当前课程知识点：工程热力学（上） > 第3章 理想气体的性质与过程 > 第3章小结及讨论习题课 > Video 3-10（2）计算练习题
我们再来看计算练习题
两种气体初始的温度
跟环境的温度是一样的
一个容器中间有一个活塞
活塞是完全导热的
这个题是怎样的呢
把活塞的销钉拔掉
那这活塞就要上下地移动
但是到足够长的时间之后 肯定要
停在某一个位置
这个时候温度跟初始的温度
以及环境的温度又一样
然后 请你来求活塞移动的距离
A腔中的气体交换的热量和功
以及B腔的气体交换的热量和功
还有第三个 气缸与外界交换的热量
最后 A腔的气体以及B腔的气体
熵的变化以及总的熵的变化
在两种情况下
第一个 活塞没有摩擦
第二个 活塞有摩擦
但是它经历了一个准静态的等温过程
首先我们来看一下
活塞没有摩擦的情况
我们来进行分析
活塞没有摩擦 完全导热
我们知道 在这过程中A腔跟B腔气体的质量是没有变化的
而且温度也没变
这是它给你的条件
我们可以列出来A腔 B腔各自的状态方程
由于质量没变 温度没变
我们可以得出这两个关系式
同时在终态的时候
满足一个什么条件呢
A腔与B腔气体的压力应该是相等的
这样一来 我们可以得出
这样的一个关系式
我们假设 容积的变化用x来表示
B腔气体的容积增加
A腔气体的容积减小
两者应该数值是相等的
我们可以利用这等式
把容积的变化量就可以算出来
然后再利用面积
就可以把活塞移动的距离算出来
我们再来算 交换的热量和交换的功
利用热力学第一定律
Q等于内能的变化量加上容积变化功
因为温度没有变 所以内能的变化量是等于0的
而对于这种没有摩擦的情况
销钉一拔掉 活塞的运动
就是上下跳
最后稳定在某一个位置 平衡
这个过程就是 非准静态过程
这个时候的容积变化功就不等于pdv
热量等于容积变化功
而容积变化功没有办法来确定
所以我们这Q和W 就是没有办法确定的
类似的 对于B腔的气体 也是完全类似的
也是没有办法确定的
QB等于WB 但是它具体等于多少
我们没有办法来确定
然后我们再来看 气缸与外界交换的热量
这个时候
针对的对象就是整个气缸
温度没有变 所以依然等于0
而这个时候容积变化功
也是等于0的
因为针对的是整个的气缸
所以W也是等于0
所以作为气缸来说
它与外界交换的热量
我们算下来 Q是等于0的
我们再来看 熵的变化量
熵的变化量 利用初终态的参数就可以确定
我们利用温度和比容
温度是不变的 所以这一项是等于0
而比容因为质量没有变
也可以用容积来算
我们最后可以算出来
我们用T0表示在这
后面我们会分析一些现象
这是我们A腔气体熵变的结果
类似的 B腔气体熵变的结果
我们也可以算出来
总的熵的变化量 就是两者加起来
这是活塞没有摩擦的时候
我们所有的问题都解决了
我们做一个讨论
我们来看一下 整体来看我们前面算了
交换的热量等于0
但是它的熵变是不等于0的 是大于0的
所以在这 我们再一次提醒大家注意
我们最初的ds等于δq 除以温度 那个q
一定是可逆条件下与外界交换的热量
而我们这个过程是一个不可逆的过程
所以尽管Q等于0
但是dS是不等于0的
第二个 无论是A腔气体还是B腔气体
它与外界交换的热量和功 是没有办法求的
但是熵变是可以求的
因为熵是状态参数
只要知道初终态就可以计算
我们再来看第二种情况
活塞有摩擦导热
经过一个准静态的等温过程
第一个问题还是计算活塞移动的距离
在这种情况下
活塞移动的距离
跟刚才没有摩擦情况下活塞移动的距离 是完全一样的
因为A B腔气体的质量没有变
温度没有变 利用的还是这个条件
所以这个结果跟刚才的是完全一样的
处理方法一样 条件一样
结果必然是一样的
第二个问题
A腔气体与外界交换的热量和容积变化功
B腔气体与外界交换的热量和容积变化功
告诉你的是一个准静态的等温过程
那么这个容积变化功 就可以用准静态等温过程容积变化功的计算式来计算
我们可以给它算出来 具体的数值
对于B腔的气体也是一样的
代进去具体的数值
可以算出来
我们发现 WA的绝对值大于WB
也就是说 A腔气体膨胀做的功
比B腔气体被压缩的那个功要大
