当前课程知识点：工程热力学（上） > 第2章 热力学第一定律 > 第2章讨论习题课 > Video 2-8（2）习题课(1)
我们来看一下充气问题
要研究这问题就要选系统
这个实际上是我们教材的
第二章的第九题
右侧是它的一个示意图
下面是一个储气罐 中间有个阀门
在这阀门的上面是什么
是一个管道 储气罐里原来有气体
它的质量还有内能 下标都用0来表示
输气管道它的焓值是不变的
它的状态始终都是一样的
把阀门打开的话
气体就要充到储气罐里面去
经过若干时间充气之后
把阀门给关上
这个时候储气罐里工质的质量为m
用m来表示 现在请你做什么
请你来推导一下 这个时候储气罐里面
气体内能u′的表达式
然后还告诉你了一些条件
在这里可以忽略
宏观动位能的变化
而且管道 还有储气罐
还有阀门都是绝热的
我们来看一下
我们要来分析它 首先要取系统
这系统可以有几种取法
人为的选取
比如说你可以选储气罐为系统
取储气罐为系统的话
它是一个什么系 开口系
以这罐为系统 工质可以进来
所以它是开口系 我们也可以取
最终罐里的气体为系统
这时候是什么系 是闭口系
这时你关注的是这一部分工质
所以它是闭口系 第三种取法
取即将进入储气罐的气体为系统
这时是什么系 还是闭口系
你关注的是这一部分气体
还是闭口系 还可以取什么
取储气罐里原来有的气体为系统
这个时候是什么系 还是闭口系
我们具体来看这四种取法
我们对它来进行分析
首先取储气罐为系统 是开口系
我们把边界画出来 用红色的断线
来表示系统的边界
然后把开口系能量方程的通式写在这
对于我们的具体的问题
我们来进行分析
我们刚才说了 因为储气罐是绝热的
所以交换的热量等于0
然后再看有做功部件吗 没有
所以净功也是等于0
然后再看 这个题目告诉我们了
它忽略宏观动位能的变化
所以我们把相应的
动位能这些项给它消去
然后还有没有离开的气体
也就是说δmout是等于0
然后我们把表达式稍微整理一下
就是dEcv-hδmin应该等于0
再变化一下形式 就是它
我们把这一项拿到这来
我们说了 经过一个τ时间充气
我们利用积分的概念
对于上面这个表达式进行积分
左侧这个积分实际上就是
内能的变化量
我们现在来看右侧 右侧告诉你了
在这个过程中
管道中的焓是不变的 既然不变的话
焓就可以提到积分号的外面
积分号里面是什么
就是质量的变化 这样一来
我们上面积分的表达式
就可以写成内能的变化 终态减去初态
焓乘以质量的变化
我们再把它写成u′的表达式
就是我们屏幕下面这个式子
到此为止
我们取储气罐为系统 这道题就解完了
也就是 u′的表达式推出来了
我们来看第二种取法
取最终罐中气体为系统 是闭口系
它的初态 罐里面
有m0的气体
然后管路上m-m0的气体
要进到管路里去 这是它的初态
然后它的终态m-m0的气体
进到储气罐中了
我们把这个系统的能量方程
也就是闭口系的能量方程写出来
然后我们来看各项
首先说了 它是绝热的
这样一来Q就等于0
然后我们再来看内能的变化量
系统内能的变化量
是终态的内能减去初态的
终态是什么 都在罐里面
所以是m乘以u′
然后初态 初态有两部分
一部分是在储气罐里面
还有一部分在管道里面
我们把它写出来
内能的变化量 有这两部分
然后我们再来看功
功实际上是管道中的气体
推着m-m0那部分气体进到储气罐里面去了
给它推进来的
所以这个时候的功是 -(m-m0)pv
这部分气体被推进来的
也就是说没有进到罐中的气体
推着m-m0那部分气体进来了
所以功是这个
我们把这两项代到
上面这个方程里面去
然后把它进一步地整理成这个表达式
再进一步地整理成我们u′的表达式
那你看u′的表达式
跟我们第一个取法
取那储气罐为系统开口系
表达式怎么样
它俩是相等的 肯定是相等的
总之第二个取法
我们推导出来了最终的结果
我们再来看第三个方法来取系统
取进入储气罐的气体为系统
