7.4.1 一般项级数(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第七章无穷级数

第四节 一般项级数

我们已经学习了

正项级数的判敛法

本讲将研究级数既有正数项

也有负数项

且正负项交替出现的情况

这就是所谓的交错级数

我们首先介绍一下交错级数

首先给出交错级数的概念

所谓的交错级数指的是

级数中的项是一正一负的

相间出现

比如通项是-1的n加一次方

除上这个级数

它的项就是

1减掉二分之一

加三分之一

再减四分之一等等

这就是一个具体的

交错级数的例子

我们写出定义

也就是如果Un大于0

那么-1的n减1次方

乘上Un做通项的级数

我们就称作是交错级数

下面我们介绍

交错级数的判敛法

交错级数的判敛法

定理13

我们假设正数列Un

当n充分大时

满足第一个条件

Un大于等于Un加1

第二个条件

Un在n趋向无穷时的极限

等于0

在这两个条件下我们就知道

交错级数也就是通项是

-1的n加1次方

乘Un的交错级数

他一定就是一个

收敛的级数

这个判敛法我们

一般就称作是

交错级数的Leibniz判敛法

而这个判敛法我们一般称作为

交错级数的Leibniz判敛法

这个判敛法中的两个条件

我们一般就称作为

Leibniz条件

定理13

说的就是如果交错级数

他是满足Leibniz条件的

那么这个交错级数

就一定是收敛的

下面我看一下定理13的证明

我们不妨假设N就等于1

我们来考虑这个交错级数的

前2m项的部分和

s2m也就等于

u1减u2加上u3减u4

一直加到u2m减1减去u2m

在给定的第一个条件下

我们知道这个表达式中

每个括号里的值都是非负的

所以s2m就大于等于s2m减2

也就是s2m是一个

单调递增的数列

我们重新对s2m的

表达式做一个表示

也就是说我们把它表示成

u1减掉括号里面

u2减u3这样一直减到

括号里面u2m减2

减去u2m减1

在减去最后一项u2m

大家注意到在给定条件下

我们每一个括号都是非负的

我们将这些被减的正数去掉

就把s2m放大

放大到u1

这样就证明了

在给定条件下

数列s2m是一个单调递增的

有上届的数列

所以他的极限是存在的

我们记它的极限值就等s

由于s2m加1就等于

s2m加上u2m加1

考虑到我们定理中的

第二个条件

u2m加1的极限是等0的

这样我们就得到了

s2m加1的极限

就等于s2m的极限

也就等于s

根据数列极限与子列极限的关系

在s2m和s2m加1

这两个特殊子列

极限相等的条件下

我们就得到了

sn的极限就等于s

也就是说在给定的两个条件下

我们的交错级数是收敛的

这就是Leibniz判敛法的证明过程

下面我们来看几个具体的例子

例1

我们判断下面这个级数

它的敛散性

这个级数是一个交错级数

我们为了判断他的敛散性

我们首先验证他是否满足

Leibniz条件

在这个交错级数中

Un是等于n分之一的

n分之一当然是一个单调下降

而且趋向于0的数列

所以他是满足

Leibniz判敛法中的条件的

所以这个交错级数

他是收敛的

例2

我们判断下面这个级数

它的敛散性

这个级数它的通项是

负1的n加1次方

乘上n的自然对数

在除上n

这当然也是一个交错级数

对这个交错级数来说

我们为了验证

它的通项也是满足

Leibniz条件的

我们考虑函数f(x)

