6.3讲 视频在线视频

同学们好

上一讲我们介绍了系统稳定性的基本概念

今天要聊聊如何判断系统稳定性

这部分内容很重要

希望大家下点功夫

掌握判断方法

上一讲

我们讲过

系统的稳定性由冲激响应h(t)的特性决定

即若h(t)绝对可积

则系统稳定

但实际中

因为h(t)与系统函数H(s)构成拉氏变换对

所以

常常借助系统函数H(s)进行系统的稳定性判断

其基本分析思路是这样的

因为H(s)为有理分式

故可以对其进行部分分式展开

得到若干个子分式

比如

也就是说把H(s)可以分成n个子H(s)

然后根据基本信号的拉氏变换表

求得这些子H(s)的逆变换

即冲激响应h(t)

可以写成这些子h(t)的代数和

根据这个思路

我们首先对系统函数的分子和分母进行因式分解

可见

式（6.3-1）把系统函数分子分母多项式

分别整理为若干个子多项式之积

式（6.3-1）只是给出了零点和极点的概念

还不是我们希望的结果

但可以在该式的基础上

将系统函数H(s)展开为部分分式

从拉氏逆变换的求解方法中可知

若把H(s)展开成部分分式后

即若干个子分式的代数和

其每个极点（也就是每个子分式的极点）

将决定一项对应的时间函数

也就是子冲激响应分量

因此

冲激响应h(t)的响应形式仅取决于H(s)的极点

而其幅度和相角由极点和零点共同决定

即h(t)的特性完全可由H(s)的零 极点在s平面的分布状况决定

也就是说

部分分式的意义在于

给出了系统函数H(s)可以决定冲激响应h(t)特性的结论

这才是我们想要的结果

下面给出具体的影响结论

H(s)极点在s平面的位置可分为

在左半开平面 虚轴和右半开平面三种情况

通过对一阶和二阶极点的分析

我们有如下结论

为了帮助大家更好地理解上述结论

我们给出几个典型极点分布与冲激响应的关系图

根据上述结论

可得出利用H(s)判断系统稳定性的

基本原则

若H(s)的极点全部位于复平面的左半开平面

则系统必定是稳定系统

若H(s)只要有一个极点位于右半平面或虚轴上

则系统是不稳定的

另外

若H(s)的极点落于复平面虚轴上且只有一阶

系统即为边界稳定系统或振荡系统

上述原则也可称为系统稳定性的“求根判断法”

至此

我们知道了通过H(s)零极点的分布

判断系统稳定性的基本原理和方法

但这种求根判断方法实际操作性不强

因为方程AS=0和BS=0的阶数大于3时

求解比较困难

也就是说

对于高阶系统

获得零极点的分布并不容易

为此

人们必须另辟蹊径

基本思路是

因为稳定性只取决于极点的位置

也就是极点的正负号

和其大小无关

这样就降低了分析要求

即不需要求方程A(s)=0的具体数值解

而只需想办法知道极点的实部

是否大于零 小于零或等于零即可

罗斯和霍尔维茨两人给出了一个较为简单的判定方法

通常称之为罗斯-霍尔维茨准则

对于稳定系统

罗斯阵列中第一列数或元素的符号相同

若第一列符号不全相同

则符号改变的次数就是A(s)=0所具有的正实部根的个数

据此

判定系统稳定与否的充要条件就是

(1) 多项式不缺项

即全部系数皆非零

（3）罗斯-霍尔维茨阵列中第一列元素的符号相同

上述三个条件可以归纳为

“罗斯-霍尔维茨判断法”

根据罗斯-霍尔维茨判断法

对于一个给定系统

这就是这堂课的最终结论

至于如何进行罗斯阵列的排列

详见参考文献

这里不再赘述

下面对今天的内容进行小结

（1）根据系统函数判断系统稳定性的基本原理是

由系统函数极点构成的部分分式

可以反映冲激响应的变化情况

（2）根据各极点在复平面的位置可判断系统稳定性

（3）实际上

常采用罗斯-霍尔维茨法判断系统稳定性

（4）罗斯-霍尔维茨法的基本内容是

把系统函数分母多项式的系数排成罗斯阵列

以上就是今天的内容

下面进入问答环节

老师

是不是不管A(s)是多少阶多项式

都需要排罗斯阵列才能判断稳定性

不是的

对于一阶和二阶多项式

只要不缺项且系数同符号即可认定系统稳定

老师

罗斯-霍尔维茨法适合离散系统的稳定性判别吗

不能

但判断思路类似

离散系统要用朱利准则判断

好

今天的全部内容就讲完了

下课

同学们再见