8.3.1 二阶线性常系数微分方程(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第八章常微分方程

第三节二阶线性常系数微分方程

在前面我们已经介绍了

几种一阶微分方程的求解方法

从本讲开始

我们将介绍一类特殊的

二阶微分方程

也就是二阶常系数线性微分方程

在这一讲中 我们将学习

线性微分方程解的叠加原理

和二阶常系数

齐次线性微分方程的特征解法

首先我们介绍一下n阶线性微分方程

它的概念以及n阶线性微分方程

解的叠加原理

我们先介绍

n阶线性微分方程的概念

定义3 我们将下面这个形式的微分方程

就称为是n阶线性常微方程

这个方程它具体的表现形式是

anx乘上y的n阶导数

加上an减1x乘上y的n减1阶导数

一直加到a1x乘上y的一阶导数

加上a0x乘上y 等于fx

这个方程的特点是

每一项是牵扯到了自变量x的函数

与未知函数的母阶导数的乘积

在这个方程中

出现的未知函数y

以及y的各阶导数

都是以一次方形式出现的

所谓线性也主要指的是它这个特点

在这个方程中

等号右端的fx

我们将它称为是自由项

当fx恒为零时

方程就称为是n阶齐次线性常微方程

当fx不恒为零时

方程就称为是n阶

非齐次线性微分方程

特别的 如果在这个方程中

我们的系数函数都是常数时

方程就变成了an乘上y的n阶导

一直加到a0乘上y等于fx

这个时候位置函数

及其各阶导数前面的系数

都是常数

这样的方程

我们就称为是n阶常系数线性微分方程

当然常系数线性微分方程

是一种特殊的线性微分方程

下面我们来介绍

n阶齐次线性微分方程解的叠加原理

我们给出有关结论

定理3

如果函数y1x y2x是n阶齐次线性微分方程

它的两个解

α β是两个任意实数

那么函数αy1x加上βy2x

也是这个齐次方程的一个解

关于这个定理的证明

与一阶齐次线性微分方程解的

叠加原理的证明过程是类似的

在这我们不再重复

下面我们给出n阶非齐次线性微分方程

解的叠加原理

定理4如果函数y1x y2x

是非齐次线性微分方程

它的两个解

α β是两个任意实数

那么函数αy1x加上βy2x

就是下面这一个线性微分方程的解

这两个线性微分方程的差别是

等号左端是完全一样的

只是等号右端的右端项

从fx变成了α加β 乘上fx

特别的如果我们取α等1 β等负1

我们就会得到y1x减去y2x

就是它对应的齐次线性微分方程的解

这就给出了非齐次线性微分方程的解

与它对应的齐次线性微分方程的解

之间的关系

这为我们研究非齐次线性微分方程

提供了方便

下面我们来介绍

二阶常系数齐次线性微分方程

它的特征解法

首先我们考虑到方程是

二阶线性常系数齐次微分方程

也就是y′′加上a乘上y′

加上b乘上y等于0

在这ab都是常数

我们为了求这个微分方程的解

我们根据指数函数的导数性质

我们令解的形式是y等于e的λx次方

我们将y等于e的λ的x次方

y′等于λ倍的e的λx次方

y′′等于λ平方e的λx次方

代入上面的齐次微分方程

我们就会得到λ方加上aλ加b

括起来乘上e的λ的x次方等于0

因为e的λx次方不等于0

它就等价于λ的方

加上aλ加b等于0

也就是说只要λ是我们最后得到的

这一个二次代数方程的解

那么我们的y等于e的λx次方

就应该是我们要求的微分方程的解

在这对于这个二次代数方程

我们给它一个专门的名字

定义4

我们称一元二次代数方程

λ方加aλ加b等于0

是微分方程y′′加上ay′加by

等于0的特征方程

特征方程的根

就成为是原来微分方程的特征根

从定义大家可以看出

特征方程跟微分方程从形式上看

就是把未知函数变成了位置量λ

把求导次数

变成了λ乘方次数

根据前面的介绍

我们知道我们要解这个齐次线性微分方程

