4.3.2 洛必达法则(2)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第四章

微分中值定理和导数的应用

第三节

洛必达法则

在极限求值问题中

除了0比0与无穷比无穷的

分式不定式

我们还有0乘无穷型

无穷减无穷型

1的无穷次方型

0的0次方型

以及无穷的0次方型

这些不定式

本讲将通过具体的例题

介绍求这些不定式的

极限值的一般方法

在前面

我们已经介绍了

0比0和无穷比无穷

两种形式的

不定式的求值方法

在极限运算问题中

除了0比0和无穷比无穷

两种不定式之外

我们还有

其他一些形式的的不定式

在这一讲中

我们来介绍一下

其他不定式的定值方法

首先我们来看一下

0乘无穷型和无穷减无穷型

不定式的定值方法

所谓的0乘无穷型

也就是在我们

极限求值过程中

我们求的是

两个函数乘积的极限

而在我们考虑的极限过程中

这两个函数

一个是无穷小量

一个是无穷大量

这样的函数乘积的极限

就称为是0乘无穷型

对这样的极限

我们的一般处理方法是

将其中一个因子做倒数运算

将它变成是

0比0或者是无穷比无穷的不定式

我们进一步对于这样的不定式

运用洛必达法则

来定出他们的值

下面

我们来看两个例题

我们来求下面两个极限

第一个我们求

x乘上π/2减arctanx

在x趋向正无穷时的极限

第二个我们来求

x除上x-1减掉1除上lnx

在x趋向1时的极限

对于第一个极限

在x趋向无穷时

我们知道

x是无穷大量

π/2减arctanx

他的极限是0

所以第一个极限

这就是一个

0乘无穷型的极限

我们来处理这个极限

我们将x除到分母上

也就变成了一个分式极限

分子是π/2减arctanx

分母是1/x

大家知道

在x趋向无穷时

这就是一个0比0型的分式极限

我们利用洛必达法则

对分子分母分别求导

整理就会变成

x平方除上1加x平方

在x趋向正无穷时的极限

这个极限我们知道

他是等于1的

也就是我们通过这种变形

利用洛必达法则

就得到了我们要求的

第一个极限的值等于1

下面我们来看第二个极限

第二个极限

这是两个函数做差

在x趋向1的时候取极限

我们知道在x趋向1时

x除上x减1是个无穷大量

1除上lnx也是一个无穷大量

所以第二个极限

就是无穷减无穷时的极限

对于这样的极限问题

我们一般处理的思路就是

通过变形

将它变成一个分式极限问题

我们来看具体的求解过程

我们对这两个分式进行通分

我们就得到

我们要求的极限是

x乘上lnx减x加1

这是分子

分母上是x减1乘上lnx

在x趋向1时

这一个分式的分子和分母

极限都是0

所以说这是一个0比0型的

不定式式极限问题

我们利用洛必达法则

对分子分母分别求导

我们知道

分子的导数是lnx

而分母的导数

是lnx加上1再减掉1/x

在x趋向1时

这一个分式

它的分子和分母

仍然都是趋向于0的

所以说这还是一个

0比0型的分式极限

我们再用一次洛必达法则

对它的分子分母分别求导

分子的导数是1/x

而分母的导数

是x分之一加上x平方分之一

在x趋向1时

分子的极限是1

分母的极限是2

我们利用除法运算

就得到了这个比值的极限是1/2

所以对于这一个

无穷减无穷型的不定式极限

我们通过这种变形

利用洛必达法则

就得到了他的值

下面我们来说一个

在0乘无穷型不定式极限定值时

需要大家注意的问题

因为两个函数乘积

我们将其中一个函数

做倒数运算时

是有不同的变形方式

对于0乘无穷型的不定式极限

一种可以转化成

0比0型的不定式极限

另外一种

可以转化成无穷比无穷型的

