8.1.1 一阶可求解常微分方程在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第八章

常微分方程

第一节 一阶可求解常微分方程

在前面我们已经学习了

微积分方程的基本概念

和变量分离微积分方程的解法

在这一章中

我们首先对微分方程的有关问题

做进一步的讨论

其次我们要介绍几类

一阶微分方程的求解方法

之后是二阶常系数

线性微分方程的解法

最后是微分方程的简单应用举例

我们已经掌握了

变量分离方程的求解方法

在一阶微分方程中

除了变量分离方程

还有一些其他方程

也可以通过基本积分法进行求解

本讲将介绍

齐次型方程的求解方法

在前面我们曾经介绍过

微分方程的基本概念

和变量微分方程的求解方法

在介绍新的可求解微分方程之前

我们先回顾一下微分方程的

一些基本问题

我们知道如果用x表示自变量

用y等于yx表示未知函数

那么n阶常微分方程

我们一般的可以表示成

F x y y′

一直到y的n阶导数等于0

在这个等式的左端

我们表示的是

自变量以及未知函数

它的指导n阶导数

得到的一个表达式

这就是n阶常用方程的一般表示

关于微分方程

我们主要关心的问题是下面三个

第一个也就是说

给了一个微分方程之后

有没有函数满足这个微分方程

这就是关于微分方程

解的存在性问题

因为如果我们知道了

解的存在性

我们就可以避免盲目的去寻找

不存在的东西

而关于微分方程解的存在性

我们解决的方法

一般就是对方程加以限制

或者是对我们的F

加上一些限制条件

我们看下面两个例子

第一个例子

我们要求y′x

在x大于等于0时 等于1

在x小于0时等于负1

要求满足这个条件的函数yx

我们知道函数的导数

它是有所谓的介质性质的

对于这个简单的问题

我们知道在x大于0时

yx应该等于x加上一个常数

在x小于0时

yx应该等于负x加上一个常数

实际上对于这样的函数来说

我们很难对于这个简单的问题

我们知道x大于0时

yx应该等于x加上一个常数C1

在x小于0时

yx应该等于负x加上一个常数C2

因为我们要求的是这个函数

在负无穷到正无穷上的解

我们还要关心当x等0时

yx的函数值等什么

事实上yx要想在x等0这点可导

它首先在x0这点

必须是连续的

这样我们就知道C1和C2

应该是相等的

也就是它要等于x加上C

这是x大于0时的表达式

x加上C只是在

x小于0时的表达式

而对这个函数来说

它在0这点的左导数是负1

右导数是正1

所以这个函数在0这点

是不可导的

也就是说这个简单问题

它的负无穷到正无穷这个范围上

是无解的

我们再看另外一个例子

我们假设gx

是负无穷到正无穷上的连续函数

我们求y′x等于gx的函数yx

我们根据变限定积分函数的性质

我们知道我们要求的yx

一定可以表示成

gt在0到x上的定积分

再加上一个常数C

这个时候这个问题

它是有解的

但是它的解是有无穷多个

这实际上是

我们关心的第二个问题

也就是关于微分方程

解的唯一性问题

因为如果我们证明了解的唯一性

那么在求解方程时

就可以不受方法的约束

因为在唯一性的前提下

我们用任何方法

得到的解

都应该是一样的

关于解的唯一性

我们只对方程增加限制是不够的

因为像刚才我们的第二个例子

y′等于gx

在gx连续时

它的解因为带有常数C

所以它实际上是有无穷多个解

所以要解决唯一性问题

除了对方程增加限制条件之外

还需要对解加以限制

也就是要增加一些定解条件

对于一阶微分方程

我们增加的定解条件就是

给他在x0这点的函数值

也就是yx0就等于y0

这样我们为了求唯一的解

一般解决的是一阶微分方程的

一个定解问题

也就是方程是y′等于fxy

再加上定解条件

yx0等于y0

对二阶的微分方程

我们一般的加定解条件

是加他在x0这点的函数值

和一阶导数值

所以二解微分方程的定解问题

一般的指的是方程本身

F x y y′ y′′等于0

再加上两个定解条件

y在x0这点的函数值等y0

y的一阶导数在x0这点的值

等于y1

这就是二阶微分方程

我们经常处理的定解问题

这个问题我们也称为

是二阶微分方程的处置问题

或者是可行问题

关于微分方程解的存在性

和唯一性

并不是我们

这个课程的讨论的重点

所以我们给一个假设

我们假设在我们的课程中

出现的常微分方程

它的解总是存在的

而我们所讨论的定解问题

它的解都是存在唯一的

所以关于解的存在唯一性问题

我们不再做进一步的讨论

我们主要关心的是下面一个问题

