9.1 啮合原理数学基础在线视频

同学们好

接下来我们学习第九章啮合原理基础

第一节是啮合原理中用到的数学基础

在回转式压缩机中

往往有两个或者两个以上的转子

或者说运动部件相互作啮合运动

从而实现容积的改变

达到压力提升的效果

那么在这两个或者两个以上的运动部件之间

它们相互的运动就是一种啮合运动

譬如说双螺杆压缩机

单螺杆压缩机、涡旋压缩机

或者是罗茨鼓风机

它两个转子都在做一定的啮合运动

比如说这两个阴、阳转子，

螺杆和星轮

包括动、静涡盘等等

它们都在做相互的啮合运动

从而实现容积的改变

那么达到压力提升的效果

所以说啮合原理在这种回转式压缩机中

应用的是比较广泛的

或者说也是我们设计的基础

那么接下来我们看一下啮合定理的

一些简单的表述

那么啮合原理我们也称之为Willis定理

如图所示，有两个节圆

曲线L1和L2是分别固结于两个节圆

O1、O2上的

那么这两条曲线在某个位置的时候相切于M点

那么这个M点，如果它满足啮合原理的话

那么在M点上的法线方向必然是经过它的节点P

并且在法线方向上

它们的相对速度应该是为零的

也就是说M点在这两个转子的这个坐标系中

它的相对速度

与它的法线方向的数积应该是为零

那么双螺杆压缩机也好

单螺杆压缩机也好

那么都是遵循这个原则来进行设计的

那么接下来我们来看一下

我们在啮合原理里面所用到的一些基本的

数学基础

譬如说曲线、曲面的一些表达式

那么对于任何一个曲线

我们都可以用参数t来进行表示

那么譬如说圆弧

那么圆弧我们完全可以用这个公式来进行表示

那么它的参变量是t

那么同样的

圆的渐开线

那么这种圆的渐开线也是同样的

可以用参数t来进行表示

还有一些，比如说摆线

那么也同样可以用如下公式来进行表示

那么对于一个曲面的话

我们往往要用两个参数来表示

在这里我们用t和φ来表示

那么用xyz来表示它整个的曲面情况

如果用矢量表示

我们可以用如下的公式

那么参变量同样是t和φ

也就是说，如果曲线的话

我们可以用一个参数来表示

但是对于曲面的话

我们至少要需要两个参数来表示

那么接下来我们来看一下一个典型的曲面叫

螺旋面

那么螺旋面是以曲线做螺旋运动而形成的一个面

我们叫螺旋面

那么如图所示，曲线C做螺旋运动之后达到了C'

