4.5.1 函数的极值及其求法在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第四章

微分中值定理和导数的应用

第五节

函数的极值及其求法

在前面我们已经学习了

函数的极值和极值点的概念

根据我们介绍的

费马定理

我们知道连续函数

他的极值点

只可能在导数等于0

或者是导数不存在的点中取得

那如何判断导数等于0

或者是导数不存在的点

是不是函数的极值点呢

本讲将介绍

利用一阶导数或利用二阶导数

判断连续函数极值点的常用方法

我们知道

对于连续函数来说

他的极值点

只可能在导数等于0的点

和导数不存在的点中取得

当导数等于0

或者是导数不存在时

这样的点是否是极值点

我们可以利用

函数一阶导数的正负号

或者是利用函数的二阶导数

来判定这一点

是不是函数的极值点

我们先来看

利用一阶导数来判断

一个点是否是极值点的一个结论

定理8

极值点的第一充分条件

我们假设函数f(x)在x0点的

某个邻域内是连续的

在x0的去心邻域内是可导的

我们就会知道

如果在x0的左侧

一阶导大于0

在x0的右侧

一阶导小于0

那么x0就是

函数的一个极大值点

如果在x0的左侧

一阶导小于0

在x0的右侧

一阶导大于0

那么x0就是

函数f(x)的极小值点

如果在x0的左侧和在x0的右侧

一阶导的正负号是一致的

那么x0就不是

函数f(x)的极值点

这个结论就是利用

一阶导数的正负号

与函数单调性的关系

以及极值点的定义

我们得到的

一般的

利用一阶导数

判断极值点和求函数极值的步骤

可以总结如下

第一步

确定函数f(x)的定义域

第二步

我们求f(x)的导数

并找出在定义域内导数等于0的点

和导数不存在的点

这些点就将定义域分成了

若干个小区间

第三步

我们通过列表

就由f'(x)在上述得到点的

两侧的正负号

来确定这个点是否是极值点

他是极大值点还是极小值点

最后我们将极值点的函数值求出

就得到了我们要求的极值

下面我们看两道具体的例题

例1

我们求函数f(x)等于x平方减1

括起来的三次方再加上1的极值

我们知道这是一个多项式函数

它的定义域就是负无穷到正无穷

我们求得它的导数

就是6倍的x乘上x平方减1

括起来的平方

我们令他的导数等于0

就会得到

导数等于0的点

也就是所谓的驻点

分别是-1 0和1

我们列表

我们知道

在负无穷到-1上

导数是小于0的

在-1到0上

导数也是小于0的

在0到1上

导数是大于0的

在1到正无穷上

导数也是大于0的

这样我们知道

在导数等于0的点

-1和1它的左右两侧

一阶导数都是同号的

所以-1和1只是函数的驻点

而不是函数的极值点

在导数等于0的点

x等于0处

在左侧一阶导小于0

右侧一阶导大于0

所以x等于0是它的极小值点

f(0)等0就是它的极小值

下面我们来看第二道例题

我们求函数f(x)等于

x减掉3/2倍的x的2/3次方

求这个函数的单调区间和极值

这个函数

它的定义域是负无穷到正无穷

在x不等于0时

它的导数就等于三次根下x减1

除上三次根下x

令导数等于0

就会得到它的驻点

是x等于1的根据导数的定义

我们知道

这个函数在x等于0这点

是不可导的

所以他导数不存在的点

就是x等于0

我们列表

我们就知道

在负无穷到0上

它的导数是大于0的

在0到1上

它的导数是小于0的

在1到正无穷上

导数是大于0的

这样我们知道

在x等于0的左右两侧

一阶导是变号的

而且左侧是正号

右侧是负号

所以x等于0是函数的极大值点

f(0)是它的极大值

而在x等于1的左右两侧

它的一阶导是先负后正

这说明x等于1

是这个函数的极小值点

f(1)就是它的极小值

所以我们最后的结果是

这个函数它的单调递增区间

是负无穷到0和1到正无穷

单调递减区间是0到1

他在x等于0处取得

极大值f(0)等于0

在x等于1处取得极小值

f(1)等于-1/2

下面我们介绍利用二阶导数

来判断一个点

是否是函数极值点的结论

因为我们知道

当函数可导时

极值点只可能是

在一阶导数等于0的点中取到

那对于一阶导数等于0的点

是否是极值点

我们也可以通过求

这一点的二阶导数来判定

定理9

极值点的第二充分条件

我们假设函数f(x)

在x0处具有二阶导数

而且他在这一点的一阶导等于0

二阶导不等于0

我们就会得到下面的结论

如果二阶导大于0

那么f(x)在x0就会取得极小值

如果二阶导小于0

那么f(x)在x0处就会取得极大值

下面我们给出这个定理的证明

因为f'(x0)是等于0的

我们利用在x0这点二阶导的定义

也就是f''(x0)

应该等于f'(x)

减掉f'(x0)