也就是关于微分方程的求解问题

我们知道我们研究

微分方程的目的

就是要解决相关的问题

只有求出了微分方程的解

我们要处理的问题

才算得到了解决

关于微分方程的求解问题

主要由两个方面

一个就是求它的解析解

也就是要求理论上的准确解

还有一个就是求数值解

实际上就是要求它的近似解

在实际的应用问题中

我们求的都是微分方程的数值解

作为课程来说

我们下面主要讨论的

是一些最简单的微分方程

求解析解的问题

下面我们来介绍一下

一类特殊的一阶可求解方程

这就是齐次型方程

首先我们看什么样的方程

叫做齐次型方程

也就是要介绍一下

齐次型方程的概念

我们给一个定义 定义1

我们将y′等于fy比x的

一阶微分方程

称为齐次型微分方程

从齐次型微分方程的

定义可以看出

这是一类特殊的一阶微分方程

下面我们来介绍

齐次型方程的求解方法

在齐次型方程中

因为一阶导数的值

是只依赖于比值y比上x

所以我们就将y比上x

看作是一个新的变量

也就是令ux就等于yx比上x

ux看作是新的一个变量

实际上也就是将ux

看作是新的未知函数

因为y′利用两个函数

乘积的导数公式

它就等于u加上xu′

这样我们就将原来的齐次型方程

y′等于fy比上x

画成的u′等于fu减u再除上x

这是关于ux的

一个一阶变量分离方程

我们利用

变量分离方程的求解方法

就可以求出未知函数ux

再利用ux和yx的关系

也就得到了

我们要求的未知函数yx

这就是齐次型方程的

一般求解方法

下面我们看几道例题

例1

我们求解下面这个微分方程

这个方程是x平方乘上y′

加上x乘y等于y的平方

x的取值范围是x大于0

这是一个一阶微分方程

我们对这个方程两端

同除以x平方并移项整理

就会得到y′

就等于y除上x括起来平方

减去y除上x

这样我们知道

这就是一个齐次型方程

我们令u等于y除上x

就会得到y′

就等于u加上x乘上u′

我们将y y′代入原来的方程

我们就会得到

关于u的一个新的微分方程

也就是x乘上u′

等于u方减两倍的u

这是关于u的一个变量分离方程

在u方减两倍的u

不等于0时

我们分离变量

就会得到du除上u方减2倍的u

等于dx除上x

我们两边做积分

我们知道u方减2倍u分之1

它的不定积分

就等于2分之1倍的lnu减2

除上u的绝对值

再加上积分常数C1

在x大于0时

x分之1的不定积分

就等于lnx加上C2

所以我们就得到了

2分之1倍的lnu减2除上u

取绝对值加上C1

就等于lnx加上C2

我们整理就会得到u减2除上u

就等于C乘上x平方

C是一个任意常数

我们将u等于y比上x代入

就得到了y与x的关系

最后整理就会得到

y就等于两倍x

除上1减C乘上x平方

这实际上就是我们要求的

原来微分方程的通解

在我们的求解过程中

我们去掉了一种情况

也就是u方减2倍的u

等于0的情况

在u方减2倍的u等于0时

也就是u等于0

或者是u等于2时

根据u和xy的关系

这对应的是y等于0

或者是y等于2倍x

我们可以验证y等0

和y等于2倍x

也满足原来的微分方程

所以他们也是原来微分方程的解

下面我们看第二道例题

我们求下面这个微分方程的解

微分方程是x乘上y′减去y

等于根下x方减y方

我们的求解范围是x大于0

同样我们将

这个微分方程两边通除x

并移项变形得y′

就等于y除上x

加上根下1减去y

除上x括起来平方

所以这就是一个齐次型方程

我们令u等于y除上x

我们将y和y′与u的关系

代入上面这个方程

我们就得到了

关于u这个未知函数的

一个新的微分方程

这个方程就是x乘上u′

等于根下1减u方

这是一个变量分离方程

在1减u方不等于0

也就是u不等于正负1时

我们分别变量

就会得到du除上根下1减u方

等于dx除上x

我们两边做积分

就会得到arctanu

就等于lnx加上C

我们将u与xy的关系代入

也就是arctany比上x

等于lnx加上C

这也是一个理式的通解

在u等于正1或者是u等于负1时

对应的就是y等x

或者是y等负x

我们也可以验证y等x和y等负x

也是原来方程的解

通过前面的介绍

以及两道具体的题目的求解过程

我们知道齐次型方程

它求解的主要想法

就是通过变量替换的方式

将原来的微分方程

变成是一个变量分离方程

从而就得出了原来微分方程的

解的这么一个方法

下面我们来看一下另外一种

可以通过变量替换

变成齐次型方程

或者是变成变量分离方程的

一阶微分方程的形式

比如说如果微分方程

