6.5.3 反常积分(3)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课微积分课程

今天我们介绍第六章

积分法与反常积分

第五节 反常积分

本讲将介绍

有限区间上无界函数的反常积分

下面我们来介绍有限区间上

无界函数的反常积分

有限区间上无界函数的反常积分

我们有时也称它为是瑕积分

我们首先看两个简单的例题

例1 我们求介于曲线

y等根下x分之1

与x轴之间的区域的面积

从图上我们可以看出

我们要求面积的这块区域

也是一个无界区域

所以说尽管我们考虑的是

0到1这个区间

但是这个面积的计算问题

并不是我们习惯的

定积分的计算问题

我们可以先利用x等A x等1

以及Y等根下x分之1

和x轴围成一块

有界的曲边梯形

我们用DA来表示

DA的面积我们用SA来表示

SA就是根下x分之1

从A到1的定积分

我们利用牛顿莱布尼兹公式

就求得这块曲边梯形的面积值

是等于2减去2倍的根下A

我们要求的区域面积

就是让x等A这条垂直x轴的直线

充分的靠近Y轴

也就是让A大于0趋向于0取极限

所以我们要求的无穷区域的面积

就等于SA在A大于0

趋向于0时的极限

也就等于2

这就是我们要求的面积值

下面我们来看第二道例题

我们求抛物线段

y等2倍根下x的长

x的取值范围是0到1

我们知道对于这条抛物线来说

它对应的弧长微元dl

就等于根下

1加y关于x导数的平方

再乘上dx

我们将y的导数代入

也就等于根下x加1

再除上根下x乘上dx

那么我们要求的抛物线段的长

应该就是对弧长微元

关于x从0到1作定积分

但是在这个问题中我们发现

这个被积函数

在0这点附近是一个无界函数

所以它在0到1区间上

是没有定积分的

与第一道例题类似

我们可以先求x从A到1对应的

抛物线的长

也就是对这个弧长微元

从A到1上作积分

作完积分之后

我们再让A大于0曲线0取极限

这极限值就应该是

我们要求的这个长度

在这两个例题中

实际上我们碰到的

都是同一个问题

就是说尽管我们考虑的区间

是一个有限长度的B区间

但是我们碰到的

是在这个有限长度

B区间上的无界函数

对于这样的问题

我们怎么样讨论

与定积分类似的东西

我们的处理方法

仍然还是借用变限定积分函数

它的极限来处理这样的问题

在前面介绍无穷积分时

我们考虑的是变限积分函数

在上限或者是下限

趋向正无穷或者是

趋向于负无穷时的极限

而在这个地方

我们讨论的是积分线

趋向一个点的左侧

或者是右侧的情况

我们把这个问题

处理成一般的情况

就是我们要讨论的瑕积分问题

我们先介绍瑕积分的有关概念

为了讨论瑕积分的概念

先给一处函数瑕点的定义

我们假设函数fx

在区间ab上有定义

c是区间内的一点

如果对于任意的δ大于0

fx在c减δ到c加δ这个区间上

都是无界的

我们就称c是

函数fx的一个瑕点

通俗的说就是

如果函数在这点附近有定义

但是在这点附近

它是一个无界函数

那么这点就是函数的瑕点

如果我们考虑的瑕点

是区间的端点

也就是说如果它在一个区间的

有端点的右侧附近

总是无界函数

那么这个区间的左端点

就是这个函数的瑕点

如果它在一个区间的

右端点的左侧附近

总是无界函数

那么这个区间的右端点

就是函数的瑕点

下面我们给出瑕积分的定义

定义3

设a是函数f的瑕点

对于任意的

介于ab之间的一个数A

fx在A到b这个区间上定积分存在

如果fx在A到b这区间上的

变下限定积分函数

在下限A大于a趋向a时极限存在

我们就说fx

在a到b这个区间上的

瑕积分是收敛的

瑕积分的值的大小

就定义为是这个变下限定积分值

在下限趋向A正时的极限值

请大家注意瑕积分的记号

与定积分的记号完全一样

也就是看到一个这样的表达式

它到底是定积分

还是瑕积分

主要关心的是我们这个fx

如果在这个区间ab上

是一个无界函数

那它表示的就是一个瑕积分

如果fx在区间ab上

是一个有界函数

