3.3.2伯努利方程在线视频

欢迎来到液压传动慕课课堂

今天我们学习的内容是伯努利方程

我们知道

自然界的一切物质总是在不停地运动着

其所具有的能量是保持不变的

既不能消灭

也不能创造

只能从一种形式转换成另一种形式

这就是对能量守恒与转换定律的描述

液体的运动也完全遵循这一规律

其所具有的势能

动能

压力能以及与其他形式的能量之间

在运动中是可以互相转换的

但总能量保持不变

伯努利方程就是以液体流动

过程中的流动参数来表示

能量守恒的一种数学表达式

是能量守恒定律

在流体力学中的一种表达形式

伯努利方程是瑞士人

伯努利1738年首先提出的

下面从动力学的角度

根据液体在运动中所受的力

与流动参数之间的关系

来推导伯努利方程

先来分析理想液体的伯努利方程

在推导伯努利方程前

先做一些假定条件

假定

液体为理想液体

其流动为稳定流动

作用在液体上的质量力只考虑重力

根据能量守恒定律

对理想液体

外力推动小段液体所做的功

等于该液体动能的增量

我们来分析如图所示的一段理想液体

设这段理想液体AB在管道中作稳定流动

管道各部分截面大小和高低位置均不同

假设在很短时间t内

液体在管道中从AB位置流到A'B'位置

则说明外力在此液体上作了功

由于从A到A'以及从B到B'这两段距离很小

故可以把这两段距离内的截面积

压力

流速和高度都看成是不变的

所以可以设在AA'处及BB'处的截面积

分别为A₁A₂

压力分别为p₁p₂

平均流速分别为v₁v₂

高度分别为h₁h₂

液体密度为ρ

由此

我们根据能量守恒定律

分析外力对流动液体所做的功以及动能的增量

由于是理想液体

作用流动液体上的外力有重力和压力

先来分析重力所做的功

当液体段从AB流动到A'B'时

由于是稳定流动

密度ρ不变

A'B段液体为公共段

这段液体在t时间内

其位置可以认为不变

那么

在t时间内位置发生变化的

可以理解为

AA'段液体流到BB'位置

因此

液体段位置势能发生变化

重力所做的功为

N₁=mg(h₁-h₂)

mg为 AA'段或BB' 段液体的重量

这就是重力所做的功

下面来分析压力所做的功

由于作用在AB液体段

侧表面上的压力与液流方向垂直

所以不做功

我们只考虑作用于AB两端

通流截面上的压力p₁p₂所做的功

如图所示

AB段液体运动时

一方面受到后面液体的推力F₁的作用

同时还要克服前面液体的阻力F₂的作用

F₁F₂可以写成

F₁=p₁×A₁

F₂=p₂×A₂

当AB段液体从AB运动到A'B'时

F₁F₂对它所作的总功N₂可表示为

N₂=p₁×A₁×v₁×t-p₂×A₂×v₂×t

在这个公式中

A₁×v₁=A₂×v₂=流量q

p₁×q₁是功率

功率乘上时间就是功了

由于A₁×v₁×t=A₂×v₂×t=体积V

所以

此处的V应该为AA'段或BB'段液体的体积

AA'段或BB'段液体的体积是相等的

所以

上式中功可以用压力乘体积的形式来表达

N₂=p₁×V - p₂×V

以上是对外力做功的分析

下面分析一下液体流动时动能的增量

由图可知

液体从AB段运动到A'B'时

由于是稳定流动

在公共段A'B内

它的密度

速度均不发生变化

因此

这段液体所具有的动能也不会有增减

有变化的仅仅是AA'这段液体移动到了BB'

因此

液体AB段的动能变化实际上是

BB'与AA'段液体动能之差

所以动能的增量可以写为

E₂-E₁=1/2 m(v₂²-v₁²)

E₂是BB'液体段的动能

E₁是AA'段液体的动能

m是AA'

或BB'段液体的质量

这两小段液体的质量是相等的

根据动能定律

外力所做的功等于液体动能的增量

就有N₁+N₂=E₂-E₁

将外力做功公式以及动能增量公式带入

并将脚标相同的式子放在等号一侧

即可得出

p₁V+1/2 mv₁²+mgh₁=p₂V+1/2 mv₂²+mgh₂

由于通流截面是任意选取的

上式所表示的关系应该适用于管道内任意截面

如果对上式中各项除以mg

即可以得到如下公式

公式中ρg=γ

也就是重度

这个式子称为理想液体的能量方程

也称为理想液体的伯努利方程

在该公式中

p/ρg 为单位重量液体所具有的压力能

也称之为比压能或压力高度

v²/2g为单位重量液体所具有的动能

称为比动能或速度高度

h为单位重量液体所具有的势能

称为比位能

它们的量纲都是长度

理想液体的伯努利方程

其物理意义是指

在密闭管道内做稳定流动的理想液体

具有三种形式的能量

即压力能

动能

势能

在沿管道流动过程中

三种能量之间可以互相转化

但在任一截面处

三种能量的总和为一常数

伯努利方程反映了运动液体的位置高度

压力与流速之间的相互关系

如果管道水平放置

即h₁=h₂

液体的流速越高

它的压力会越低

即截面细的管道

流速较高

压力较低

截面粗的管道

流速较低

压力较高

但在液压传动中

主要的能量形式为压力能

在工程实践中

实际液体在管道中流动时

由于液体有黏性

会产生内摩损失

那么

实际液体的伯努利方程应该怎样表达呢

实际液体在管道中流动时

由于液体黏性的存在

流动时将产生摩擦阻力

造成能量损失

此外

由于实际流速在管道通流截面上分布不均匀

用平均流速代替实际流速计算动能时

必然会产生偏差

必须引入动能修正系数

因此

实际液体的伯努利方程可以由下面这个式子来表达

公式中

hw为液体的能量损失

α₁α₂为动能修正系数

一般在紊流时取1

层流时取2

伯努利方程在形式上是比较简洁的

但在计算中

为得到公式中的一项

必须要知道其余所有项

这个方程可以用于各种

不同情况下液体流动的计算

解决一些工程实际问题

以上内容就是伯努利方程的授课内容

谢谢收看