7.4.2 一般项级数(2)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课 微积分课程

今天我们介绍第七章无穷级数

第四节 一般项级数

前面我们学习的正项级数

和交错项级数

都是特殊的数项级数

本讲将介绍一般的数项级数

我们将介绍

绝对收敛和条件收敛的概念

并给出绝对收敛与条件收敛的关系

我们首先介绍

一般项级数的绝对值判敛法

我们介绍一下绝对收敛

与条件收敛的概念

定义5

如果以an的绝对值

为通项的级数是收敛的

我们就称以an为通项的级数

是绝对收敛的

如果以an为通项的级数本身收敛

以an的绝对值为通项的级数

是发散的

我们就称以an为通项的级数

是条件收敛的

关于级数的绝对收敛与条件收敛

我们需要说明的是

对级数的通项不变号的级数

收敛与绝对是等价的

但对通项变号的级数

收敛与绝对收敛的关系

对不同的级数来说

则是各不相同的

比如我们考虑交错级数

它的通项是负1的n加1次方

乘上n的平方分之1

这个级数它本身是收敛的

同时 它的绝对值级数

也是收敛的

也就是说它既是收敛的

也是绝对收敛的

而对于交错调和级数

也就是通项是负1的n加1次方

乘上n分之1这样的级数

它是满足

莱布尼兹条件的交错级数

所以它本身收敛

但是它的绝对值级数是调和级数

调和级数并不收敛

所以这个级数是收敛

但并不是绝对收敛的

下面我们给出绝对值判敛法的内容

定理15

如果以an的绝对值为通项的级数

是收敛的

那么以an为通项的级数

就一定是收敛的

也就是说如果

一个级数是绝对收敛的

那么这个级数本身就是收敛的

下面我们给出这个判敛法的证明

我们知道根据绝对值的定义

an是介于它绝对值的负值

和它绝对值之间的

所以an加上an的绝对值

它是大于等于0

小于等于2倍的an的绝对值

在给定条件下

因为以2倍的an的绝对值

做通项的级数是收敛的

所以根据正项级数的比较判敛法

我们就知道以an

加上an的绝对值做通项的级数

也是收敛的

因为an我们可以表示成

an加上an的绝对值

再减去an的绝对值

根据收敛级数的线性运算性质

我们知道两个收敛级数

它的通项求和

得到的新的级数也是收敛的

这样我们就知道

以an做通项的级数

是一个收敛级数

这样我们就证明了定理15的结论

下面我们看几道例题

例1

我们判定以下三个级数

它是不是绝对收敛的

是不是条件收敛的

或者是它是不是发散的

首先对第一个级数

我们考虑它通项的绝对值

对第一个级数来说

sinn比上n的平方它的绝对值

是小于等于n的平方分之1

我们知道n的平方分之1这个级数

本身是收敛的

所以根据正项级数的比较判敛法

我们就知道

以sinn除上n的平方的绝对值

做通项的级数也是收敛的

这就说明第一个级数

它是绝对收敛的

我们再来看第二个级数

第二个级数是交错级数

而且我们容易验证

它是满足莱布尼兹条件的

所以第二个级数

本身是一个收敛级数

而它的绝对值级数

它的通项是1除上3次根下n

这是一个t等于3分之1的t级数

所以是一个发散级数

也就是说第二个级数本身收敛

但它的绝对值级数是发散的

所以他是条件收敛的

我们再来看第三个级数

第三个级数

首先我们考虑他的绝对值级数

对它的绝对值级数

我们用根式判敛法

也就是要求它的第n项的开n次方

然后让n趋向无穷 取极限

对于这个级数来说

这个极限值应该等于4分之3

4分之3是小于1的

所以根据正项级数的根式判敛法

我们知道第3个级数

它的绝对值级数是收敛的

也就是说第三个级数是绝对收敛的

下面我们看一下例2

我们判断下面这个级数的收敛性

这个级数的通项是n的a次方

乘上b的n次方

其中ab是两个实数

首先如果实数b是等于0的

这个时候级数的通项

都是等于0的

所以级数是收敛的

当参数b不等于0时

我们对它的绝对值级数

用比值判敛法

我们知道它绝对值级数的后一项