等于lnx比上x

因为f一撇x

就等于1减lnx

除上x平方

所以只要x大于e

导数就是小于0的

这就说明了

这个函数是个单调下降的函数

也就说明了

只要n大于等于3

那么Un就大于Un加1

这样就验证了

我们Leibniz判敛法中的

第一个条件

同样我们知道lnx比上x

在x趋向正无穷是的极限

是等0的

这样我们又证明了Un

在n趋向无穷时的极限

等于0

这就是Leibniz判敛法中

第二个条件

这样我们就证明了这个

交错级数是满足

Leibniz条件的交错级数

所以他是收敛的

例3

我们判断下面

这个级数的敛散性

这个级数的通项是

-1的n减1次方

除上n的2加上-1的n次方次方

这个级数是一个交错级数

而且他的通项是趋向于0的

但是他的第2m项的绝对值

是2m的3次方分之1

而他的第2m加1项的绝对值

是2m加1分之1

我们可以看出

他通项的绝对值

是没有单调性的

也就是说这个交错级数

他并不满足Leibniz判敛法的

判别条件

为了给出这个交错级数的敛散性

我们将它进行重组

考虑这个级数的一个重组

也就是两两加括号

在这个重组级数中

由第一项做通项构成的级数中

是发散的

而第二项它构成的是收敛的

所以这个重组级数

是一个发散级数

这就说明

原来的级数也是发散的

这个结论的得到

利用的是

如果原来的级数是收敛的

那么他的任何一个重组级数

都是收敛的

例4

我们判断下面

这个级数的敛散性

这个级数的通项是-1的

n次方除上

根下n加上-1的n次方

在这个交错级数中

他的通项趋向于0

也是显然的

同样他通项的绝对值

也是没有单调性的

所以这也是一个并不满足

Leibniz条件的交错级数

下面我们给出

这个级数判敛的方法

我们考虑这个交错级数

他前2n项的和

在这个表达式中

每一个括号都是小于0的

这说明s2n这个说列

是单调递减的

我们为了证明他有极限

我们只要在说明

他有下届就行了

为了说明他有下届

我们把这个表达式中

相邻的两项前后交换位置

重新做组合

就会得到s2n等于

负的根下2分之1

加上括号里面

根下3分之1减去

根下4分之1

这样一直加到

括号里面

根下2n减1分之1减去

根下2n分之1

最后再加上

根下2n加1分之1

大家知道每一个括号

都是大于0的

最后一项也是大于0的

我们将这个表达式中

这些大于0的项全扔掉

也就把它缩小到

负的根下2分之1

这样就说明了

s2n是一个单调下降

而且有下届的数列

所以他的极限是存在的

由于s2n加1

就等于s2n加上

u2n加1

u2n加1他是趋向于0的

这样就证明了

s2n加1和s2n的极限

是相等的

所以sn的极限是存在的

也就是说这个交错级数

他是一个收敛的交错级数

下面我们来介绍一下

交错级数的余项估计

我们假设u1减u2

加u3减u4等等

是一个满足Leibniz条件的

交错级数

下面我们就估计

用他的部分和

sn来近似它的级数和的误差

我们记Rn就等于

级数的和S减去

它的部分和sn

那么Rn的绝对值

也就等于

Un加1减去Un加2

加上Un加3再减去Un加4等等

在这个等式的右边

牵扯到的级数仍然是一个

Leibniz条件下的

交错级数

也就是一个收敛的交错级数

而且这个级数和

我们对他进行放大之后

他就小于Un加1

这样我们就得到了

下面这个结论

定理14

假设正数列Un

当n大于N是满足

un大于un+1 un极限等

于零 那么我们用前

n项和来近似这个奇数和

它的误差绝对值就小于un+1

也就是在Leibniz条件下的

交错奇数 我们用它的部

分和近似这个奇数的和

能够得到一个很明确的误差

估计公式

下面我们利用

定理14来处理一道具体的题目

例5 如果用前n项

估计下面奇数的和

这个奇数的通向是

—1的n+1次方

图上n如果要使得误差小于

0.001 问至少需要取多少项

在这个问题中

我们的奇数是一个

满足Leibniz条件的

交错奇数

所以由定理14我们就知道

用它的前n项近似奇数和

的误差应该是满足rn绝对值

就小于这个奇数第n+1项的

绝对值也就是

小于n+1分之一

如果要是误差

小于 0.001也就是要使的

rn小于一千分之一

在上面这个不等式中

我们知道只要

取n=999就可以达到这个要求

这就是我们求得的结果

在这一讲中

我们介绍了交错级数的概念

给出了交错级数的

莱布尼兹判敛法

在莱布尼兹条件下

我们不仅知道交错级数是收敛的

而且还得到了利用部分和

近似级数和的误差估计

这是交错级数的一个重要结果

当交错级数不满足莱布尼兹条件时

要研究这类级数的收敛性

莱布尼兹判敛法的证明思想

和证明方法

就具有重要的示范作用

下一讲将介绍一般项级数

谢谢同学们

下一讲 再见