那么它俩的差值跑哪去了呢
它实际上是摩擦消耗了功
恰好就是它俩的差值
第三个问题
气缸整体与外界交换的热量
跟刚才是一样的 它还是等于0
最后一个问题 各自的熵变
那三个熵变 那么熵变的计算跟刚才是完全一样的
而且终态是一样 所以数值也是一样的
我们再来进行一个讨论
我们来看 摩擦消耗的功等于11.02 J
这个数值 恰好就等于环境温度乘以整个系统的熵变
这从数值上来看
我们得出来这个结果
实际上它是反映了
摩擦导致做功能力损失 就等于环境温度乘以系统的熵变
这是我们第四章要讲的
也就是说 这两者相等 并非巧合
我们第四章要讲这个内容
我们再来看第二个计算练习题
这个是我们教材上的一道题 第三章的第13题
告诉你一个氧气瓶 它的容积告诉你了
初始的压力告诉你了
初始的温度与环境温度相等 也告诉你了
然后这氧气瓶快速地放气
放气终了的压力也告诉你了
请你来求 这个时候 瓶里气体的温度
以及放出去的气体的质量
我们先理一下解这个题的思路
由理想气体的状态方程
我们知道初始的压力 初始的容积 初始的温度
所以 我们可以把初始状态气体的质量算出来
我们知道终态的压力 终态的容积也知道
如果说我能够把终态的温度
求出来的话 那么利用状态方程
我们把终态的质量就可以算出来
两者的差值呢
就是放出去的质量
这是我们解题的一个大概的一个路子
我们现在来看 取氧气瓶为开口系
利用开口系能量方程
来求一求T2
开口系能量方程交换的热量 等于内能的变化量 然后加上出去的焓 减去进去的焓 加上净功
对于具体的问题
快速地放气 所以Q是等于0
还没有进去的
也没有做功
最后就剩这两项
这是一个放气过程
所以我们对它进行积分
具体地来看
右侧的这个焓
一个放气过程
所以焓应该是变化的
它随温度变化
气瓶里的气体的状态发生变化
那么焓就发生变化
所以它是一个变量
这个过程是怎样的一个过程
是等温 是等压 是等容 是等熵
也都没有办法来确定
那么我们分析到这儿
下面没有过程方程就没法分析 对吧
所以我们回到初始的那个表达式
这个内能Ucv是气瓶中气体的总内能
所以我们可以用气瓶内气体的质量m与比内能u的乘积来表示
然后这个比焓hout， 就是气瓶中气体的比焓h
而这个δmout呢 它是以气瓶为参照物时气瓶内气体质量的微小变化
那么它与气体自身质量的变化dm 应该数字相等符号相反
也就是说δmout 就等于 -dm
这样一来 上面那个表达式
就可以变成这样
我们再把左侧的微分给它展开
然后焓减去内能等于推进功
对于理想气体 比热容是常数的时候
我们进一步地推导
可以得出来 dm比上m
等于Cv除以R 然后 乘以dT比上T
是这样的一个表达式
对于具体的问题
质量乘以比容等于气瓶的容积
而在这过程中
V是不变化的 容积是不变的
所以我们可以推出来
dm比上m等于dv比上v
当然中间有一个负号
然后 我们把这个表达式代到左上角的那个公式中去
然后对它再进一步地进行整理
最后我们推出来
温度乘以比容的k-1次方等于一个常数
对它再进一步地进行变换
推出来什么呢
压力乘以比容的k次方等于一个常数
也就是说绝热钢瓶放气
瓶子里的气体遵循这样的一个规律
也就是 压力乘以比容的k次方等于一个常数
在后面大家处理问题的时候
可以直接来用这个结论
对于这个问题我们知道了过程方程
我们就可以把终态的温度给它算出来
只不过我们不再去算了而已
这个结论可以直接来用
我们推导的目的就是告诉大家
以后当你遇到绝热钢瓶放气的时候
瓶里的气体遵循这样的一个规律
这个结论大家可以直接去用
我们再来看 第三个计算练习题
右下角是示意图
这是一个小瓶 里面装有氦气
它初始的温度用TA来表示
小瓶是绝热的
保温箱一开始是真空
但是由于小瓶漏气 在某一时刻
小瓶子里面的氦气的温度 用TA′来表示
而保温箱里的氦气温度 用TB来表示
氦气是理想气体
请你来分析这三个温度的相对大小
也就是小瓶里气体初态的温度 终态的温度以及保温箱的温度
这三个温度之间的相对大小关系
为了把这三个温度联系起来
我们取所有的氦气为系统
这个时候是闭口系
所以用热力学第一定律