不定式极限问题

但是在具体求

极限问题时

两种转化形式在求值时

并不见得是等价的

下面我们看一个具体的例子

比如说x乘上lnx

在x大于0时趋向0时的极限问题

这就是一个0乘无穷型极限

如果我们将x做倒数运算

他就会变成lnx比上1/x

这一个分式在x趋向于0正时

它就是一个无穷比无穷型的分式极限

我们用洛必达法则

就会得到这个极限值是等于0的

所以对这个0乘无穷型极限

我们将x做倒数运算

就能利用洛必达法则

把他的值定出来

如果我们换一个思路

我们对lnx这一部分

做一个倒数运算

它就变成x除上1/lnx

在x大于0趋向于0时

这就变成了一个0比0型的

不定式极限问题

如果我们对于这个问题

利用洛必达法则

大家就会注意到

我们将分子分母分别求导之后

它变成了一个新的

0比0型的不定式极限问题

而这一个不定式极限

从形式上

应该说比原来的

0比0型不定式极限

还要复杂

这就说明

对这一个极限

我们第二种变形方式

在定值问题上

并没有取得什么进展

所以说我们将

0乘无穷型的极限进行变形

利用洛必达法则求值时

要灵活的选择

不同的变形方式

下面我们来看一下

其他三种不定式极限问题

也就是我们习惯上说的

0的0次方

1的无穷次方

和无穷的0次方型的不定式

这三种不定式

针对的都是一个所谓的

幂指函数的极限问题

我们一般的处理方法

就是对这个幂指函数

做对数运算

利用对数的运算性质

将它变成是两个函数乘积的

极限问题

做这种运算时

上面这三种不定式极限

都会转化成0乘无穷型的

那么利用咱们前面介绍的

0乘无穷型

不定式极限的定值方法

我们就有可能得到

我们要求的

幂指函数极限的极限值

下面我们也是通过

几个具体的例题

来说明一下

我们具体的求值方法

我们求下面三个极限值

第一个我们来求

cosx的x平方分之一次方

在x趋向于0时的极限

这个极限

在x趋向于0时

它的底数是趋向于1的

而他的指数是一个无穷大量

所以这就是1的无穷次方型的

一个不定式极限问题

第二个极限

我们来求sinx的x次方

在x大于0趋向于0时的极限

这是一个底数和指数

都是无穷小量的极限问题

所以这是一个0的0次方型的

不定式极限问题

第三个极限

在x趋向于正无穷时

它的底数是个无穷大量

指数是个无穷小量

所以这是一个无穷的0次方型的

不定式极限问题

我们来看具体的求值过程

我们将cosx的x平方分之一次方

记成y

我们求对数

我们就得到

y的自然对数就变成

cosx的自然对数

除上x平方

那么在x趋向0时

这就是一个0比0型的

分式极限问题

我们对他利用洛必达法则

也就是分子分母分别求导

我们就得到

分子的导数是-tanx

分母的导数是2x

这个分式

在x趋向于0时的极限

是负的1/2

也就是我们这样就求到了

y的自然对数

他的极限是-1/2

那么y的极限

也就是cosx的x平方分之一次方

在x趋向于0时的极限

就应该等于e的-1/2次方

下面我们看

第二个的具体求值过程

我们记sinx的x次方等于y

做对数运算

我们就得到y的自然对数

就等于x乘上sinx的自然对数

在我们考虑的极限过程之下

这是一个0乘无穷型的极限

所以我们将x做倒数运算

就变成sinx它的自然对数

除上1/x

这就变成一个

无穷比无穷型的分式极限问题

我们对这个分式极限

利用洛必达法则

分子分母分别求导

我们就会得到这是一个

新的分式极限问题

分子是x平方乘上cosx

分母是sinx

前面有一个负号

对于这个分式

我们将它整理成

x乘上cosx

再乘上x除以sinx

那么我们知道

x除上sinx它的极限是1

