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咱们在介绍齐次方程的自由解的时候
提到了矩阵指数的概念
而这个矩阵指数大家也看到了
它对于确定状态的初始条件
怎么样去影响状态未来的轨迹
非常至关重要的作用
所以因为这个原因
我们也把它称为是状态转移矩阵
在这个地方
我们就重点来看一下状态转移矩阵
它的定义和它的一些基本的概念
那么状态转移矩阵为了定义它
我们首先考虑的是齐次方程(1)
那么我们也知道它的解就是x(t)=e^At x0
从0开始的话
就这样一个式子
或者从t0开始
就是这样一个稍微复杂一点的式子
那我们从物理意义上可以看出来
就是系统在t≥0
或者是初始时刻以后的任何一个瞬间的状态x(t)
它仅仅是由初始时刻的状态x0
经过一定的变换
就是前边乘上了一个矩阵
虽然这个矩阵它的值是随时间变化的
但是仍然可以看作是某一个矩阵
乘到这个向量上边
而变出了x(t)
所以这是一种变换关系
那么这个变换阵
就是我们具有说矩阵指数的形式
我们为了能够更方便的凸显出来
就是矩阵指数
在引起状态变化过程起到的变化作用
我们把它称为状态转移矩阵
也就是从初始状态到t时刻的状态
发生了怎样的一个转移的效果
我们通常也用Φ(t)
我们也曾经提到过
用Φ(t)来代表状态转移矩阵
这样的一个好处就是可以适合于更一般的
比如说时变系统的状态转移关系的一个分析
那么我们这个时候就把Φ(t)用来表示
从x(0)到x(t)的状态转移矩阵
而把Φ(t-t0)表示是从t0时刻
转移到t时刻的这个状态的转移矩阵
那么这样的话
我们也是可以把齐次方程的解
表示成为x(t)=状态转移矩阵Φ(t)x0
或者就是x(t)=Φ(t-t0)x0
这里边的x0是t0时刻的初始值
那么我们如果从一个图的角度来看的话
就可以看出来
从时间的角度
我们如果说分了三个时刻点
有一个初始时刻
系统处在x0这个初始的状态
那么我们通过一个状态转移矩阵
就是Φ(t1)
是花了t1这么长时间
到了一个新的时刻点上
我们转移出来的结果
就是通过Φ(t)
把x0和x(t1)给联系起来
就是x(t1)的位置
是由Φ(t1)变换阵或者叫转移矩阵
去对x(t0)做一个映射
就得到了这个x(t1)
那么第三个这个时刻点
就是在t2之后的另外一个时刻
我们看到我们关心的是x(t2)
就是t2时刻这个系统到哪儿去了
它实际上是在t1的基础上
进一步的进行了转移
当然这段时间的转移
它的总的时长是t2-t1这个时间间隔
所以它是一个Φ(t2-t1)这么大的一个转移矩阵
那么我们也就知道这个x(t2)
实际上是Φ(t2-t1)x(t1)
也就是说我们可以看到这样一个
从初始时刻不断的
经过若干个时刻向前推移的转移过程
那我们说在自由运动的时候
整个系统的运动状态
是唯一的由状态转移矩阵
和初始的条件所决定的
那么这个状态转移矩阵
其实包含了系统自由运动的全部信息
那我们刚才也给大家讲解了转移的过程
那么假设这个转移的过程
刚才看到了
我们的x(t1)就是Φ(t1)x(0)
那么我们转移到t2的时候就是Φ(t2)了
那么Φ(t2)
我们如果说一种观点
是从0时刻直接奔到t2时刻的话
那我们类似于t1的过程
我们就是直接是Φ(t2)x(0)
这个没有问题
那我们这段轨线其实还有一个连接关系
就是刚才提到的
就是我们如果是看到两个转移阶段
就是从x0到x(t1)
再从x(t1)到x(t2)
那实际上我们就有一个关系了
就是x(t2)它等于Φ(t2-t1)x(t1)
那这个时候我们自然的可以看到
这里边就是同一个x(t2)
它有两个观点来得到它
一个是一次性的从0时刻转过来
那这个时候我们用的状态转移矩阵
就是Φ(t2)
如果是经过两个阶段
那我们是从x(t1)出发
就是这个转移阶段
那么我们先到x(t1)再到x(t2)
那这个时候
我们把这两个式子进行比较以后
我们就可以看出来
就是x(t2)用第二种方法得到的时候
就是Φ(t2-t1)再乘以Φ(t1)乘以x(0)
也就是在x(t1)是
x(t1)是从Φ(t1)乘以x(0)得到的时候
我们就得到这个(5)式
那么这样的话我们把(3)式和(5)式
就是我们同样一个x(t2)
对应于两种获取的方法进行比较的话
就知道了状态转移矩阵一个很重要的性质
就是Φ(t2-t1)乘以Φ(t1)
它应该等于Φ(t2)
或者我们写成矩阵指数的形式
就是e^A(t2-t1)e^At1它应该等于e^At2
这就是一个非常重要的组合性质
这个组合性质也揭示出来
我们说状态转移矩阵
不同于一般的一个时变矩阵
当然依赖于时间的矩阵
一个非常重要的必要的条件
就是我们在分析过程当中
我们保证这个轨线唯一的话
这个状态转移矩阵一定要满足这样一个组合性质
也就是说一次性的转移和分两阶段转移
得到的结果应该是相等的
那我们在经典的控制理论当中
求解高阶微分方程的时候
初始条件的处理它是相当困难的
但是我们有了状态转移矩阵
以及我们齐次方程的通解
就是x(t)=Φ(t)乘以x(0)
或者说e^At乘以x(0)
那我们就会发现
在我们状态空间模型当中
也就是我们现在所说的现代控制理论当中
利用状态转移矩阵
我们可以对任意的一个状态向量x(t)
就是任意时刻的状态
都可以通过状态转移矩阵
和初始的向量x(t0)联合在一起给求得出来
那么我们可以通过这样的一个分析发现
就是我们的现代控制理论
利用状态空间的模型
那么这样一个描述方法
对于我们一个系统它的过渡过程
特别是从初始条件一直到它终了的过程当中
响应x(t)的整个这条曲线
对它都可以做很详细很深入的分析
这也是我们采用状态空间模型去分析问题
相对于传递函数来分析问题
一个很大的优点
好 我们在这儿给出了一个状态转移矩阵的概念
特别是基于和齐次方程的解相联系
这样一个很重要的关系
我们看到了就是状态转移矩阵
它对于我们分析线性时不变系统
在时间领域里面
时间域里面这个x(t)
整个从初始条件
到任意时刻的过程
都有非常重要的作用
它包含了完整
就是这个状态转移矩阵
包含了完整的转移过程的信息
那么加上一个简单的对初始条件的变换
就得到了完整的整个自由解的全部运动过程
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-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质
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-1. 基本概念
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-3. 输出对外扰的静态不变性
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-1. 基本概念
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