9.3 空间啮合问题在线视频

同学们好

接下来我们来讲啮合问题里面的空间啮合基础

就是说我们怎么样来求解空间啮合的问题

那么前面我们讲了平面啮合的问题

相当于求解螺杆压缩机或者

罗茨鼓风机的问题

那么现在我们讲空间啮合问题

事实上类似于求解单螺杆压缩机

那么在求解空间啮合问题的时候

我们一般用齿廓法就是齿廓法线法

那么它基本的步骤如下

假如说我们知道转子1上面的型线面

或者型线曲面1

型线曲面1

那么第二步，我们就要从曲面1上取任意点M

那么我们要计算M点在转子1

和转子2上面的相对的速度

并且，我们还要把这个速度要表示在

静坐标系里面

第三步，就要计算曲面1上的M点

它的法向矢量

这个法向矢量也同样的要表示在

静坐标系下

那么代入我们前面所说的啮合条件式

就是说它们的相对速度和它们的法线矢量

的数积应该是为零的

那么按照这个条件

我们来得到它的啮合条件

那么把这个啮合条件，结合已知的曲面1

那么我们通过

动动坐标系的转换

我们就可以得到它的共轭曲面

所以在本节的讲解中

我们将会有三个要点

一个是坐标系的转换

空间坐标系的转换

第二个是相对速度的求解

第三个是法矢量的求解

那么只要把这三个求解出来之后

我们基本上可以把曲面，它的共轭曲面

以及它的啮合面都可以求出来

那么接下来我们先看一下空间坐标系的

一个变换

假如说我们存在着一个静坐标系

那么在这里，我们用S表示一个静坐标系和

Sp表示另外一个静坐标系

同时我们建立两个动坐标系S1和S2

那么S1是固结在S上的

S2是固结在Sp上的

那么其实跟我前面讲的平面啮合的时候

也是差不多的道理

初始的时候，动坐标系和静坐标系

是在同一位置的

只不过随着转子的转动

它往轴向有一个移动

并且绕着轴，它还会有旋转

但是在刚开始的时候，它们是重合的

那么这个坐标系就如图所示

那么我们来看一下

这两个坐标系之间

动动坐标系、动静坐标系和静静坐标系之间的关系

首先我们来看转子1的坐标系

它们之间的动静变化的关系式

那么我们用这些方程

也就是这两个行列式来表示

从动坐标系到它的静坐标系，静坐标系到它的

动作标系之间的相互的变换

这个不像平面啮合里面相对来说变换

的时候简单一点

那么这里的话，由于比较复杂

我们用行列式来表示

那么接下来我们再看转子坐标系2

它的动作标系和它的静坐标系之间的变换关系

那么同样的我们可以用下面的方程来表示

那么有了动、静坐标系之间的关系之后

我们再找一下静、静坐标系之间的关系

同样的，我们可以用如下的方程来表示

那么有了静静坐标系、动静坐标系之后

我们完全可以得到动动坐标系之间的关系

它的表达式相对来说复杂一点

但是我们完全可以用这个行列式来表示

同时我们在这里要说明一下

L1是它的轴向移动

L2是转子坐标系2上的轴向移动

那么∑

∑是两个转轴之间的夹角

那么当这两个转轴是呈90度的话

那么就是我们的单螺杆压缩机

那么当然在这个前提上

L1和L2，它们应该是等于0的

那么接下来我们看第二个要点

怎么样来求解相对速度

假如说，转子1，它的角速度和

它的轴向的速度

我们用矢量表示

完全可以用这两个方程来表示

同样的，转子2上，它的角速度和

轴向速度

我们同样可以用表示用这个表示

那么它们全都是表示在静坐标系下

假如说，在两个坐标系中有一个

接触点M

那么它同时是在坐标系1下

也同时在坐标系2下

那么这个M点，在坐标系1的静坐标系的表示

或者它的坐标点方程是M(x,y,z)

那么我们来看

围绕着M点

我们先把它的矢径可以找出来

或者说我们把M点在转子1上的表示方式

和转子2上的表示方式

我们可以用这个矢量方程来表示

OM是在转子1静坐标系上的表示

那么OpM，是在转子2坐标系上的表示

那么这样一来的话

我们就可以得到M点

随转子1进行运动的时候

它的速度

那么这个速度，包括它的旋转速度和

它的轴向的移动速度

那么两个(矢量)相加，就是它的综合的速度

同样的，它在转子2上

也可以用如下的方程来表示

它的相对速度就是这两个速度的之差

那么我们可以用这个方程

V1减V2，我们就可以得到

这个M点，它的相对的运动速度

那么把这个式子进行代入，把前面的式子

代入这个式子之后

我们可以得到如下的一个式子

这就是表示了，在转子坐标系1和转子坐标系2中

任意一个接触点M，它此时的

相对速度的一个表示方式

这个完全是在静坐标系下来表示的

接下来，我们再来看一下它的法线矢量

事实上，因为它是一个曲面

那么我们所求它的法线矢量

就是相当于我们在第一节里面

所讲的曲面的法线矢量是一样的

在这里，我们假如说转子1，它的曲面的方程

在坐标系S1中的方程

如下

那么转子1上任意一点的

M的法线矢量

我们可以用这个公式来表示

那么这个我们在第一节中已经讲到过

那么这些法线矢量

我们把它的分矢量全部求出来

那么分矢量在这里

就是说，分矢量，我们可以看到

Nx1、Ny1、Nz1是它在x轴、y轴、z轴

这是在动坐标系里面的一个分量的显示

那么把这个动坐标系

通过动静坐标系的转换

我们可以把它表示在静坐标系上

就得到了如下的式子

到这里，我们就把相对速度在

静坐标系里面的表示方式

以及曲面的法线矢量

在静坐标系里表示方式都已经得到了

那么在这个基础上

我们再结合我们在第一节里面讲的

啮合定理

就是说两个转子

无论是做线接触、点接触

在接触点中一定会满足如下的啮合条件

就是说它们的相对速度的矢量和它的

法线矢量

它们的数积是为零的

那么代入进去

我们就可以得到这个式子

这是一个典型的啮合条件式

那么这个不管是在平面啮合

还是在空间啮合都是通用的

那么把这个式子代入到静坐标系里面去

就是说，把法线矢量的三个分量和它的相对速度

全部代进去

那么我们可以得到如下的式子

通过啮合条件，再结合我们前面的

曲面1

我们就可以得到，它的曲面2

得到它的共轭曲面2

甚至可以得到它们的啮合面

那么具体的计算方式

我们可以用这个图来表示

在这个图上，我们可以清楚的看到

假如说我们有一个给定的曲面1

我们通过动动坐标系的转换和

啮合条件

完全可以得到曲面2的

那么同样

如果知道曲面2的话

用这种方法，也可以得到它的曲面1

对于它的啮合面也是一样的

通过动静坐标系的转换

以及它的啮合条件式，同样可以得到

它的啮合面

那么有兴趣的同学可以针对单螺杆压缩机

用空间啮合的问题可以来求解一下

好的

关于空间啮合问题的求解

我们就到这里

谢谢大家