与前一项比值的极限

是等于b的绝对值

所以当b的绝对值小于1时

我们知道原来的级数是绝对收敛的

当b的绝对值大于1时

因为它的绝对值级数的通项

是个正无穷大量

所以级数本身的通项

并不满足收敛的必要条件

级数本身是发散的

当b的绝对值等于1

也就是当b等正1

或者是负1时

如果b是等于正1

那么我们原来的级数

就变成了一个通项

是n的负a次方分之1的t级数

只有在负a大于1

也就是a小于负1的时候

它是收敛的

其他情况它都是发散的

当b等于负1时

我们原来的级数

就变成了一个通项是负1的n次方

除上n的负a次方

这样一个交错级数

这个交错级数

只要负a大于0

也就是a小于0

它就满足莱布尼兹条件

所以在a小于0时

它是收敛的

其他情况它是发散的

下面我们来介绍一下

绝对收敛级数的有关性质

首先看第一个性质定理16

我们记an正等于2分之1

括号里面an加上an的绝对值

an负等于2分之1

括号里面an减掉an的绝对值

根据绝对值的定义

我们知道an正表示的是

an中的非负项

而an负表示的是an中的非正项

有了这两个记号之后

我们就有下面两个结论

第一个结论以an正为通项的级数

绝对收敛

它的充分必要条件是以an正

和以an负为通项的级数

都是收敛的

第二个结论是

以an为通项的级数

是条件收敛的

它的必要条件

也就是说它一定能退出以an正

和以an负为通项的级数

都是发散的

一个负项级数

和一个正项级数发散

也就是指的负项级数

它应该是个负无穷大量

正项级数应该是个正无穷大量

下面我们给出定理16的证明

首先我们证第一个结论

先证它的充分性

根据an正和an负

它的定义我们知道

an的绝对值

就等于an正减去an负

我们现在的条件是

an正和an负为通项的级数

都是收敛的

那么利用收敛级数的

线性运算性质

我们就知道

以an的绝对值为通项的级数

也是收敛的

也就是说以an为通项的级数

是绝对收敛的

这样我们就证明了充分性

下面我们看必要性的证明

根据an正和an负的定义

我们知道an正是大于等于0

小于等于an的绝对值

负的an负也是大于等于0

小于等于an的绝对值

这个时候我们的条件是

以an的绝对值

为通项的级数是收敛的

所以根据正向级数的比较判敛法

我们就知道以an正和以an负

为通项的级数也都是收敛的

这就是必要性的证明

下面我们来证第二个结论

因为an正是等于2分之an

加上an的绝对值

an负是等于an减去an的绝对值

如果以an为通项的级数

是条件收敛的

也就是说以an

为通项的级数本身收敛

而以an的绝对值为通项的级数

是发散的

那么这样我们就得到了

以an正和以an负为通项的级数

应该都是发散的数项级数

由于an正的部分和

是个单调递增的

它如果发散意味着他没有上限

所以它一定是正无穷大量

同样的以an负

为通项的级数的部分和

是单调递减的

它如果发散

就说明它的部分和没有下界

所以它就是负无穷大量

下面关于绝对收敛

我们不加证明的

给出绝对收敛级数的两个性质

一个是重排性质

一个是乘法运算

关于重排性质

我们看定理17

如果以an为通项的级数

是绝对收敛的

以bn为通项的级数

是以an为通项级数的一个重排

我们的结论是

以bn为通项的级数

也是绝对收敛的

而且这个级数的和

与原来级数的和是相等的

也就是说对于

绝对收敛的级数来说

交换它里面任意项的顺序

并不改变它的收敛性

也不改变他的和的大小

关于这个定理

我们需要做以下两点说明

第一点说明

所谓的bn为通项的级数

是an为通项级数的一个重排

指的是数列b1 b2 b3它的项

只是数列a1 a2 a3的

重新排列得到的

通俗的讲

就是说通过改变

一个级数中某些项的顺序

就会得到这个级数的

一个重排级数

我们需要说明的第二点是

定理17说的是在绝对收敛的前提下

级数的运算是有交换律的

