4.1.1 连续性方程视频在线视频

同学们

现在我向大家介绍

流体力学中的连续性方程

流体力学中的连续性方程

其实就是物理学中的

质量守恒定律

在流体力学中的体现

质量守恒定律

它的物理意义

当然在物理学中是一样的

它的就是在流体运动过程中的

流体的质量不生不灭

不可压流体（流进）控制体内的质量

等于流出控制体的质量

称其为流体的连续性原理

在历史上

对连续性的认识有很多

比如说在古代

我们计算时间

采用沙漏的办法计算时间

还有流水办法

不同流水量

来计算时间

这都是连续性原理的一种表现

在16世纪

达芬奇首先指出说

河流流速与河宽截面积成反比

这也是一个认识

17世纪

哈维发现人体的血液循环理论

由主动脉到支脉静脉中的循环

也符合质量连续性原理

18世纪

达朗贝尔正式推出了

不可压缩流体运动的微分方程

我向同学们介绍一下

直角坐标系中

微分形式的连续性方程的推导

我们利用微元体的办法

在直角坐标系内

推导连续性方程

我们在直角坐标系下

首先建立微元体

我们选一个中心点

这个它的坐标是xyz

围绕中心点

建立它的六面体

其中在这个直角坐标系下

以靠近原点那个位置为进口

以远离原点的位置为出口

在它进口位置的物理量

和出口位置的物理量

都根据中心点的位置的物理量

来确定

比如说我中心点的位置

这里边的定义的物理量

是它的质量

比如说质量

那就是密度和速度

那么在他相邻的6个面上的物理量

我们根据泰勒级数展开来确定

我们的泰勒级数展开

是忽略了二阶以上的

高阶量

然后只留下了一阶量

这样的话

我们根据中心点的位置的物理量

就可以求出

6个面临点位置的

各个物理量的数值

我们首先看

我在中心点上的物理量

如果我给定了

是密度和速度

然后它的左右临点的物理量

包括它的变化率

右边 左边和右边的变化率

这个变化率相减

就是进出相减

然后得到

在x方向

这个微元体内

它的净增加的质量

由这个3式所表示

然后同理呢

我们给出y方向和z方向

它的净增的质量

然后如果对于流体是密度变化

那么它也产生

它的质量的变化

根据质量守恒定律

它进入的量

和它出去的量

还有它自身的量

应该是守恒的

这样的话

把它们一相加

我们就可以写出

如下一个表达式

这个表达式包括四项

其中有密度变化量

还有它们三个方向的

体积的变化量

这样呢

我们就得出了

这个流体运动的连续性

微分方程

这个方程的形式

可以写成矢量的形式的变化率

这个方程的本质没有变化

只是数学表达式上有变化

我们引用了数学算子

倒三角这个数学算子

可以使表达式简单一下

另外对于一些定常流

定常流就是对时间的变化等于0

这个方程可以简化

大家看

这个方程

就是没有局部变化率项

只有迁移变化率项

还有对不可压缩流体的

这个密度对时间

也等于0

这样的话呢

把这个密度拿出来

这个方程变得就更加简单了

然后它的

把它用（拉普拉斯）算子来写

它的表达式就非常简单

这个表达式

是我们今后研究这个流体力学

问题中

经常使用的表达式

同时呢

我们把直角坐标系中

微分方程

连续性方程

研究了一下它的性质

那么我们发现

不可压缩流体

指的是每个流体质点密度

在流动过程中保持不变

但是不同质点的密度呢

可以不同

即流体可以是非均质的

如果密度梯度为0

那么这个流体是

密度是均质的

不变化的

不可压缩均质流体呢

也就是密度不随时间变化

也不随位置变化

我们下面看一个例子

一个不可压二维平面流动

它给出来速度分布了

给出

因为这个二维流动

我们给出一个速度分布

我们想求另一个方向的速度

那么我们根据这个连续性方程呢

就可以得到另一个方向的速度

这个例子呢

就是说根据二维情况下

不可压流体的连续性方程

知道一个速度方向的速度值

可以推导出

另一个方向的速度值

我们除了直角坐标系下

连续性方程之外呢

我们还常用柱坐标和球坐标

这页PPT给出了

流体运动的连续性方程

在柱坐标系下的运动方程

和在球坐标系下的运动方程

包括可压和不可压缩形式

我们这次课就介绍到这里

同学们

再见