8.2.2 一阶线性微分方程(2)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍

第八章常微分方程

第二节 一阶线性微分方程

前面我们已经得到了

一阶齐次线性微分方程

和一阶非齐次线性微分方程的

通解公式

本讲将通过

几个具体微分方程的求解过程

熟练的掌握这两个通解公式

并进一步体会变量替换思想

在求解微分方程

问题时的重要性

首先我们来看第一道例题

我们求下面

这个微分方程的通解

微分方程是dy比上dx

加上x分之1倍的y

再等于sinx比上x

我们知道这个微分方程

就是一个

一阶非齐次线性微分方程

为了更好的理解

一阶非齐次线性微分方程的

变动任意常数法的

具体求解过程

在这个具体题目中

我们就用变动任意

常数法的求解方法

来求解这个方程

首先这个方程

它对应的齐次方程

就是dy比上dx

加上x分之1再乘上y等于0

这个其次方程

它是一个变量分析方程

它的通解我们可以求出

是y等于x分之C

C是任意常数

为了求得非齐次方程的通解

我们就令y等于Cx比上x

我们将y和y′与C的关系

代入非齐次方程

我们就会得到关于未知函数

Cx的一个新的方程

最后我们整理这个方程

就会得到是C′x等于sinx

我们积分就求出了Cx

等于负的cosx加上常数C

这样我们就求得了

原来这个非齐次方程的通解

就是y等于x分之1

乘上括号里面C减去cosx

这就是我们要求的

一阶非齐次线性微分方程的通解

在我们熟悉了

变动任意常数法的

具体求解过程之后

我们再求解

一阶非齐次线性微分方程时

可以省略这个过程

而直接套用

一阶非齐次方程的通解公式

也就是有了

一阶非齐次线性微分方程之后

我们将系数函数px

和自由项函数qx

它的具体表达式得到了

就可以直接代入下面的通解公式

通过积分就会得到

我们要求的非齐次方程通解公式

第二道例题

我们求下面这个微分方程的通解

方程式y′减去x加1分之2乘上y

等于x加1的2分之5次方

这是一个

一阶非齐次线性微分方程

系数函数px

就等于负的x加1分之2

自由项函数qx

就等于x加1的2分之5次方

我们利用

一阶非齐次线性微分方程

它的通解公式

我们就会得到

y就等于e的x加1分之2的

一个原函数次方

乘上括号里面

是C加上一个不定积分

被积函数是x加1的

2分之5次方

再乘上e的负x加1分之2的

e的原函数次方

我们通过简单的积分计算

就会得到我们要求的

这个通解公式

就是x加1括起来的平方

再乘上括号里面

C加上3分之2倍的

x加1的2分之3次方

这就是我们要求的

这个微分方程的通解

下面我们看第三道例题

我们来求下面

这一个微分方程的通解

微分方程是y′

等于1除上两倍x减去y的平方

这是一个一阶微分方程

如果我们是将x作为自变量

y作为未知函数

这个方程它并不是线性微分方程

我们换一个角度

也就是说如果我们让y做自变量

x是未知函数

我们利用y关于x的导数

与x关于y的导数

是互为导数关系

我们就把原来的方程

变成是x′减掉2倍x

等于负的y方

x′表示的是x关于y的导数

这是一个关于

x等于iy这个函数的

一个一阶非齐次线性微分方程

我们利用

一阶线性微分方程的通解公式

就会得到x就等于

e的2的原函数次方

乘上括号里面C加上负y方

再乘上e的负的2的原函数次方

最后我们会得到一个

y方乘上e的负2y次方

求原函数的问题

在前面介绍积分法时

我们知道这是一个典型的

可以用分布积分法

处理的不定积分

我们对这个积分

分布积分两次就可以得到

它就等于负的4分之1

乘上1的负的2倍y次方

再乘上括号里面2倍的y的平方

加上2倍的y加1

最后加上常数C

这样我们就得到了我们要求的

微分方程的通解是

x等于C乘上e的2倍的y次方

减去4分之1乘上括号里面

2倍的y的平方加上

2倍的y再加上1

也就是说在处理一般的

一阶微分方程时

如果我们让x做自变量

y做应变量

而不会求解时

我们可以换一个角度

就是把自变量和应变量对调

看看新的微分方程

我们是否能够求解

下面我们看第四道例题

我们求下面这个微分方程的通解

这个方程是y的一阶导数

加上x分之1乘上y

等于y的平方

再乘上lnx

这是一个一阶微分方程

但是它并不是一个

一阶线性的微分方程

我们根据y分之1

关于x的导数

等于负的y方分之1乘上y′

