4.2.1 Navier-Stokes方程视频在线视频

同学们大家好

我们继续来学习

我们流体力学中的

纳维-斯托克斯方程

纳维-斯托克斯方程

是我们流体力学这门学科中

核心方程

下面我们来介绍

这个方程的推导和应用

纳维-斯托克斯方程

顾名思义

是由法国科学家纳维

和英国科学家斯托克斯

两个人共同建立的

粘性流体运动的微分方程

该方程的建立的出发点

也是基于物理学中的

牛顿运动

第二运动定律

我们首先在直角坐标系中

建立流体的微元体

一个六面体

在这个微元体上

我们建立它的力平衡

根据牛顿第二运动定律

微元体的质量乘以它的加速度

等于它所受的外力之和

其中它所受的外力有两类

一类是质量力

一类是表面力

质量力

那就是流体的重力

而表面力

包括作用的表面力

正压力和切应力两部分

它所受的质量力呢

那由重力可以直接写出

可是它的表面力呢

是由微元体的六面体

所有的表面力之和来求解

为了解决这个问题

我们把这个六面体

按坐标方向

分成三个方向

我们先针对x方向来求解

x方向

它受的表面力

那就是它的正压力

正压力呢

我们紧临原点这侧

我们规定它的压力

是Pxx

而远离原点这方面的压力

我们根据泰勒级数展开

忽略高阶小量

那么我们得到是

它的是Pxx加上这个压力

在这个区间内变化率

乘以它的面积

这样在x方向上

我们把所有的外力进行加和

除了这个正压力之外

它的上表面和下表面

分别受到的是剪切力

而剪切力的计算

也是由靠近原点一侧的力

而另一侧力

是由这侧的力

利用它的泰勒级数展开

忽略了二阶以上的小量

利用它的一阶量来求解出来

这样它这个外力之和

就等于x方向的外力之和

就是等于dx dy dz这个过程

它们的变化的量

一个正压力的量和剪切力的量

两个剪切力的量

在x方向

它的体积力呢

那我们就是说

就是它的质量乘以那方向的

体积力

这个比较简单

对于万有引力

我们只有一个重力

然后把它代入基本的

动量方程之中

把这个方程

经过这个方程整理

同时呢

我们对微元体的惯性力进行计算

它等于它的质量

乘以它的加速度

而它的加速度呢

是质点导数加速度

它的加速度

也就是包括两部分

一部分局部加速度

和它的迁移加速度

这样的话

整个动量方程

在x方向

动量方程

就由左边四项

右边四项来组成

这八项组成

然后同理

在y方向和z方向

也能导出这样的类似的方程

这个方程呢

是粘性流体运动方程的

一般形式

运动微分方程一般形式

适合任何流体

但是如果要获得纳维-斯托克斯方程

我们必须把方程的压力

和它的变形联系到一起

那么在这里

我们采用斯托克斯假定

将流体粘性定律

由一维推广到三维

假定流体是各向同性的

流体静止的时候

它的法向应力

等于它的静压力

这样我们就得到了一个

对牛顿流体来讲

是一个叫广义的切应力公式

这里边有六个分量

因为对应六面体嘛

这六面体各自都有一个切应力

和它的变形对应的公式

把这个公式

加上不可压缩条件

就是一起代入这个

粘性流体运动微分方程中

这个时候

我们得到的就是

纳维-斯托克斯方程

现在给出这是不可压缩的

纳维-斯托克斯方程

经过这样一个推导呢

我们就得到了

流体力学中

一个核心方程

也就是纳维-斯托克斯方程

这个方程的适用条件呢

当然是密度等于常数

它的粘性也是个常数

刚才那个表达式

是它的一个分量的表达式

在我们实际应用中呢

我们常常利用数学算子

也就是它的倒三角

这个倒三角的数学算子

把那个方程写成它的紧凑形式

紧凑形式是我们实际在写论文中

常用的

这个形式是密度乘以它的加速度

这个加速度

当然是欧拉加速度

然后等于它密度乘以质量力

与它的压力

梯度

再加上粘性力

N-S方程的物理意义呢

它包括惯性力

就是前面密度乘以欧拉加速度

是惯性力

还有体积力

就是密度乘以f

这是体积力

压力就是▽（倒三角）p

倒三角的p

还有粘性力

加上连续性方程

四个方程

就能够求解四个未知量

u v w p

这个时候方程组就是封闭的

在边界条件较简单的时候

就可以求解析解了

在边界条件复杂的时候

那必须用数值解来求解了

下面我们把这个纳维-斯托克斯方程

给它归纳一下

归纳一下

我们就得到了各种不同情况下

方程的形式

它的完整表达式

就是N-S方程

纳维-斯托克斯方程

其中包括有惯性力

体积力和压力和粘性力

如果我们不考虑它的粘性力

把粘性去掉

那么得到的

就是欧拉方程

欧拉方程

它是有惯性力

体积力和压力

没有粘性力

如果我们把它的速度

设为0

如果不考虑它的运动

考虑它的平衡方程

那么它得到的这个平衡方程

就更简单了

只剩下体积力和压力

这两个项

之后得到平衡

这就这两个方程平衡

其实是流体静力学的基本方程

有了基本方程

那么要想求解这个方程

必须有它的边界条件和初始条件

我们常见的边界条件呢

有固体壁面

固体壁面呢

我们对于粘性流体

就是无滑移条件

就是速度

它的切向速度

在壁面处为0

也就如果要是无粘的话

那它的速度就不是0了

是有滑动的

然后我们考虑计算区域

如果对于外界无穷远的地方

它的计算区域的数值

比如说大气压

可以给一个常规的大气压

然后速度可以给一个为0

或者给定一个速度

对于一个内流问题呢

我们可以给出它的进出口条件

它的进口压力

进口流量

进口速度

或者是流量

还有一些

比如说研究无终河流

它的自由面问题

在自由表面

我们一般给定它的压力是大气压

然后呢

它的自由表面

它就不受力的约束

它剪切力为0

这是边界条件

然后初始条件

初始条件也就是说

对于非稳态问题

它t等于0的时刻的条件

这个呢

如果对于稳态问题没有

如果对于非稳态问题

要给定初始条件

初始条件呢

就在给定t等于0的时候

它的速度上

压力上等条件

这次课我们就讲到这里

谢谢大家