当前课程知识点：金融工程 > 第四章 期权市场 > 4.4 期权定价模型 > 4.4 期权定价模型
同学们大家好
今天我们来学习期权定价模型
之前我们学习了
购买期权是需要支付期权费
也就是权利金的
那么
到底期权买方要支付给
期权卖方多少权利金
期权卖方多少权利金
这个交易才是公平的呢
或者说卖方要在交易开始时
拿到多少好处费
才会心甘情愿地承担
将来履约的义务呢
这就涉及到了期权定价问题
在金融世界中
最著名也是应用最广泛的模型
就是Black-Scholes- Merton
期权定价模型
我们前面在学习期权历史时
提到了1973年
Fisher Black与Myron Scholes发表了
《期权定价与公司负债》的论文
解决了期权定价难题
但实际上Robert Merton
也于同年发表了一篇
《理性期权定价理论》的论文
同时解决了这个问题
所以这个模型称为
Black-Scholes-Merton模型
但很多地方也简称为
Black-Scholes模型
基于这方面的贡献
Myron Scholes和Robert Merton
在1997年共同获得了
诺贝尔经济学奖
不幸的是
Fischer Black于1995年去世
没有能够拿到诺奖
否则这个奖项也是属于他的
现在我们来简单了解下
Black-Scholes-Merton模型
完整的Black-Scholes-Merton模型
有7条重要的基本假设
比如 没有交易成本
可以卖空 常数利率 常数波动率等
我们这里不做具体展开
但其中最根本性的假设
是股票价格遵循几何布朗运动
什么是几何布朗运动
直观来说
就是从离散的角度
假设股票当前价格为S
其在一个很短的时间
delta t内的变化值为delta S
那么股票的收益率则为
为delta S除以S
这个收益率服从均值为mu乘以delta t
方差为sigma^2*delta t的正态分布
我们把mu称为股票的预期收益率
sigma称为股票价格的波动率
把刚才离散时间下的
股票收益率写成在
连续时间下的形式
就是股票价格动态
服从的几何布朗运动
dS_t/S_t = mu dt + sigma dB_t
其中dS就是
在连续时间下S的瞬时变化
dt是瞬时的时间变化
B_t是一个布朗运动
dB_t是布朗运动的微分形式
通过对这个过程求解
可以把股票价格
S_T的分布找出来
实际上
S_T服从对数正态分布
也就是对S_T取对数后的
lnS_T服从一个正态分布
也就是我们这里写的形式
这里的期望
(mu-1/2 sigma^2)*T中
有一个-1/2 sigma^2项
这是由于求解过程中
应用伊藤引理多出来的
二次变差项造成的
具体的求解过程
我们这里不展开细讲
有了分布之后
S_T的期望和方差
都可以求出来
这里可以看到
从初始0时刻来看
S_T的期望值是 S_0*e^mu*T
也就是S_T按照
mu的期望来增长的
这也是为什么
称mu为预期收益率
Black-Scholes和Merton的原始论文
是通过构造投资组合
复制现金流的方法
来进行期权定价的
这里我们用另外一种
风险中性定价的思想来看
风险中性定价原理
是指在对衍生证券定价时
可假定所有投资者
都是风险中性的
也就是此时
所有证券的预期收益率
都等于无风险利率r
因为风险中性的投资者
并不需要额外的收益
来吸引他们承担风险
同样
所有的现金流
都可以用未来现金流的期望值
通过无风险利率贴现求得
这里要提醒一下同学们
风险中性假定仅仅是为了
定价方便而作出的人为假定
但通过这种假定
所获得的结论
不仅适用于投资者风险中性情况
也适用于投资者厌恶风险的所有情况
因此
对于期权
我们也可以进行风险中性定价
也就是把期权在
到期时的现金流
在风险中性世界下
进行无风险利率贴现
可以把看涨期权
和看跌期权的风险中性定价写成以下形式
比如 对看涨期权c
其到期时的现金流就是
Max(S_T-X,0)
也就是现金流要么
在S_T>X时为S_T-X
要么就为0
然后把这个现金流按无风险利率r贴现
并在风险中性世界下求期望
这里要注意一下
刚才我们求出的
lnS_T的分布是在真实世界下
而在进行风险中性定价时
需要算出
风险中性世界下的期望
因此我们要找到
lnS_T在风险中性下的分布
可以得到它的分布是满足同样的形式的
只是相比于刚才的分布
里面的预期收益率
mu换成了无风险收益率r
现在
有了S_T在风险中性世界下的分布
也有了风险中性定价公式
剩下的步骤
就是求解这个风险中性期望值了
然后
通过求解
我们就可以把看涨期权和
看跌期权的价格写成这种形式
这也就是著名的
Black-Scholes-Merton公式
当然我们这里是对欧式期权进行定价
这个公式只是适用于欧式期权
观察这个公式我们可以发现
它把期权的价格
写成了股票现价S
执行价格X
执行时间T
股票波动率sigma
和无风险利率r
这五个因素的函数
给定了这五个值
就能够通过
Black-Scholes-Merton公式
得到期权的价格
这五个值中的任意一项变化之后
期权的价格也会变化
下一节我们将学习的希腊字母
就是针对这些因素的变化
对期权的价格影响而定义出来的
好的
今天我们简单学习了
最经典的期权定价模型
也就是Black-Scholes-Merton模型
我们今天的内容就到这里
同学们再见
-1.1 金融工程导论
-2.1 金融市场与金融工具
-2.2 风险与收益
-2.3 风险厌恶与风险资产配置
-2.4 最优风险组合理论
-2.5 资本资产定价模型
-2.6 专家访谈
--2.6 专家访谈
-第二章 测试
--第二章 测试
-3.1 期货的发展历史
-3.2 远期与期货的含义、类型与异同
-3.3 期货的期现套利与跨期套利
-3.4 股指期货套期保值策略
-3.5 实训
--3.5 实训
-3.6 专家访谈
--3.6 专家访谈
-第三章 测试
--第三章 测试
-4.1 期权的发展历史
-4.2 期权的含义与类型
-4.3 期权组合策略
-4.4 期权定价模型
-4.5 期权希腊字母
-4.6 期权风险对冲
-4.7 实训
--4.7 实训
-4.8 专家访谈
--4.8 专家访谈
-第四章 测试
--第四章 测试
-5.1 金融风险概述
-5.2 金融风险管理理论
-5.3 金融风险计量与管理计算
-5.4 实训
--5.4 实训
-5.5 专家访谈
--5.5 专家访谈
-第五章 测试
--第五章 测试