那么形成了整个的一个曲面

我们称之为螺旋面

那么螺旋面按照这种螺旋的运动

我们可以把这个螺旋面用如下的公式来进行表示

那么

在这里的话

这个方程中的t我们称之为曲线参数

那么这个φ我们称之为位置参数

那么有了这两个参数

我们就可以用数学方程

譬如说这个方程可以来描述整个的螺旋面

那么在这里，从图上也可以看到

当这两个参数在进行变化的时候

那么呈现出来的是什么呢

那么譬如说当t不变φ在变化的话

那么我们看到呈现的是什么

是一条螺旋线

螺旋线

当t是变化的

而φ是不变的时候

我们可以看到

其实就是一条以曲线C进行了旋转和

前进所形成的另外一条新的曲线

那么这就是螺旋运动

那么同样这个面，我们也叫螺旋面

那么这个螺旋面有什么用处

事实上在双螺杆压缩机中

就是由转子型线来形成的这个螺旋面

是我们的一个工作面

那么接下来我们再看一下曲线和曲面的

法线

那么针对于任何一个曲线

那么我们可以看到它的法线的分量

都可以用这两个公式来表示

那么这是代表了这条曲线上的某一点

譬如说M，那么它这一点所处的法线在x坐标和

y坐标的一个投影

那么同样的

对于曲面

的法线是怎么来表示

譬如说曲面S，上面的某一点M

那么我们做这一点的切平面

然后找到它的

法线方向

那么它的法矢量我们可以用这个公式来表示

那么具体的推导我们不说了

因为在高等数学里面讲得很透彻

那么这是一个普通的曲面

那么针对于我们的这种螺旋面来说

同样可以把这一个法线矢量

可以分解成这么一个

也就是说它在xyz，3个坐标上的分量

我们都可以计算出来

那么为什么要求曲面的

法线分量

事实上因为这以后涉及到双螺杆压缩机中

它的啮合间隙

或者说刀具的设计的时候需要用到这一些

法线矢量

那么接下来我们看一下

在我们这些坐标系里面

怎么样来实现这些坐标变换的

也就是说这是我们在设计型线的时候所需要

用到的一些基本的知识

那么譬如说我们针对于任意一个空间的两个

直角坐标系

Oa和Ob，两个直角坐标系

那么对于任意的两个空间直角坐标系

它们之间完全可以用这个公式来进行表述

也就是说从一个坐标系变到另外一个坐标系

我们可以用这个公式来表示

那么当然这两个坐标系是要满足

右手系的空间笛卡尔

坐标系的一个标准

那么在这里的话

我们的ax

ay、az都是Ob

坐标系的原点

在Oa坐标系里面的坐标

那么下面的α、β、γ分别是Oa轴

就是xa轴等Oa坐标系内的x、y、z轴在

Ob坐标系里面的夹角

那么接下来我们看一下这两个坐标系

具体变换是怎么样的

其实这两个坐标系也可以看作是

回转式压缩机中

回转式压缩机中两个转子所处的不同的坐标系

那么为了做普通点的或者说广泛点的讲述

两个旋转轴

它是既不平行

也不在一个平面相交的

也就是说这两个旋转轴是不一样的

一个旋转轴

这个方向

那么一个旋转轴是这个方向

那么这两个旋转轴，它不在一个平面里相交

同时也不是平行的

在空间相错

有一个角度

那么在这里的话

我们可以看到是θ

那么这个A，表示两个坐标系

Z轴之间的最短距离

最短的距离

两个旋转轴之间最短的距离

那么在这里的话

我们还可以对坐标系进行一下定义

大写的XYZ表示的是静坐标系

那么小写的XYZ表示的是动坐标系

那么角标1和2，我们指的是坐标系转子1或者

转子2

或者说是O1、O2两个坐标系

那么事实上为什么要提这个坐标系

也是我们在回转压缩机中，相当于两个运动部件

一个是它们的静止坐标

一个是它们的旋转坐标

那么我们所需要求的恰恰是

两个运动坐标之间的关系

所以我们要求一下它们之间的关系

那么在这里我们也说出来了

就是说对于两个坐标系

我们为什么要建立

目的

就是要求两个动坐标系之间的关系

那么如何来求这两个动坐标之间的关系

那么我们第一步先要找出各自的

譬如说O2坐标系

那么要找出它之间的动坐标和静坐标的关系

那么同样的，对于O1我们也要找出来

那么先求出各自坐标系的，就是说各自转子的

动坐标和静坐标之间的关系

然后再找出这两个静坐标之间的关系

从而我们可以得到两个动坐标之间的关系

那么有了这个关系的话

我们就可以来进行转子的型线的一些设计

那么具体我们来看一下动静坐标系之间的

变化关系

那么对于O1坐标

我们可以用这个方程来表示

那么XYZ就是表示的静坐标系

那么xyz是代表的是动坐标系

那么对于坐标系2的话

我们也同样可以用下列方程来表示

那么这是动、静坐标系之间的关系

那么对于静、静坐标系之间的关系是一个

什么样的

是这个方程的表述

那么它的坐标之间

可以如图所示

那么这也是我们在数学里面已经学过的

那么有了这三个方程之后

我们可以把前面的动、静坐标系之间的关系

带入到静、静坐标之间的变化关系式来

从而我们可以得到动、动坐标系之间的

关系

那么譬如说O1和O2之间的

我们用坐标系2的数据来

表示在坐标系1上

那么在这里我们也看到了有φ1、φ2

包括那个旋转轴的夹角θ

那么φ1是固结于转子1

或者说坐标系1上的转角

那么φ2是坐标系2上的转角

那么如果我们知道它们之间的关系

那么完全可以从一个坐标系变换到另外一个坐标系

不管是动、动坐标系之间

还是动、静坐标系之间的

还是静、静坐标系之间的关系

都可以得到换算

那么我们来看一下

在这个坐标系里面

如果两个旋转轴，它是平行的情况是怎么样的

那么如果两个转子轴是平行的话

那么为了跟坐标系一致

我们把两个转子轴的指向是要相反的

那么也就是说，像我们所能看到的

双螺杆压缩机

或者我们前面看到的罗茨鼓风机

那么这一组都是两个转子轴是平行的

那么类似于这一种的话

其实也体现出了一种平面啮合的一个问题

为什么这么说

我们看如下的公式就可以得到

那么当θ等于π的时候

那么前面这个公式我们可以表示成如下的

公式

那么在这里我们可以很明显地看到

z1和z2，它是一个相等的关系

那么前面我们说了指向相反

那么它们的符号会相反

也就是说在这个坐标系里面

当θ=π的时候

它就变成了一个平面的问题

平面的一个问题

那么也就是我们经常所说的平面啮合问题

那么我们接下来继续看

当θ=π的时候

方程还是这个方程

那么φ1、φ2事实上

是两个转子在绕各自

坐标系的转轴

做旋转的运动

所表示的角度

所以说如果这个比例关系是一个定值的

或者说我们叫定传动比的啮合

它应该是满足如下的关系式的

那么这样一来

φ1、φ2的关系就可以表达出来

也就是说把φ1角、φ2角两个角

我们可以用同一个φ1角来进行表示

那么如果是个不定常数的

那么这样的话，i就是变化的

那么在回转式压缩机中往往都是

定传动比的啮合

所以我们在这里只讨论i是一个常数的情况

那么把这个式子代进去

我们可以简化上面的方程

变成了这样

那么相应的我们用坐标系1来表示坐标系2的时候

也同样用这个方程来进行表述

那么这只是一个推导

当如果说我们的旋向和前面这个图

相反的时候

事实上只要把φ1=-φ1

来表达出来就行了

然后代入到方程就可以得到我们如下的方程

那么为什么要做这个推说呢

事实上在双螺杆压缩机中

那么转子有左旋有右旋的两个区别

那么事实上就是一个φ1和负φ1的问题

所以在这里也顺便讲一下

那么我们再来看一下

当我θ不等于π而等于π/2的时候

那么这个时候就是单螺杆压缩机所面临的问题

为什么

因为单螺杆压缩机

一个是螺杆轴

一个是星轮轴

这两个轴之间是成90度的

那么如果θ等于π/2的话

我们代入进去

我们可以看到这个方程相对说比较复杂

那么z轴，它也有数据的表示

那么这样一来

这就不是一个平面啮合的问题了

而是一个空间啮合的问题了

那么这个空间啮合的问题的话

往往计算量要大的很多

所以说我们在后面我们也会对空间啮合问题

如何来求解

也会进行讲述

那么这个知识点就讲到这里

谢谢大家