当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第9周：抗外扰控制（1） > 3. 输出对外扰的静态不变性 > 视频
同学们好
我们继续学习第六单元抗外扰控制
上次课我们讨论了
控制系统对外扰的完全不变性
这次课我们学习控制系统
输出对外扰静态不变性的分析方法
这一节我们分成三个小节
第一小节问题描述
第二小节外扰引起的强制解
第三小节实现静态不变性的条件
首先我们来复习一下问题的描述
考虑系统描述3-1
该系统输出对外扰静态不变性的要求是
对任意的初始条件
输出e(t)渐近趋近于0
好 我们这一节课来分析
输出对外扰具有不变性的条件是什么
首先我们做一个准备
我们给出外扰引起的稳态强制解的表达式
好 关于外扰引起的强制解有如下结论
定理3-1
系统3-1由外扰引起的
受控系统状态的
稳态强制解为3-2这种表达
x~(t)等于负Pw(t)
也就是x(t)会渐近地收敛-Pw(t)
这个式子成立的充要条件是
A矩阵是渐近稳定的
并且存在矩阵P
满足矩阵方程3-3
AP减PM等于N
下面我们来证明这个结论
首先证明充分性
也就是说当A矩阵是渐近稳定时
并且存在矩阵P满足
矩阵方程3-3时
那么状态的稳态强制解
x~(t)它会等于负Pw(t)
状态可以写成由初始状态产的自由运动
和外扰产生的强迫运动
两部分组成
由矩阵方程3-3我们知道
N是等于AP减掉PM的
把这个扩号给它打开写成两项
被积函数里面这里是APw 这边是PMw
外模型是w的微分等于Mw
我们把这个把它代进来
也就是说用微分
用w的微分代替Mw
那么w一点乘上d(τ)就等于d(w(τ))
好 我们写在下一页去
好 x(t)的话可以表达成这样的表达式
和前面不一样的就是最后那一项
原来是P的 P乘上V的微分乘上dτ
现在改写成P乘上wτ
好 对最后这一项做分布积分
分布积分的结果写在下面这个大括号里面
好 前面这个是积分线0t的
后面这个是对前面做微分下来一个负A
所以这个分布积分
原来这里应该是负号
现在变成正号了
好 这里我们要注意
上面这里有一个APw(τ) 被积分的
后面这个也是APw(τ)完全一样
符号相反
所以这两项抵消了
最后我们得到后面这个式子
好 我们把最后这个等式抄过来
有3-4式
好 我们的假设条件还有一个是
A是渐近稳定的
好 后面两项由初始条件产生的运动
它就会渐近趋近于0
因此x(t)它会渐近的收敛于负Pw(t)
这就证明了我们的充分性
好 我们来证明必要性
假设由外扰w引起的状态的稳态强制解为
x~(t)它等于负Pw(t)
这个解会满足状态方程3-1
把它代入到状态方程3-1里面去
也就是x~的微分等于Ax~加上Nw的话
这时候我们就可以得到下面这个式子
负Pw的微分等于负APW加上Nw
好 外模型是W一点等于Mw
那么在外模型的两边都同时乘上负P的话
我们又得到这样一个等式
这两个式子的左边是相同的
那么它的右边必须相等
并且对任意的w都要相等
这样我们就得到了矩阵方程3-3
我们在前面已经证明
如果3-3成立的话
我们可以导出3-4式
我们把3-4式抄在这个下面
x要渐近地趋近于负w的话
那么从3-4我们可以看出来
A矩阵必须是渐近稳定的
好 到这里我们可以看出来
A矩阵渐近稳定
矩阵方程3-3成立是必要的
好 这样我们就证明了这个结论
就外扰引起的状态的稳态强制解
可以写成3-2这样一个式子
那么这个式子成立的充要条件是3-3
这个矩阵方程有解
这个方程其实是一个Sylvester方程
在Matlab里面有命令可以求解这个方程
大家可以在Matlab里面help一下sylv
好 这里给一个引领
它是说刚才的Sylvester方程有唯一解的充要条件
我们看一下这个结论
矩阵方程AP减PM等于N
有唯一解矩阵的充要条件是
矩阵A和M没有相同的特征值
这个结论是线性代数里面的一个结论
我们这里不多做说明
好 我们来看一个例子
一个二阶系统 它是稳定的
为什么是稳定的
好 M矩阵
M矩阵是0 1 -1 0
好 初始条件W0是0 1
好 A矩阵特征值是负1 负2
M矩阵的特征值是正负j
所以它是相异的
那么刚才的矩阵方程3-3是有解的
好 把这些AM M代进来
求这个P
结果发现它是等于单位阵的
这样的话这个状态的稳态的强制分量
x~(t)就表达成负Pw
P就是这个单位阵
然后w可以写成它的状态转移矩阵
乘上初始状态
这样的话我们得到这样的-sin -cos
这样一个表达式
好 下面我们来分析
实现静态不变性的条件
我们用e~来表示输出的稳态分量
我们希望稳态时输出e~不受外扰w的影响
也就是我们e~等于Cx~加上Dw要等于0
这里的x~是状态的稳态强制解
好 我们利用上面的结果
x~是等于负Pw的把它代进去
就得到x~是等于负Pw加上Dw 要等于0的
这个等式是对任意的w都要成立
对任意的外模型的初始状态都要成立的
所以我们得到矩阵方程CP等于D
好 我们把这些结果整理一下
有这样一个结论
定理3-2 系统3-1实现
输出对外扰静态不变性的
充分必要条件是
A是渐近稳定的
并且下述矩阵方程组联立有解
这个矩阵方程组
我们标了3-5
好 我们来证明这个结论
前面的讨论我们可以认为是必要性的证明
下面我们做充分性的证明
也就是说假设A是渐近稳定的
矩阵方程组3-5是有解的
我们证明
这时候输出对外扰具有静态不变性
考虑如下系统描述3-1
对输出方程做拉斯变换
得到e(s)等于Cx(s)加上Dw(s)
把状态的拉斯变换代进来
C乘上预解矩阵 乘上x(0)
加上C乘上预解矩阵乘上Nw(s)
再加上Dw(s)
好 这里两项包含w(s) 把它合起来
得到这样的一个式子
好 我们还
把这个w(s)的表达式写在这
它等于M对应的预解矩阵乘上w(0)
一会儿我们会用上
好 我们把刚才的那个式子抄过来
我们假设了矩阵方程组3-5是成立的
那么它的第一个式子就是说
N是等于AP减掉PM的
把第一个方程代进来了
好 下面对这个括号部分做一下处理
加进去了一个sP又减掉了一个sP
所以是没有变化
好 那么第四个等式
我们把A的预解矩阵乘进去
那么这里就出了一个负CP
把它单独抄出来
再把后面那个D也给它合进来
好 这就得到这一个 这一项
剩下部分我们把P从右边提出来
然后把前面的C乘上预解矩阵
给它乘上去
这样就得到这么一个表达式
好 我们刚才的矩阵方程3-5的第二个式子
说的是CP等于D
所以负CP加D应该是等于0的
好 我们刚才的片子的最后一个等式
给出了外扰w的一个拉斯变换表达式
我们把它抄过来就等于这样
M对应的预解矩阵乘上w(0)
这个外模型的预解矩阵
和我们这个刚才推导出来的
包含有sI减M这个因子
正好抵销掉了
好 最后我们这个输出的拉斯变换
就等于最后这么一个等式
好 我们把最后这个等式抄过来
抄到这样来
我们看到这时候
输出的话是只有初始条件产生的响应
如果矩阵A是渐近稳定的话
这两项都会趋近于0的
因此输出会渐近趋近于0
也就是说我们如果
这个系统是稳定的
矩阵方程组3-5是有解的话
那么我们这个系统就能实现输出
对外扰的静态不变性