它的初态是在管路 在管路中
m-m0的这个工质
然后它终态是进到储气罐里面去了
然后我们把闭口系能量方程写出来
Q=△U+W
然后我们还是来分析
我们首先来看这个Q
这时候这个Q还是等于0吗
它不是等于0了
进去的这部分气体
跟储气罐里面原有的那部分气体
它俩之间是有温差的
有温差就要传热
我们把传的热量用Q1来表示
然后我们再来看内能的变化量
这个时候的系统的内能的变化量
同样还是终态减去初态
终态是什么（m-m0）u′
初态是在管道中的
所以应该是（m-m0）然后乘以u
然后再来看功
进去的气体
跟原有的气体之间
它要交换功的 我们用W′来表示
同时这个气体被推进来的
所以管道中的气体
对这部分气体还要做功
这个功就是我们刚才说的那个推进功
是-（m-m0）pv
所以这个系统总的功
应该是这两部分加起来
这样一来 我们三个量
具体的表达式都知道了
我们代回去 再对它进行整理
整理成这样 屏幕下面
最后的最终表达式Q=（m-m0）u′
再减去（m-m0）乘以这个焓
再加上W1
这道题最终希望你求的是什么
是u′ 然后你看你的最终表达式
左侧的这个Q1和右侧的这个W1
都是未知量
然后再往下怎么推 没有办法再推了
也就是说取即将进入储气罐的气体
为系统的时候
我们用热力学第一定律只能分析到这
不能再往下走了
那我们暂且放在这儿
我们来看我们取储气罐里
原有的气体为系统
也就是第四种取法
我们来看一下这个时候还是闭口系
它初始状态就是在罐子里面
我们用红色的虚线来表示它的边界
然后它的终态 气体进来了
这部分气体就被压缩了
这是它的终态
用红色的虚线来表示它的边界
然后我们把热力学第一定律表达式
写出来 Q=△U+W 还是分析各项
首先Q 这个Q是储气罐中
原有的气体和进来的气体
之间怎么样 有温差
有温差就要传热
这个传热量我们用Q1′来表示
然后我们再来看内能的变化量
内能的变化量
还是终态的内能减去初态的
我们再来看功
进来的气体跟它原有的气体之间
怎么样 交换功的
这个功我们用W1′来表示
把上面这表达式进行一个整理
我们得出来了Q1′
等于这个表达式 下面还能推吗
推不出来了 无计可施了
也就是说你想求u′
最终表达式还含有两个未知量
一个是Q1′一个是W1′再往下怎么做
沿着这个式子推不下去了
但是我们想想刚才那个取法
刚才我们取即将进入到储气罐的气体
为系统的时候
我们得出来那个表达式
那个表达式有一个Q1还有一个W1
那个Q1跟这Q1′是什么关系
它俩是数值相等 符号相反
那个W1跟这个W1′是什么关系
它也是数值相等 符号相反
我们利用这两个关系
然后再利用刚才那表达式
我们给它拿过来 放在这
放在一起
我们利用这一共4个表达式
把一些无关的量
把Q1 Q1′ W1 W1′给它消掉
然后我们推出这样的一个关系式
进一步地整理推导
得出来了u′的表达式
也就是说后面的这两种取法
一个是取即将进到储气罐里的气体
一个是取储气罐里
原有的气体为系统
分别取的话 你的问题解决不了
要把这两个联合起来
才能解决我们的问题
实际上就是说如果你选择的对象
没有包含所有相关的内容的话
你这个问题是解决不了的
这是我们刚才说的那四种取法
然后我们通过分析
我们可以发现 取储气罐为系统
或者把最终罐中的气体
作为系统的话
这两种取法可以解决问题
而后面的那两个取法
是解决不了问题的 我们再来看一下
我们利用热力学第一定律的
文字表达式来处理
我们这些问题 还是取储气罐为系统
文字表达式是什么
进到系统中的能量减去离开的
就是这个系统总能的变化
我们就来看一下进去是什么
进到你这罐子里的能量是什么
是焓 m-m0的工质所携带的焓
这是进到系统中的能量
然后出去的
从这系统出去的是什么 没有出去
那就是0了 然后内能的变化
就是这个系统终态的减去初态
终态就是m乘以u′ 初态是什么 m0u0
然后我们放在一起最后整理一下
得出来u′的表达式
