5.1.1 Bernouli方程视频在线视频

下面我向同学们介绍

我们流体力学中

最著名的方程

也就是伯努利方程

伯努利方程顾名思义

就是伯努利推导出来的方程

伯努利推导出来的方程

是按照流场中的流线

进行推导的

那么我们首先在流场中

找一条流线

然后围绕这个流线

我们取一个圆柱形的微元体

这个圆柱形的微元体

我们看

它的位置可以是随意的

和这个坐标之间

定一个夹角θ

实际上这个角是随意的

然后这个微元体有前后面

还有侧面

微元体它的受力

它有一个重力

当然有重力了

还有前后的压力

还有四面侧面所受的力

我们对这个微元体

建立力平衡方程

我们来计算

首先这个前后的压力

这一项

然后呢

还有它的重力项

最后它的侧向力呢

因为达到平衡

就没有了

这样的话

它受的外力有前和后的

压力项之和

加上它的重力项

然后等于它的质量乘加速度

然后这几项

怎么来算

我们来看

沿着流线方向

那么它的压力

首先乘上它的面积

然后再乘以流线的长度

这样微元流线的长度

是它的体积

这样它的压力就算出来了

然后它重力呢

因为这个重力方向是向下的

所以前边就取负号

负号它的ρg乘以它的体积

它的体积就是面积乘以这个

它的微元体的长度

当然这个长度呢

因为它是斜的

有一定夹角

那么把（夹角的）cos值加进去

它的自己的惯性力

就是它的密度乘以它的体积

乘以它的加速度

体积就是da ds

然后加速度这是dv比dt

当然它这个加速度呢

是指的欧拉加速度

它包含两向

一部分是局部加速度项

还有一部分是迁移加速度项

那么我们继续把这个方程

进行整理

整理之后归纳

我们就看这个方程

整理出来一共得到以下四项

第一向呢

是非稳态项

就是它的加速度局部迁移项

引出来的

然后第二项是速度项

第三项是它的重力项

第四项是它的压力项

我们整理到这四项

然后我们沿流线把各项

给它积分

积分我们发现

非稳态向我们积分不出来

就是还在积分号里头

然后速度项就得到了一个

1/2v方

相当于动能

然后重力项也积出来了

很容易积出来

还有一个压力项

压力项

因为我们不知道压力和密度

之间的关系

所以也暂时放到积分号下边

现在得到这个方程

仍然是沿流线的一个方程

然后我们这样的方程

难以直接应用

所以我们在初期

做了无粘性假设的基础上

我们再做个假定

就是第二个假定

我们假定整个流动

是不可压缩定常流动

不可压缩定常流动假定之后

我们看这几项

第一项就等于0了

然后因为不可压

密度等于常数

最后一项

密度也能拿出来

方程又能积分

那么这样

我们就得到了一个

三项的方程

三项一个1/2v方加gz

加p除以密度

等于一个常数

我们最后得到这个方程

这个方程也就是说

是沿流线的伯努利方程

我们得到这个方程

是前面是有假定的

一个是无粘性

沿流线

不可压

再加定常

那这个就是沿流线的

伯努利方程

是定常形式

这样的话我们说

要想得到伯努利方程

必须有限制条件

限制条件就是刚才说了

第一沿流线

这个大家要记住

一个很关键的点

然后第二个定常流

第三个呢无粘性

第四个是不可压

这样的话有四个限定条件

导出了伯努利方程

这个条件太严格了

实际应用中

我们可以放宽一点

放宽一点主要就是说

沿流线这一条

因为流线是假想的曲线

在流场中不存在的

所以说

我们实际伯努利方程应用呢

大部分在管流情况下

这种情况下

我们可以把沿流线

改成沿流束

但是推广之后

它的方程是有误差的

这种误差

我们在速度项上

加了一个系数

来修正这个误差

这个系数α

伯努利方程我们介绍完了

我们马上介绍一个伯努利方程的

一个非常重要的应用

那这个应用呢

也是一个关键的一个测速设备

那就是皮托测速管

这个皮托管在工业中

包括航空飞机上

都有广泛的应用

它用这个伯努利方程的原理

来测量空气的流速

那皮托管的构成

它是由内层和外层

两层管来构成

然后它的内层管和外层管

分别接一个U形管

U形管也叫U形连通器

U形管呢

采用的一个介质

这个介质比空气的要重

一般来讲是采用水银

或者是采用酒精

这样的话

我这个皮托管在前端开个口O

那个地方开个口

然后再它的侧边B也开个孔

当皮托管面对流动的

它的前孔O

因为面对流动

流体到它这往下走

就走不动了

原来的流速就降为0了

而侧边B的口

它是平行于流动

这样的话

它面对的流场是正常的流动

这样我们建立AOB一条流线

沿着这个流线

从O点B点

我们应用一下伯努利方程

然后我们就得到了

下边的一个方程

在A点呢

1/2v方

加上gzA

加上P比ρ

等于1/2v0的平方

加gz0

加上P0比ρ0

因为这个

位置这两个高度

我们可以忽略不计

就是zA等于z0

这样方程又能简化一下

我们就得到了一个

那个滞止点O的压力

等于它一个B点的净压力

加上它的1/2ρv方

这个动压力

然后把这个结果

和后边连通器联系起来

因为这两个动压的差

用U形管来体现

U形管体现它们之间的

另一种高密度的液体

它们的高差是Δh

这样我们计算两边的净压力

通过这个净压公式

结合这个伯努利方程

我们把它写成如下一个表达式

这样表达式

我们最后发现

就是说这个皮托管前端的

流体速度

可以用这个U形管的高度差

来表示

得到一个这样的计算式

这个计算式呢

也是一个U形管测速原理

而且这个U形管的测速

在工业上

得到最广泛的应用

刚才说的

我们那个伯努利方程

使用的时候

它有严格的限制条件

其中有四大条件

沿流线

不可压

无粘性

定常流

在实际应用中

这个限制条件过于严格

所以我们要把这个伯努利方程

进行推广

我们主要要推广到管流之中

因为管流是工业中

最常用的一种流动

那么需要分析量非常大

那么把这个伯努利方程

推广到沿总流的伯努利方程

在我们推广过程中

产生了一些误差

这个误差就用一个系数α

乘上这个动能项来表示

这样的话得到的方程

就是说是一个沿总流的

伯努利方程

我们这样把沿流线的条件

改成沿总流

沿总流

后来我们又把它发展下来

就是沿总流是缓变流

不是突变流

其他的限制条件还不变

比如说无粘性

不可压和定常流

还是一样的

只是沿流线

改成了缓变流

这个条件

伯努利方程

我们把它写成水力学的形式

水力学

就是把它写成水头的形式

基本方程不变

但是只是把它这个坐标里边

各项的参数

都写成了沿水头形式

沿水头形式

它的单位全是一个长度单位

这样这个方程的各项

称呼变了

原来比如说动能项

我们叫速度水头

它的重力项

改成位置水头

压力项改成压强水头

这样的话

对于水力学计算非常方便

所以伯努利方程

这个应用

随着它的推广

它的应用越来越广泛

那么我们这次课就讲到这里

同学们 再见