我们可以将这个方程进行变形

在这个方程两端

同除y的平方

也就是将这个方程

就变成了y分之1

括起来关于x的导数

减去x分之1

再乘上y分之1

等于负的lnx

这是一个关于

y分之1这个变量的

一阶线性微分方程

我们用一阶线性微分方程的

通解公式

就会得到y分之1

它最后的表达式

就是x乘上C减去

2分之1倍的ln方x

这样我们就得到了

原来的微分方程它的通解公式

也就是y就等于1除上x

乘上括号里面

C减去2分之1倍的ln方x

实际上对于例4中出现的

这个微分方程

我们可以把它推广到一般的情况

也就是说一般的我们可以考虑

y的一阶导加上px乘上y

等于qx乘上y的n次方

考虑这个形式的微分方程

在这个方程里边

如果n等于0

这就是我们前面讨论过的

一阶非齐次线性微分方程

如果n等于1

它实际上就是我们前面讨论过的

一阶齐次线性微分方程

在n不等于0和n不等于1时

这个形式的方程

我们一般称作是伯努利方程

对于伯努利方程

它的求解方法

就是将y的n次方

同处于方程两端

我们利用米函数的求导公式

就可以进一步

将这个方程转化成

1减n分之1乘上y的

n减1次方分之1的导数

再加上px乘上

y的n减1次方分之1

等于qx

最后这个方程中

我们将y的n减1次方分之1

作为新的未知函数

这就是关于这个未知函数的一个

一阶线性非齐次方程

我们利用

一阶线性微分方程的通解公式

就可以求出

y的n减1次方分之1的表达式

也就得到了

原来这个伯努利方程的通解公式

事实上我们求解微分方程的

最主要的思想

就是通过变量替换

将不会求解的微分方程

变成我们熟悉的微分方程

下面我们再看道例题

例5

求微分方程y′加1

等于e的负y方乘上sinx的通解

如果不做变形

这个一阶微分方程

就不是我们会求解的

微分方程的形式

但是如果我们将这个方程两端

同乘e的y次方

那么这个方程

就会变成e的y次方

乘上y′加上e的y次方

等于sinx

我们知道e的y次方乘上y′

实际上就是

e的y次方关于x的导数

我们将e的y次方

作为新的未知函数

我们得到的方程

就是关于这个未知函数的

一个一阶线性微分方程

利用微分方程的通解公式

我们就得到了e的y次方

它的求解公式

通过运算

我们知道我们要求e的x次方

乘上sinx的原函数

这也是一个典型的

可以用分布积分法

处理的不定积分问题

我们回忆一下

对这个被积函数

用分布积分公式两次

就会得到我们要求的

这个原函数满足的方程

从而就得到了

这个原函数的表达式

最后我们就得到了e的y次方

就等于1的负x次方

乘上括号里面

C加上2分之1倍的

e的x次方

再乘上括号里面sinx

减去cosx

这就是我们要求的

微分方程的通解公式

如果我们将两端取对数

就可以直接得到

y用x给出的表达式

下面我们看最后一道例题

这是一道简单的应用题

在xy坐标面上

假设连续曲线L是过点M1 0的

在这条曲线上任意一点P x y

在这点的切线

它的斜率与直线OP的斜率之差

是等于2倍x

在这两个条件下

我们来求曲线L的方程

要处理这道问题

我们就用到了导数的几何意义

也用到了简单的

一阶微分方程的求解问题

我们假设曲线L的方程

就是y等于yx

那么曲线L在px y

这一点的切线斜率

就是y关于x的导数

而直线OP的斜率就等于P点的

纵坐标与横坐标的比值

根据题目中给的条件

我们知道y关于x的导数

减去y比上x应该就等于两倍x

这是一个简单的

一阶非齐次线性微分方程

我们利用通解公式

就可以求出这个方程的通解

最后就等于Cx加上2倍的x平方

为了确定这里面的常数C

我们就再用题目中

给的另外一个条件

就是说曲线L

是过点M1 0的

也就是说x等于1时y应该等0

所以C加2应该等0

也就是C等负2

这样我们就求出了曲线L的方程

是y等于2倍x乘上括号里面x减1

这一讲中我们通过具体例子

练习了利用通解公式

求解一阶线性微分方程的方法

在求解过程中

要将方程化为标准形式

同时也要注意px的不定积分

和qx乘上e的px不定积分次方

这个函数的不定积分

它表示的只是

被积函数的一个原函数

伯努利方程

是一类特殊的一阶微分方程

变量替换可以

将其化为线性微分方程

这是伯努利方程的一般求解方法

从下一讲开始

我们将介绍

二阶常系数线性微分方程

谢谢同学们

下一讲 再见