这个表达式跟刚才的几个处理方法的
表达式是完全一致的
我们把刚才这个题
做一个小结
首先系统不同 你可以取不同的系统
但是最终结果肯定是一样的
而且系统取的巧的话
这问题处理起来就简单
如果说你把相关的内容给它分隔开了
只取其中的一部分的话
这个问题是没有办法解决的
所以说当我们取系统的时候
我们一定把相关的 有能量关系的
都放在一起 作为一个系统
第二点我们想说
对于我们开口系
工质它携带的是焓
然后对于闭口系来说
我们取闭口系 工质是这个功
推进功给它推进来的
所以它反应的是传递功
我们再来看一下
如果说储气罐里面
它的工质是0
也就是说它是真空
我们来看一下这个时候储气罐
最终的这个内能的表达式
u′等于什么
从这表达式看一下u′的表达式
如果说m0等于0的话
那这u′就是等于h
也就是说如果说最初储气罐里
是真空的话
这个储气罐充完气之后
它的内能是焓
我们再来看一看充气终了的温度
在储气罐中
它的内能等于焓的情况下
它的终态的温度是等于多少
如果说你想确定工质的温度
必须要知道工质的性质
它的内能 还有它的焓与温度的关系
我们在这给出来了
它实际上是理想气体
它的内能u等于Cv乘以温度
Cv实际上是定容比热容
焓是Cp是定压比热容乘以温度
我们第三章会讲
在这我们直接利用这个结果
Cp/Cv=1.4
这实际上是空气 然后在这种情况下
我们来求气体的终温
利用理想气体的性质
现在有两个答案 我们列出来
一个是用摄氏度来进行计算
算出来终态的温度是21℃
然后第二个答案
是利用热力学温度来进行计算
算出来它是403K
如果转换成摄氏度的话是130℃
这两个结果是不等的
那至少有一个是错的
那我们就来看一下到底哪个对哪个错
这个就跟内能和焓的零点相关了
因为焓等于内能加上推进功
对于理想气体 我们知道
压力乘以容积等于质量乘以气体常数乘以热力学温度
或者是 压力乘以比容等于气体常数乘以热力学温度
利用这个表达式
我们可以推出 对于理想气体
焓等于内能加上气体常数乘以热力学温度
在0℃的时候
我们假设0℃的时候内能是等于0
这时候的焓
用我们的表达式来算一下
焓怎么样 它是不等于0的
而我们取0K的时候
我们假设内能是等于0
这个时候怎么样
焓怎么样 它也是等于0
所以说我们刚才那两种处理方法
用热力学温度计算的那个
是一个正确的结果
而且大家一定要知道
在我们热力学中
如果说温度取小写的t的话
它的单位是摄氏度 用大写的T的话
它的单位是热力学温度
这个一定要清楚
我们现在再来看一下
影响终温T′的因素
这个时候也要知道气体的性质
我们在这给出来了 它是理想气体
内能等于定容比热容乘以温度
焓等于定压比热容乘以温度
还有这两个比热容的比值
应该是小写的k
这是我们第三章会讲的
理想气体的一些特征
因此在这我们直接用它的结论
还有状态方程 压力乘以容积
等于质量乘以气体常数乘以温度
现在请你来说明一下
这个气体的终温T′与哪些因素有关
那你想说明它与哪些因素有关
那你就要知道它的表达式是什么
这个表达式
我们就基于刚才我们推的
u′的表达式来推T′与哪些因素有关
为了推导的方便
我们把这个表达式进行一个变形
放在这 把理想气体的状态方程
还有内能
还有焓的表达式代里面来
然后把一些项可以消去的消一消
比如说第一项它分子分母有温度
第二项也是
还有 这三项都有容积
我们消一消 整理一下
最后屏幕下方是我们T′的表达式
我们接着来看
从T′的表达式来看
我们这里面没有p
所以说我们从这可以看出来
这T′与压力无关
这是因为理想气体的焓
只与温度相关
我们再来看一下表达式
从这表达式来看
这个终态的温度T′与管道中
气体的温度是有关的
也就是与T是相关的
具体怎样的一个关系
我们把上面这表达式进行一个变形
成了这个屏幕最下面这个表达式
从这个表达式我们可以看出来
温度升高的话
这个焓肯定是增加的
