3.2.1 流体运动的几何描述视频在线视频

同学们

现在我向同学们再讲一下

流体运动的几何描述

那流体运动的几何描述

主要是指流线和迹线的概念

我们来先说迹线

迹线是指流场中

某一质点运动的轨迹

这个应该很好理解

迹线的研究

是属于拉格朗日法内容

迹线表示

同一流体质点

在不同时刻

所形成的曲线

所以它的数学表达式

也是拉格朗日法的表达式

先找定一个质点

标定一个质点

然后跟踪这个质点

它随着时间的变化规律

这个就是迹线的一个规律

欧拉法呢

也可以描述流体的

这个迹线

欧拉法和拉格朗日法的

微分方程有所差别

它用的是速度作为因变量

位置作为自变量

那么我们迹线介绍完了

要介绍流线

流线是一个抽象的概念

流线在流场中并不存在

流线的定义它是这样的

流线是指某一瞬时

在流场中

某一条假想的曲线

首先说流线是个假想曲线

但是这条曲线上

它各个流体质点的速度方向

与该曲线的切线方向相一致

也就是说

流线是同一时刻

不同流体质点

所组成的曲线

如这个图所示

流线上不同点

它的速度方向

与它的切线方向都一致

流线是一条矢量线

在某一时刻流线上

取一微小弧元

根据流线的定义

也就是说

它的速度矢量

与它流线的切线矢量的差积

也就是它的矢量积是0

这是流线的数学描述

根据这个数学描述呢

可以导出流线方程

是如下式所示

我们再说一下流线的基本特性

流线呢

比方在定常流动的时候

因为流场中

流体质点的速度

不随时间变化

所以通过同一点的流线形状

始终保持不变

因此流线和迹线是重合的

而在非定常流动情况下

一般说来流线随时间变化的

而流线和迹线就不重合了

通过某空间点在给定瞬时

只能有一条流线

一般情况下

流线不能相交

也不能分支

否则在同一空间点上

流体质点

会同时有几个不同的流动方向

那这是不可能的

只有在流场中

速度为零

或者无穷大的

那些基点

流线才能够相交

这是因为这些点

不会出现在同一点上

存在不同方向的问题

就速度为零的点

称为驻点

速度为无穷大的点

称为奇点

它是一条光滑的曲线

另外呢

流线密集的地方

表示流场中该处的流速比较大

稀疏的地方

该处的流速也比较小

同学们

我们先把流线的微分方程

我们来推导一下

我们根据流线的定义

流线上任一点的切线方向

与流体的速度方向相一致

那么写出它的数学表达式

那就是δr表示它的

所在点的矢量

切线矢量

与差积与v

就是所在点的速度

它们方向相一致

意味着它们的差积等于0

然后根据差积的

它的定义呢

写成那种右边行列式形式

速度呢

因为是矢量

它有三个分量

位置呢

它是矢位

就是矢量

它在空间中

也可以分解到三个座标轴上

那么也是以矢量形式来体现的

两个矢量的差积

得到的一个行列式的表达式

那ijk和uvw

然后底边dx dy dz

根据行列式的分解

可以写成三个表达式

由于它这个最终结果是0

所以这个三部分呢

分别等于0

稍加整理一下子

就可以得到下边这个

流线的微分方程了

那么我们下边来看一个例题

这个例题呢

就是不定常流场的迹线和流线

那不定常的流场

迹线和流线是不重叠的

但是我们看一看具体的情况

他给了速度场

是用欧拉法给的速度场

和u和v

然后时间呢

在t时刻的流体质点

位于原点

然后求它的质点的A的迹线方程

还有t等于0时刻

过原点的流线方程

和t等于1时刻

质点A的运动方程

这个流场呢

没有周期性的不定常的流场

所以由欧拉迹线方程呢

我们就可以求解迹线方程

直接求解出来

然后把这两个式子呢

以一个很简单的积分式

可以积分出来

积分出来之后呢

这个结果带了两个常数

c1和c2

在T等于0的时刻呢

因为质点位于这个原点嘛

这样的话

我们直接可以把这两个常数

c1c2求出来

这样A点的迹线方程

就可以求出来

然后消去参数t

得到的结果

x等于1/2y方加y

这个就是一个流线方程

这个上式表明的

质点A的迹线

是一条-1/2和-1为顶点

且通过原点的抛物线方程

由流线微分方程呢

我们积分可得到

如下一个方程

在t等于0的时刻

流线通过原点

可得到c等于0

相对得到流线方程是x等于y

那这是一条直线了

为了确定t等于1时刻

质点A的运动方程

需要求此时刻

过质点A

所在位置的流线方程

由迹线方程的参数

可以确定t等于1时刻

质点A位于x等于3/2

y等于1的位置

代入流线方程

那直接就得出来这个结果了

这个结果呢

常数一下子就求出来

等于-1/4

这样问题我们就解出来了

解出来之后呢

我们把它化成右边这个图里边

由这个图我们可见

不定常流动中

它的迹线与流线是不重合的

不同时刻

通过某固定点的流线

可以不同

通过某流体支点

所在位置的流线

也可以不同

下面我们来介绍一下

流管的概念

流管是指

流场中

任意一条非流线的闭合曲线

在这条闭合曲线上

它通过了无数条流线

这些流线的集合就叫流管

那么什么是流束呢

流束是流管内

所有的流体的总和是流束

针对这些流束包含的流线

都是缓变流的流线

它们之间相互是平行

或者接近平行

就是说没有拐直角弯

而微元流束呢

是指有限截面上

无限小的流束

微元流束的总和叫总流

总流是指有效截面上取平均值

可以按一维处理

提出这些流束总流的概念

可以把我们的计算

做一些简化

按一维处理

这次课

我们就介绍到这里

同学们

再见