就是y′等于f ax

加上by加c这个形式

与齐次型方程类似

在这个一阶微分方程中

一阶导数是依赖于一个表达式

ax加by加c的

所以我们可以令ux就等于

ax加by加c

这样y′与u′的关系

就是y′等于u′减a除上b

我们将y与u的关系

代入原来的微分方程

它就变成了

一个关于未知函数u的

一阶微分方程

就是u′等于a加上b倍的fu

这是一个变量分离方程

我们当然可以利用

变量分离方程的求解方法

求出ux的表达式

从而也就得到了yx的表达式

下面我们看另外一类方程

比如一个一阶微分方程

可以写成是y′等于f

ax加by加c再除上

a1x加b1y加上c1

也就是说这个一阶微分方程

未知函数的一阶导数

与一个一次有理函数有关

对于这个微分方程

我们根据里面出现的参数的情况

来对它进行分别讨论

首先如果c和c1同时等于0时

在这个方程中

我们上下同除x

我们就知道这时

这个一阶微分方程

它的一阶导数

就只与y比上x有关

这就是一个齐次型微分方程

所以这种情况下

我们就按齐次型方程

来求解这个方程

第二种情况是

如果c和c1不同时为0

但是在这个方程中a比上a1

与b比上b1是相等的

这个时候我们

将这个比例关系代入

原来的方程通过变形

就可以看出它的一阶导数y′

是只与ax加上by

这个表达式的值有关的

而这个方程

我们可以把它处理成是y′

等于fax加by加c的

这样的一阶微分方程

这就是前面我们

刚刚讨论过的一类方程

它的求解方式

我们也是知道的

在第三种情况下

也就是c与c1不同时等0

而且a比上a1也不等于b比上b1

这个时候为了求解微分方程

我们先解下面这个线性方程组

在给定条件下

我们知道这个线性方程组

存在唯一的解

我们假设它的解就是x0y0

有了x0y0之后

我们去做变量替换

令x就等于X加上x0

y就等于Y加上y0

有了这个变量替换之后

我们知道原来y关于x的导数

就可以表示成是Y关于X的导数

而原来的ax加上by加c

用X Y来表示

就变成了aX加上bY

类似的原来的a1x加上b1y

加上c1

用X Y来表示

就变成了a1X加上b1Y

这样我们原来的微分方程

关于X Y就变成了一个新的

一阶微分方程

dY比上dX

就等于faX加上bY

再除上a1X加上b1Y

这应该是一个关于Y X的

一阶齐次型微分方程

所以我们可以利用

齐次型方程的求解方法

得到Y与X的关系

从而也就能得到我们要求的

y与x的函数关系

下面我们通过一道例题

来进一步解释一下这种方法

例3

我们求解微分方程dy比上dx

等于x加2y减去3除上x加1

这就是一个y′

等于fax加by加c

比上a1x加上b1y加c1的

一阶微分方程

在这个方程中

我们的c和c1不同时为0

而且在这个方程中

我们的a比上a1

也不等于b比上b1

所以我们求解这个方程时

首先我们来解下面

这个线性方程组

就是x加2y减3等于0

和x加1等于0

它的解就是x等于负1和y等2

有了这个解之后

我们就令x等于X减1

y等于Y加2

这样我们原来的微分方程

就变成了Y和X满足的微分方程

也就是dY比上dX

就等于1加上2倍的Y比上X

这是一个齐次型微分方程

我们令U就等于Y比上X

那么这个方程就变成了

一个自变量是X

未知函数是U的一阶微分方程

也就是X乘上

dU比上dX等于1加U

这是一个变量分离方程

当U不等于负1时

我们分离变量

就会得到dU除上1加U

等于dX比上X

我们两端积分并整理就会得到

1加上U就等于CX

我们将U与X Y的关系代入

就会得到了Y就等于X乘上

括号里面C乘上X减1

我们再将X Y与

小写的xy的关系代入

就会得到原来方程的通解

是y等于括号里面x加1

再乘上中括号里面

C乘上括号里面X加1减去1

最后再加上2

这就是原来微分方程的通解

在考虑我们扔掉的情况

也就是U等于负1的情况

它对应的是Y等于负的X

也就是y等于1减x

在这个时候通过验证

我们可以知道这个函数

它也是满足微分方程的

所以它也是原来方程的一个解

在这一讲中

我们介绍了

研究微分方程时需要关注的问题

也就是微分方程解的存在性

和解的唯一性问题

对于齐次微分方程

可以通过变量替换

将其化为变量分离方程

这就是齐次微分方程的

一般求解方法

对于与齐次微分方程

类似的微分方程

都是做相应的变量替换

将他们化为齐次微分方程

变量替换是处理

微分方程的重要方法

下一讲将介绍

一阶线性微分方程

谢谢同学们

下一讲 再见