4.1讲 视频在线视频

同学们好

前面几讲讨论了系统的时域分析法

从今天开始

我们开始讨论系统的频域分析方法

本课程的基础内容是信号分析

通常我们在两个范畴进行分析

一个是时域

另一个是频域

由此也导致了系统的时域分析和频域分析

那么

第1个问题

什么是时域和频域

简单地说

“时间域（时域）”

就是以时间为自变量的坐标系

“频率域（频域）”

就是以频率为自变量的坐标系

因为本课程研究分析的都是平面函数（信号）

所以

这里的时域就是

第2个问题

为什么要在频域分析信号

简单地说

因为信号具有时间和频率两方面的特性

所以

除了时域外

还要在频域分析信号

以全面了解信号的特性

更好地设计通信系统及分析通信系统性能

比如

信号的瞬时值大小 变化的快慢 起止时间等

就是时域特性

而信号的构成成分

分量的幅度值大小及相位大小等

就是频域特性

那么

在实际工程中

比如

一个通信系统的设计或分析过程中

除了时域特性外

我们还需要知道信号的频率特性对系统性能指标的影响

这就引出了信号频域特性的分析问题

我们知道

信号可分为周期信号和非周期信号

因此

信号的频率特性也可分为周期信号

和非周期信号进行分析研究

这一讲我们先介绍周期信号的频率特性

非周期信号的频率特性将在傅氏变换中介绍

周期信号的频率特性可以通过傅里叶级数进行分析研究

因此

今天讨论的第3个问题就是傅氏级数的作用是什么

我们在《高等数学》中都学过傅氏级数

其基本概念是

任何一个工程周期函数（或者信号）

都可展开成正弦型函数（信号）的代数和

即有

这就是在《高等数学》中

我们对傅氏级数的基本认识

但我们常常并不知道一个周期函数

用傅氏级数展开后有什么意义

对于周期信号而言

其长相千奇百怪

数量数不胜数

比如

有正弦 余弦 方波 锯齿波 三角波 脉冲波等等

因此

人们不可能逐一进行研究分析

那么

能否找到一个通用的方法

分析千千万万个长相不同的周期信号呢

回答是

能

这个通用方法就是傅氏级数展开

也就是说

不同长相的周期信号都可以用同一种信号

正弦型信号表示

或者说

任何一个周期信号都可分解为不同正弦型信号的代数和

只要我们掌握了正弦型信号的分析方法

就可以通过傅氏级数分析其他周期信号

这就是傅氏级数的奥秘所在

下面用一个动图

解释傅氏级数的作用

我们可以把傅氏级数的分解运算

看作一个信号分解处理系统

输入端加入一个周期信号

经过系统分解处理

就会输出无穷个不同频率的正弦型信号

比如

基波

二次谐波

三次谐波

四次谐波等等

而不同的输入信号

只会导致响应信号的幅度

相位和谐波分量多少的不同

响应形式仍然是一串正弦型谐波信号

需要说明的是

（1）谐波次数越高

幅度越小

（2）不同周期信号的区别只是谐波个数 幅度及相位不同

（3）实际上

响应的各次谐波是同时给出的

而不是动画中的依次输出

可见

傅氏级数就像一把万能钥匙

可以开不同长相的锁

傅氏级数对周期信号的分解作用

还可类比中学物理课中的三棱镜分解白色光现象

因此

也可以把傅氏级数称为傅氏棱镜

有了傅氏级数

对于一个被周期信号激励的系统

我们就可以用“电路分析”课程中的“相量分析法”

分别求得有限项正弦型信号的子响应

然后

将这些子响应叠加而成全响应

从而完成对系统的分析

当然

因为激励取了有限项

所以

全响应肯定有误差

但只要项数取得足够大

误差就可忽略不计

傅氏级数可以把不同的周期信号

表示为无限个正弦型信号的代数和

这样

不同的周期信号只是无限个傅里叶系数不同的

正弦型信号的叠加

而这个结果正是信号分解特性的具体表现

而分解信号的最终目的

是要利用《电路分析》中正弦电路的相量分析法

分别求得各次谐波的响应

最后叠加为系统对周期信号的全响应

可见

正弦电路的相量分析法

是傅里叶级数分析法的基础

正是因为相量法解决了单频正弦信号激励下

系统响应的求解问题

才使得傅氏级数有了用武之地

分解信号的第二个目的

是给出周期信号的频谱函数

便于设计通信系统和分析通信系统的性能

综上所述

我们首先根据信号分解特性

将周期信号用基本信号

即正弦型信号表示

然后利用系统函数找到系统对基本信号的响应

最后

利用线性特性求得系统对任意一个周期信号的响应

这个系统分析思路

可用下图表示

我们可以给这种系统对周期信号的分析法

起一个更准确 更形象的名字

谐波响应求和法

下面

我们对今天的内容进行小结

1 信号除了时域特性外

还有频域特性

比如

频率成分 谐波幅度及相位等

2 傅氏级数可以把不同的周期信号

变为统一的正弦型信号代数和形式

3 利用傅氏级数可以求得系统对周期信号的响应

正弦电路相量分析法

是傅氏级数分析法的基础

4 傅氏级数可以给出信号频谱

为设计通信系统

及分析通信系统性能提供方便

至此

今天讲课内容的就完了

下面进入问答环节

老师

一个周期信号为什么可以被傅氏级数分解

嗯

我们先给出答案再解释

因为傅氏级数是一个正交函数集

它可以表示该正交函数空间中的任意一个周期信号

正交函数集的概念类似于几何空间概念

比如

一个二维空间的矢量V

可以用两个正交矢量之和表示

而一个三维空间的矢量V

也可以用三个相互正交的矢量之和表示

傅氏级数相当于一个n维函数空间

该空间中的任意一个周期函数f(t)

都可以用n个正交三角函数之和表示

老师

今天的课并没有讲信号的频域特性

为什么

因为今天的内容是分析信号频域特性的基础知识

下次课才具体介绍信号的频率特性 频谱

今天的课就讲完了

同学们再见