Q等于ΔU加上容积变化功
因为是绝热的 所以Q等于0
没有做功部件
所以最终得出来一个结果
内能的变化量是等于0
内能的变化量等于0 写出来
然后对这个表达式
再进行整理
这三个温度包含在这个表达式中
我们再进一步地分析
这是一个绝热刚性的小瓶
它在放气
它瓶里的气体遵循我们刚才推导的那个结论
也就是说 压力乘以比容的k次方应该等于常数
这样一来 对于瓶内的气体
终态的温度与初态温度的比值
应该等于终态的压力
与初态的压力的比值
乘以一个k分之k-1次方
就是我们这个公式所表示的
然后接着我们来看 小瓶放气
所以它终态的压力
一定比初态的压力要小
由这个公式我们可以看出来
TA′一定是小于TA的
这样一来 再代到上面这个公式中
我们就发现怎么样
TA-TB要小于0
也就是说
TA是小于TB的
所有的都写出来就是
小瓶终态的温度比小瓶初态的温度要低
哪个温度最高呢
保温箱里面气体的温度是最高的
这怎么来解释呢
出来的气体的温度怎么变高了呢
实际上它出来的是什么 出来的是焓
是在内能的基础上 还加了推进功
所以遗漏到保温箱里面气体的温度是最高的
终态小瓶里气体的温度是最低的
好 到此我们结束第三章所有的内容
第三章理想气体的性质与过程 非常重要
是我们后续内容的一个基础
所以希望大家能够非常熟练地掌握
-0-0 导引
-0-1 热能及其利用
-0-1 作业
-0-2 热能转换装置工作过程简介
-0-2 作业
-0-3 工程热力学的研究内容及方法
-0-3 作业
-0-4 工程热力学与中国能源战略及环保
-0-4 作业
-绪论 章节小测验
-1-1 热力系统
-1-1 作业
-1-2 状态和状态参数
-1-2 作业
-1-3 基本状态参数
-1-3 作业
-1-4 平衡状态
-1-4 作业
-1-5 状态方程、坐标图
-1-5 作业
-1-6 准静态过程与可逆过程
-1-6 作业
-1-7 功量
-1-7 作业
-1-8 热量与熵
-1-8 作业
-1-9 热力循环
-1-9 作业
-第1章小结及讨论习题课
-第1章 章节小测验
-2-1 热力学第一定律的本质
-2-1 作业
-2-2 热力学第一定律的推论——内能
-2-2 作业
-2-3 闭口系统能量方程
-2-3 作业
-2-4 开口系统能量方程与焓
-2-4 作业
-2-5 稳定流动能量方程与技术功
-2-5 作业
-2-6 稳定流动能量方程的应用
-2-6 作业
-第2章小结
-第2章讨论习题课
-第2章 章节小测验
-3-0 导引
-3-1 理想气体状态方程
-3-1 作业
-3-2 比热容
-3-2 作业
-3-3 理想气体的内能、焓、熵和比热容
-3-3 作业
-3-4 理想气体比热容、内能、焓和熵的计算
-3-4 作业
-3-5 研究热力过程的目的和方法
-3-5 作业
-3-6 理想气体的等熵过程
-3-6 作业
-3-7 理想气体热力过程综合分析
--Video 3-7（2）基本过程在p-v图和T-s图上的表示
-3-7 作业
-3-8 气体的压缩
-3-8 作业
-3-9 活塞式压气机压缩过程分析
-3-9 作业
-第3章小结及讨论习题课
-第3章 章节小测验
-4-0 导引
-4-1 热二律的表述与实质
-4-1 作业
-4-2 卡诺定理与卡诺循环
-4-2 作业
-4-3 克劳修斯不等式及熵的引出
-4-3 作业
-4-4 不可逆过程熵的变化
-4-4 作业
-4-5 孤立系统熵增原理
-4-5 作业
-4-6 熵方程及对熵的小结
-4-6 作业
-4-7 熵与不可逆及熵的物理意义
-4-7 作业
-第4章讨论习题课
-4-8 㶲及其计算
-4-8 作业
-第4章 章节小测验
-5-0 导引
-5-0 作业
-5-1 活塞式内燃机动力循环
-5-1 作业
-5-2 活塞式内燃机几种循环的比较
-5-2 作业
-5-3 斯特林循环
-5-3 作业
-5-4 勃雷登循环
-5-4 作业
-5-5 提高勃雷登循环热效率的其它途径
-5-5 作业
-5-6 动力循环的一般规律
-第5章 章节小测验
-期末考试