也就是说在绝对收敛时

我们可以把

有限个数求和的交换律

直接推广到

无穷多个数的运算中来

另外对于一般的收敛的级数

级数的和是否重排后也不变

事实上只有绝对收敛的级数

才有这样的性质

我们看下面

一个条件收敛的例子

我们考虑交错调和级数

也就是1减去2分之1

加3分之1 减去4分之1等等

我们知道这个级数

它本身是条件收敛的

这个级数它的所有的正数项的和

也就是1加3分之1 加5分之1

这样一直加下去

它是一个正无穷大量

同样的 它的所有负数项的和

也是一个负无穷大量

现在我们可以找

一个这个级数的重排方式

使得重排完之后的级数

是趋向于正无穷的

首先我们将这个级数中

所有的正数项用括号进行分组

每组的和要求是大于

或者是等于1

比如说我们分成第一项是1

第二项是3分之1

一直加到15分之1等等

因为所有的正数项加起来

是一个正无穷大量

所以我们一定能做到这一点

将正数项进行分组之后

下面我们做如下重排

在上面的每一组之后

我们插入一个负数项

也就是在1之后

我们插入负2分之1

在3分之1加到15分之1之后

我们插入负4分之1

按照这个原则

我们就得到了

这个级数的一个重排

对于这个重排来说

我们知道一组正数之和之后

插入一个负项

因为每一组正数之和

是等于大于1的

而插入的这一个负项

是趋向于0的

这样我们就可以得到这种重排

就使得每一个正数与一个负数项

综合在一起

它是越来越靠近1的

所以他们的和

是趋向于正无穷大的

这就是一个条件收敛的级数

经过重排之后

它不仅不收敛了

而且它还可以是一个

正无穷大量的例子

事实上关于条件收敛的级数

在分析学上有一个很著名的结论

就是所谓的Riemann定理

Riemann定理它的内容是

它说如果以an为通项的级数

是条件收敛的

那么对于任意的实数x

总会在这个条件

收敛级数的一个重排级数bn

使得这个重排级数是收敛的

而且它的和是等于x的

特别的这个条件收敛的级数

是存在发散的重排级数的

Riemann定理就说

对于条件收敛的级数来说

它是没有交换律的

下面我们介绍绝对收敛级数的

另外一个性质

我们假设以Un和Vn为通项的级数

都是绝对收敛的

而且它们的和分别是A和B

那么所有的ui乘上vj

按任意顺序得到的级数

也是绝对收敛的

并且这个级数的和就等于A乘B

我们可以写作以Un为通项的级数

乘上以Vn为通项的级数

它是收敛的

它的和就等于A乘B

这是关于绝对

收敛级数的惩罚运算性质

对一般的条件收敛的级数来说

两个条件收敛的级数

做完乘积之后

得到的级数是否收敛

如果收敛时

它的和等于多少

我们都没有一般的结论

对于绝对收敛的级数

我们有它的乘积级数是收敛的

而且它的和就等于

原来两个级数和的乘积

通过前面我们介绍的几个结论

我们可以体会到绝对收敛

是级数一个更强的性质

在这个性质下

我们可以将

有限个数的一些运算律

直接推广到

无穷多个数的运算中来

如果级数只是条件收敛的

那么有限个数的相关运算律

则不见得就能直接推广到

无穷多个数的运算中来

在这一讲中

我们给出了级数绝对收敛

和条件收敛的定义

证明了绝对值判敛法

介绍了绝对收敛的充要条件

和条件收敛的必要条件

给出了绝对收敛级数的重排性质

和乘积级数的收敛性结论

绝对值判敛法

是我们处理一般项级数

收敛性的常用方法

在具体应用时

一般是对其绝对值级数

使用正项级数的比值判敛法

当后一项与前一项的绝对值的比值

极限小于1时

级数是绝对收敛的

当后一项与前一项绝对值的比值

极限大于1时

因为通项的绝对值

是正无穷大量

所以级数本身是发散的

重排性质说明的是规律收敛的级数

满足加法运算的交换律

我们知道条件收敛级数

是既不满足加法运算的交换律

也不能得到他们

乘积级数的收敛性结论

在下一讲中

我们将开始介绍

一类特殊的函数项级数

也就是幂级数

谢谢同学们 下一讲 再见