除上x减x0

在x趋向x0时的极限

也就等于f'(x)除上x减x0

在x趋向x0时的极限

因为二阶导数大于0

我们利用极限的局部保号性质

就会知道存在一个正数δ

使得只要x减x0的绝对值小于δ

而不等于0时

那么这个表达式

f'(x)除上x减x0就应该大于0

这样我们就知道

在x0的左侧时

f'是小于0的

当x在x0的右侧时

f'(x)是大于0的

所以这时候

x0就是f(x)的极小值点

当两阶导小于0时

我们利用类似的方法

就可以证明

x0是f(x)的极大值点

这就是利用二阶导数

来判定一阶导数等于0的点

是否是极值点的常用方法

下面我们来看两道具体的例题

例3

求函数f(x)

等于x三次方减3倍x的极值

我们求这个函数的导数

就会得到它的导数是3倍的

x加1乘上x减1

而它的二阶导数

就等于6倍的x

我们令f'(x)等于0

就会得到一阶导数等于0的两个点

x1等于-1和x2等于1

在x等于-1这点

二阶导数是等于-6小于0的

所以f(x)在x等于-1这点

就会取得极大值f(-1)是等于2的

在x等于1这点

二阶导数是等于6大于0的

所以函数f(x)在x等于1这点

就会取得极小值f(1)是等于-2的

这个函数他没有不可导点

这样我们就求得了

这个函数它的两个极值

分别是极大值f(-1)等于2

和极小值f(1)等于-2

下面我们来看第四道例题

例4

就是问当a等于什么值

下列这个函数f(x)

在x等于π/3处

取得极值并求出极值的大小

相对于前面的例题

这道题是把极值问题带一参数

主要考察的

是可导函数极值点的必要条件

以及极值点如何判断的问题

我们来看具体的解答过程

我们求f(x)的导数

就会得到f'(x)

是等于a乘上cosx

加上cos3x

由于f(x)在x等于π/3处取得极值

所以我们就知道

f'(π/3)是等于0的

也就是a/2减1要等于0

所以我们就得到a应该等于2

当a等于2时

我们得到这个函数它的二阶导数

就是负的2倍sinx

减掉3倍sin3x

那么两阶导数在π/3的值

就等于负的根3

他是小于0的

一阶导数等于0

二阶导数小于0

这说明π/3就是函数的极大值点

它的极大值就是f在π/3这点的值

是等于根下3的

关于函数的极值问题

我们最后做两点说明

第一个

如果x0这点的一阶导等于0

二阶导也等于0

那么我们问x0是不是函数的极值点

关于这个问题

等我们学习了泰勒公式时

我们会有一个一般的结论

也就是说当高阶导数等于0

而有的高阶导数不等于0时

这个点是不是极值点

就看第一个不等于0的

高阶导数的阶数

是奇数还是偶数

现在我们只能说

他有时候是极值点

有时候不是极值点

大家可以考虑

f(x)等于x三次方

和f(x)等于x四次方

这两个函数

在x等于0时

他们的一阶导和二阶导

都是等于0的

而对第一个函数来说

x等于0就不是极值点

而x等于0就是

第二个函数的极值点

这是需要给大家说明的一件事情

另外一件事情

实际上也是我们初学者

经常犯的一个错误

也就说如果函数f(x)

在(a,b)内导数存在

而且f(x0)是函数的极小值

那么我们就问

能否得到在x0的左侧附近

一阶导小于0

在x0的右侧附近

一阶导大于0这个结论

我们的结论是

即使他的导数存在

他在一点取到极小值

我们也没法得到

他在这一点左侧一阶导小于0

在这个点的右侧

一阶导大于0这样的结论

我们可以通过一个具体的函数

来看一下

譬如我们考虑下面这个函数

x等于0时函数值等于0

x不等于0时

函数值是x平方乘上

2加上sin(1/x)

很显然f(0)等于0

是这个函数的极小值

这个函数

他在x0不等于0时的导函数

我们容易求出来

是两倍的x乘上2加上sin(1/x)

再减掉cos(1/x)

在x等于0的左右两侧

大家注意到

第一项它的绝对值是非常小的

这就说明

这个导数的正负号

主要由第二项的正负号确定

而cos(1/x)

在x等于0的左右两侧

他都不是保号的

这就说明了

即使是可导函数

在他的极小值点的左右两侧

我们也不能说

它的导数是保号的

在这一讲中

我们介绍了

利用一个点两侧一阶导数是否异号

来判断这个点

是否是极值点的第一充分条件

也介绍了利用驻点处

二阶导数的正负号

判断驻点是极大值点

还是极小值点的第二充分条件

并以此总结了

求函数极值点的一般步骤

值得注意的是

无论是利用一阶导数

还是利用二阶导数

本讲中介绍的

都是极值点的充分条件

当驻点的二阶导数等于0时

如何判断该点是否是极值点

可导函数在其极值点的两侧

一阶导数是否异号

探讨一下这些问题

对同学们更好的掌握

处理极值点问题的方法

是有益的

下一讲

将介绍函数的最值及其应用

谢谢同学们

下一讲 再见