也就是说 输气管道中气体的温度升高
这个输气管里的焓
肯定是增加的
这样一来进到储气罐中
气体的能量肯定就增加
所以它的终态温度是增加的
然后我们再来看T′与T0是相关的
从这表达式我们可以看出来
然后具体怎样的关系
我们还是把这表达式进行一个变形
成为下面这样一个式子
然后从这个式子我们看
T0增加的话
T′是增加的
这是从数学表达式本身
我们可以看出来这样一个结果
从物理概念的解释来说
由状态方程m0等于
P0乘以V除以R除以T0
温度T0增加的话
m0肯定是降低的
这样一来进到储气罐中的
工质的量就是增加的
所以它带入的能量就是增加的
所以它的温度也就是升高的
我们再来看一下终态的温度
跟P′/P0有关
也就是说 终态的温度
与终态的压力和初态的压力的比值
是相关的
具体怎样的关系
我们还是把上面那个表达式
进行一个变形
成为屏幕下面这个表达式
从这个表达式可以看出来
压力比如果是增加的话
那么T′是增加的
这从数学表达式本身我们可以看出来
是这样的一个变化关系
实际上P′/P0
反映了充气量 这个值增加的话
充入的气体的量也就增加
所以它的温度是增加的
-0-0 导引
-0-1 热能及其利用
-0-1 作业
-0-2 热能转换装置工作过程简介
-0-2 作业
-0-3 工程热力学的研究内容及方法
-0-3 作业
-0-4 工程热力学与中国能源战略及环保
-0-4 作业
-绪论 章节小测验
-1-1 热力系统
-1-1 作业
-1-2 状态和状态参数
-1-2 作业
-1-3 基本状态参数
-1-3 作业
-1-4 平衡状态
-1-4 作业
-1-5 状态方程、坐标图
-1-5 作业
-1-6 准静态过程与可逆过程
-1-6 作业
-1-7 功量
-1-7 作业
-1-8 热量与熵
-1-8 作业
-1-9 热力循环
-1-9 作业
-第1章小结及讨论习题课
-第1章 章节小测验
-2-1 热力学第一定律的本质
-2-1 作业
-2-2 热力学第一定律的推论——内能
-2-2 作业
-2-3 闭口系统能量方程
-2-3 作业
-2-4 开口系统能量方程与焓
-2-4 作业
-2-5 稳定流动能量方程与技术功
-2-5 作业
-2-6 稳定流动能量方程的应用
-2-6 作业
-第2章小结
-第2章讨论习题课
-第2章 章节小测验
-3-0 导引
-3-1 理想气体状态方程
-3-1 作业
-3-2 比热容
-3-2 作业
-3-3 理想气体的内能、焓、熵和比热容
-3-3 作业
-3-4 理想气体比热容、内能、焓和熵的计算
-3-4 作业
-3-5 研究热力过程的目的和方法
-3-5 作业
-3-6 理想气体的等熵过程
-3-6 作业
-3-7 理想气体热力过程综合分析
--Video 3-7（2）基本过程在p-v图和T-s图上的表示
-3-7 作业
-3-8 气体的压缩
-3-8 作业
-3-9 活塞式压气机压缩过程分析
-3-9 作业
-第3章小结及讨论习题课
-第3章 章节小测验
-4-0 导引
-4-1 热二律的表述与实质
-4-1 作业
-4-2 卡诺定理与卡诺循环
-4-2 作业
-4-3 克劳修斯不等式及熵的引出
-4-3 作业
-4-4 不可逆过程熵的变化
-4-4 作业
-4-5 孤立系统熵增原理
-4-5 作业
-4-6 熵方程及对熵的小结
-4-6 作业
-4-7 熵与不可逆及熵的物理意义
-4-7 作业
-第4章讨论习题课
-4-8 㶲及其计算
-4-8 作业
-第4章 章节小测验
-5-0 导引
-5-0 作业
-5-1 活塞式内燃机动力循环
-5-1 作业
-5-2 活塞式内燃机几种循环的比较
-5-2 作业
-5-3 斯特林循环
-5-3 作业
-5-4 勃雷登循环
-5-4 作业
-5-5 提高勃雷登循环热效率的其它途径
-5-5 作业
-5-6 动力循环的一般规律
-第5章 章节小测验
-期末考试