只要解它的特征方程就可以了

而一元二次方程的求根公式

我们大家是熟悉的

也就是λ等于负a加减根下a方减4b

再除上2

有了特征根之后

我们就可以利用特征根

来构造我们要求解的微分方程的通解

在这特征根与通解的关系

我们用定理的形式给出来

定理5 设λ1 λ2是二阶常系数

齐次线性微分方程的两个特征根

那么我们就会得到特征根

与这个方程通解的关系

下面这几种情况

第一种情况

如果λ1不等于λ2

而且它们都是实数

我们要求的微分方程的通解

就可以表示成C1乘上e的λ1x次方

加上C2乘上e的λ2x次方

第二种情况

如果λ1等λ2

也就是说它一对同时根时

微分方程的通解就可以表述成是

y等于C1乘上e的λ1x

加上C2乘上x再乘上e的λ1x

第三种情况

如果特征方程是一对共和负根

也就是说λ1表示成α加上i乘β

λ2就等于α减去i乘β

这个时候微分方程的通解就是

y等于e的αx次方

乘上括号里面C1cosβx

加上C2乘上sinβx

在这三种情况下

我们都可以根据它的特征根的情况

写出相应的通解的表达形式

也就是说有了特征根之后

我们就解决了微分方程的求解问题

关于这个定理

下面我们给出它的证明

先证第一种情况

根据特征根的定义我们知道

y等于e的λ1x次方

和y等于e的λ2x次方

都是我们考虑的微分方程的解

我们根据齐次微分方程

解的叠加原理

我们知道对任意的实数C1 C2

那么y等于C1e的λ1x方

加上C2乘上e的λ2x次方

也是这个齐次微分方程的解

但是要说这个表达式

给出的是通解

根据二阶微分方程通解的概念

我们需要说明C1 C2

这两个常数是无关的

我们知道在λ1不等于λ2时

e的λ1x次方比上e的λ2x次方

是不会等于常数的

在这个前提下这就说明了

C1和C2这两个常数

不会有关系

这样我们就证明了这个时候

这个微分方程的通解

就是可以表示成y等于C1乘上e的λ1x平方

加上C2乘上e的λ2x次方

这是第一种情况的证明

在这里面用到了

齐次线性微分方程解的性质

也就是叠加原理

用到了微分方程通解的概念

下面我们看第二种情况的证明

我们假设λ1等于λ2都等于λ

那么根据特征根的定义

我们知道y等于e的λx次方

就是微分方程的解

我们为了要求得微分方程的通解

我们也利用变动任意常数法

来进行求解

我们就令y等于Cx乘上e的λx

满足我们要求解的二阶齐次常系数

线性微分方程

也就是y′′加a乘上y′加by等于0

我们将y y′ y′′它的表达式

代入上面这个齐次方程

并整理我们就会得到了

Cx满足的一个方程

也就是C′′x

加上括号里面a加上2倍λ括起来

乘上C′x

再加上括号里面λ方加上aλ再加b

括起来乘上Cx

最后再乘上e的λx次方等于0

首先这个方程

因为e的λx次方 它是不等0的

它就等价于前面

这个中括号里面的表达式等于0

由于λ是特征值

所以λ方加aλ加b是等于0的

同时由于λ是重特征值

实际上a加上2倍λ也是等0的

所以上面这一个C满足的方程

最后就等价于C′′x等于0

我们积分就会得到Cx就等于C1加上C2x

在这C1 C2是两个任意常数

在这我们就得到了y等于C1

加上C2x括起来乘上e的λx次方

就是它有两个任意常数的

二阶微分方程的解

当然 也就是这个二阶微分方程的通解

最后 我们来证明第三种情况

因为λ1 λ2是不相等的

所以根据特征根的定义

我们可以写出y等于e的λ1x次方

和y等于e的λ2x次方

都是这个微分方程的解

我们将λ的表示代入

并且利用负指数的欧拉公式

最后我们就把y等于λ1x

和y等于e的λ2x次方

分别表示成了

e的αx次方乘上cosβx

加上i乘上sinβx

和e的αx次方乘上cosβx

减去i乘上sinβx

这实际上就是我们考虑的