它表示的应该就是定积分

类似的

如果我们区间的右端点

是瑕点的时候

那么fx在a到b为区间上的瑕积分

就定义为a到B这个变上限积分函数

在B小于b趋向b时的极限值

如果我们函数的瑕点

是在ab之间

这个时候我们就利用瑕点c

把ab区间分成ac和cb两个区间

对ac区间我们就考虑

右端点是瑕点的瑕积分的情况

也就是fx在a到c上的瑕积分

对cb区间

我们就考虑区间的左端点是瑕点的

瑕积分的情况

所以说这个时候

我们就说如果fx

在a到c这个区间上的瑕积分

与fx在c到b这个区间上的瑕积分

都收敛时我们就称

fx在a到b这个区间上的瑕积分

是收敛的

而且它在a到b区间上的

瑕积分的积分值

就等于它在a到c

这个区间上的瑕积分值

加上fx在c到b

这个区间上的瑕积分值

关于瑕积分

我们也有两点说明

第一点我们给出了

瑕积分收敛的定义

如果瑕积分不收敛时

我们就说瑕积分是发散的

在前面的定义中

我们只考虑了

在我们讨论的区间上

函数只有1个瑕点的情况

如果在一个区间上

函数有多个瑕点的时候

我们一般就是利用瑕点

把区间分成不同的区间

使得每个区间中只有一个瑕点

这时候我们再去讨论

相应小区间上瑕积分的收敛性

如果每个小区间上

对应的瑕积分都是收敛时

我们才说它在整个区间上

对应的瑕积分是收敛的

我们需要说明的第二点是

根据瑕积分收敛的概念

我们知道收敛的瑕积分

具有与定积分类似的

一些运算性质

和运算公式

比如我们常用的线性运算性质

或者是我们常用的换元积分公式

与分布积分公式

下面我们看几道例题

例3

求下面这两个瑕积分的值

对第一个瑕积分我们知道x等于1

是这个被积函数的瑕点

那么根据瑕积分的定义

我们要求的瑕积分值

也就等于这个被积函数

在0到A上的定积分值

在A小于1趋向1时的极限值

我们利用牛顿莱布尼兹公式

我们求得这个被积函数

在0到A上的积分值

就应该等于arcsinA

那么在A小于1趋向1时

它是趋向于2分之π的

所以这就是我们求的

第一个瑕积分的积分值

下面我们来看第二个瑕积分

对第二个瑕积分来说

x等0应该是被积函数lnx的瑕点

那么根据瑕积分的定义

我们知道我们要求的这个瑕积分

就是lnx在A到1上的定积分值

当A大于0趋向0时的极限

我们利用牛顿莱布尼兹公式

可以求出这个函数

在A到1上的定积分值

也就是负1减去

A乘上lnA再加上A

这个表达式在

A大于0趋向0时的极限

是等于负1的

这就是我们要求的

第二个瑕积分的积分值

接下来我们来看第四道例题

我们判断x的p次方分之1

在0到1这个区间上的瑕积分

它的收敛性

我们知道在p大于0时

那么x等0应该是

这个被积函数的瑕点

我们对参数p的取值进行讨论

如果p是等1时

那么x分之1

它的原函数应该是lnx

它在A到1上的定积分值

就应该是负的lnA

那么这个定积分值

在A大于0趋向0时

是一个正无穷大量

所以我们考虑的瑕积分

在p等于1时是发散的

如果p是大于1时

我们考虑的瑕积分

也就是x的p次方分之1

在A到1上的定积分值

当A大于0趋向0是个极限

请大家注意这个时候

我们求出的表达式中

A到p减1次方分之1这个部分中

p减1是大于0的

所以A大于0趋向0时

这个表达式是一个正无穷大量

也就是说p大于1时

我们的瑕积分是发散的

如果参数p小于1

我们可以同样的

求出xp次方分之1

在A到1上的定积分值

在这个表达式中

A的1减p次方

这个指数1减P是大于0的

所以这个表达式

在A大于0趋向0时的极限

是存在的

它的值就等于1减p分之1

也就是p小于1时

我们的瑕积分是收敛的

也就是对我们讨论的瑕积分来说

p大于等于1发散

P小于1是收敛的

同样的如果我们考虑的瑕积分

是x减a括起来p次方分之1

在ab区间上这个瑕积分

或者是我们考虑的是

b减x括起来p次方分之1

在ab区间上这个瑕积分

我们的结论仍然是

只要p小于1

这两个瑕积分都是收敛的

p大于等于1

这两个小积分都是发散的