而x乘上cosx的极限是0

所以我们利用极限的乘法运算

就得到这个极限值等于0

那么我们要求的y的极限值

应该就等于e的0次方

也就等于1

下面我们来求第三个极限

我们就将1加x它的1/x次方记成y

我们做对数运算

就会得到lny就等于

1+x的自然对数除上x

那么在x趋向无穷时

这是一个无穷比无穷型的不定式极限

我们用一次洛必达法则

就能得到这个比值的极限应该等于0

或者是我们利用

在趋向无穷时

对数函数永远

比不过幂函数这个性质

我们也能得到

这个分式极限等于0

进一步我们就会得到

y在x趋向正无穷时的极限

应该就等于e的0次方

也就等于1

通过这三个简单的例子

我们就可以进一步体会

怎么样利用简单的代数变形

以及洛必达法则

来确定幂指函数得到的

不定式极限的极限值问题

最后我们通过一个例题

来结束这一讲的内容

例3

已知在x趋向于0时

e的x次方加上a乘上x平方

加上bx再加上c

与x减sinx是等价无穷小

我们来求这三个参数

a b c的值

这是一个利用洛必达法则

处理的简单综合的极限问题

我们来看它的具体求解过程

首先因为

在x趋向0时

第一个表达式

他的极限应该等于0

而根据极限运算

我们知道

这个表达式的极限是1加c

也就是说1加c要等于0

所以我们就求得c应该等于-1

接下来我们对第一个表达式求导

并考虑它的导数

在x趋向于0时的极限

我们容易得到

第一个表达式的导数

在x趋向于0时的极限

应该就等于1加b

如果1加b不等于0

那么我们将第一个表达式

与第二个表达式作比值

这就是一个0比0型的

不定式极限问题

那我们用洛必达法则

就会得到他的分子

和分母的导数之比

分子的导数极限是等于1加b

不等于0

而分母的导数是等于0的

也就是说这个导数之比

就是无穷大量

那么根据洛必达法则

就说明原来这两个函数之比

也是无穷大量

这就与我们的条件

这两个无穷小量等价是矛盾的

这个矛盾就说明

我们的1加b

一定要等于0

所以我们就得到b等于-1

同样的道理

在b等于-1时

我们对第一个表达式的导数

进一步再求一次导

并且求他的极限

我们就知道

第一个表达式

它的二阶导数的极限

应该是1加两倍的a

如果1加两倍的a不等于0

我们在前面讨论的导数比的基础上

进一步用洛必达法则

就会得到

它的二阶导数之比

是一个无穷大量

这样我们就知道

原来的函数之比

也是个无穷大量

它就与那个函数之比

极限等于1是矛盾的

所以我们就能得到

1+2a必须等于0

这样就得到了a应该等于-1/2

通过这种分析

我们就把三个参数的值

c等于-1

b等于-1

a等于-1/2

就得到了

当然作为一个练习

我们还可以验证一下

当a b c等于我们求出的值时

原来两个无穷小量

是不是真正的等价无穷小

也就是说

原来这一个0比0型的极限

是不是他的极限值就等于1

这时候我们连续利用

三次洛必达法则

就会得到

在 b c分别等于

-1/2 -1和-1时

原来这两个表达式比值的极限

就等于1

所以我们知道

我们要求的三个参数的值

就是我们前面得到的

-1/2 -1和-1

在这一讲中

我们介绍了求

0乘无穷型

无穷减无穷型

1的无穷次方型

0的0次方型

以及无穷的0次方型

不定式极限的方法

他们均可以通过

相应的代数变形

化为分式不定式

0比0型或者是无穷比无穷型

然后再利用洛必达法则

求极限值

至此

常见的不定式极限的定值方法

已经介绍完毕

同学们要通过做一定量的练习

准确熟练地掌握

这种求不定式极限的常用方法

下一讲将介绍

函数单调性的判别法

谢谢同学们

下一讲 再见