二阶齐次常系数线性微分方程的两个解

因为我们考虑的函数

都是实函数

为了得到实数解

我们利用齐次方程解的叠加原理

将这两个表达式相加除2

和这两个表达式相减除以两倍的i

我们就得到了它的两个实数解

一个就是e的αx次方

乘上cosβx

另外一个就是e的αx次方

乘上sinβx

这也是微分方程的解

而且是实数解

我们再根据叠加原理

就会得出C1乘上第一个表达式

加上C2乘上第二个表达式

也是微分方程的解

而且因为这两个表达式的比值

不是常数所以C1C2是相互独立的

这就是2阶微分方程

它有两个任意常数的解

也是它的通解

这样我们就证明了这个定理中

三种情况下的结论是对的

这样就把我们求解

二阶常系数齐次线性微分方程的问题

转化成了求它的特征根的问题

也就是把求微分方程的运算

转化成了求代数方程的代数运算

这是我们介绍的

线性常系数齐次微分方程的特征解法

下面我们看几道例题

例1 我们求下面这一个微分方程的通解

方程式y′′加上3倍的y′

减去4倍的y等0

这个方程的特征方程

就是λ的方加三倍的λ减4等于0

它的两个特征根分别是1和负4

根据特征根和通解的关系

那么我们要求的这个方程的通解就是

y等于C1乘上e的x次方

加上C2乘上e的负的4倍x次方

这是这个方程的通解

下面我们看第二道例题

我们求微分方程y′′加y′

加y等于0的通解

这也是一个二阶常系数

齐次线性微分方程

它的特征方程

就是λ方加λ加1等于0

这个二次方程的根

分别是负的2分之1加上2分之根3倍的i

和负的2分之1减去2分之根3倍的i

也就是说它是负特征根

所以我们要求的通解就是

y等于e的负的2分之x方

乘上括号里面C1乘上cos2分之根3倍的x

加上C2乘上sin2分之根3倍的x

下面看第三个例题

我们求微分方程

y′′加上4倍y′再加4倍y等于0的通解

这仍然是一个二阶常系数齐次线性微分方程

它的特征方程

是λ方加4倍λ加4等于0

它的特征根是负2

这是一个重根

所以根据特征根与通解的关系

我们所求的通解就是

y等于C1乘上e的负2倍x方

再加上C2乘上X

再乘上e的负2倍的x次方

下面我们看最后一道例题

例4我们已知一个二阶常系数

齐次线性微分方程

它具有两个特解

一个是y等于e的负x次方

另外一个是y等于2倍的e的2x次方

我们来求这个微分方程

这个例题处理的问题

应该是说微分方程求解的反问题

一般的微分方程

是给了方程求解

而这个问题

是给了解求方程

我们知道要求

二阶常系数齐次线性微分方程

实际上就等价于求它的特征方程

而在给定条件下

我们知道这个二阶常系数

齐次线性微分方程

它的两个特征根

分别是λ等负1和λ等2

那么它的特征方程

自然就是λ加1乘上λ减2等于0

也就是λ方减去λ减2等于0

我们根据特征方程跟微分方程的关系

我们将λ用y代替

将方程式用求导的阶数代替

那么我们要求的微分方程就是

y的两阶导

减去y的一阶导

再减去2倍的y等于0

这就是我们要求的微分方程

在这一讲中

我们介绍了线性微分方程

解的叠加原理

和二阶常系数齐次线性

微分方程的特征解法

与一阶线性微分方程的解集合一样

高阶齐次线性微分方程的解集合

对于加法运算与数乘运算都是封闭的

他们的解集合

是一个线性空间

高阶非齐次线性微分方程的通解

可以由它对应的齐次方程的通解

与它的一个特解相加得到

二阶常系数

齐次线性微分方程的特征解法

将微分方程的求解问题

转化成了一元二次方程的求解问题

也就是将微分方程的求解问题

转化成了代数方程的求解问题

特征解法可以直接推广到

n阶常系数齐次线性微分方程

即求解n阶常系数

齐次线性微分方程的问题

可以直接转化为求解它的特征方程

下一讲将介绍二阶常系数

微齐次线性微分方程的

变动任意常数法

谢谢同学们 下一讲 再见