函数的导数

我们得到它的导数就是

1/2倍的e的a次方

减掉e的x次方

再加上1/2倍的x减a

乘上e的x次方

我们为了判断

这个表达式的正负号

我们注意到

e的a次方减掉e的x次方

是e的x次方这个函数

在两点值的差

我们利用拉格朗微分中值定理

就会将e的a次方减掉e的x次方

写成e的ξ次方

再乘上a减x

其中ξ是介于a与x之间的某一个点

这样我们就得到了

我们要求的

f(x)的导数就等于

1/2倍的x减a乘上

e的x次方减掉e的ξ次方

因为e的x次方这个函数

是一个单调递增的函数

所以我们就知道

f'(x)在x不等于a时是大于0的

同时我们也知道

f(x)在a这点的值是等于0的

这样当b大于a时

我们就会得到

f(b)是大于f(a)

也就是f(b)是大于0的

我们整理之后

就会得到

我们要证的不等式是成立的

当b小于a时

我们就会得到f(b)是小于f(a)

也就是f(b)是小于0的

同样我们对这个不等式

两端同除b减a

就会得到我们要证的不等式

这样我们就证明了

当b与a不相等时

1/2的e的b次方加上e的a次方

总是大于

e的b次方减掉e的a次方

除上b减a的

这就是我们要证的不等式

在这一讲中我们介绍了

可导函数导数的正负号

与函数单调性的关系

并给出了可导函数

判断单调性的一般步骤

利用函数的单调性

我们还可以处理

一般的函数不等式问题

在处理两个数值比较大小时

为了能够利用导数运算

有时也会将其

转化为函数单调性问题

希望同学们

通过我们介绍的几道例题

能举一反三

掌握这些问题的处理方法

下一讲

将介绍函数极值点的判别法

和函数极值的求法

谢谢同学们

下一讲 再见