好 我们刚才是证明了这样一个结论
那么我们把矩阵方程组3-5
给它取一个名字
叫做输出稳态无差方程
我们也简称为无差方程
后面我们会反复用到这个方程
好 我们总结一下本结的内容
对于系统3-1
我们有如下两个结论
由外扰w引起的受控系统状态
稳态强制解为
x~(t)等于负Pw(t)的充要条件是
A是渐近稳定的
矩阵方程3-3是有解的
二输出对外扰静态无差的充要条件是
A为渐近稳定的
并且矩阵方程组3-5有解
最后给大家留一个思考题
矩阵方程3-3
存在唯一解的充要条件是A和M
没有相同的特征值
如果有相同的特征值又如何
这时状态的稳态强制分量应该怎么表示
大家回去思考一下
好 这次课就到这
再见
-1. 状态、状态空间、状态空间描述
--视频
-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵
--视频
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵
--视频
-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
--视频
-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）--作业
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
--视频
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）--作业
-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
--视频
-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解--作业
-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
--视频
-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解--作业
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈
--视频
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈--作业
-4. 系统的等价变换及其应用（一）
--视频
-4. 系统的等价变换及其应用（一）--作业
-5. 系统的等价变换及其应用（二）
--视频
-5. 系统的等价变换及其应用（二）--作业
-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程
--视频
-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程--作业
-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程
--视频
-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程--作业
-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义
--视频
-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义--作业
-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质
--视频
-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质--作业
-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法
--视频
-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法--作业
-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性
--Video
-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性--作业
-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念
--Video
-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念--作业
-3. 能控性与能观测性的定义（三）：能观性概念
--Video
-3. 能控性与能观测性的定义（三）：能观性概念--作业
-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）
--Video
-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）--作业
-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）
--Video
-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）--作业
-3. 能控性与能观测性的判据（三）：状态能观判据形式之一（模态判据）
--Video
-3. 能控性与能观测性的判据（三）：状态能观判据形式之一（模态判据）--作业
-4. 能控性与能观测性的判据（四）：状态能观判据形式之二（代数判据）
--Video
-4. 能控性与能观测性的判据（四）：状态能观判据形式之二（代数判据）--作业
-5. 对偶性原理
--Video
-5. 对偶性原理--作业
-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解
--Video
-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解--作业
-2. 定常系统的状态空间结构（二）：能观状态分解
--Video
-2. 定常系统的状态空间结构（二）：能观状态分解--作业
-3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型
--Video
-3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型--作业
-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现
--Video
-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现--作业
-5. 实现问题、最小实现（二）：多变量系统的能控实现、能观实现
--Video
-5. 实现问题、最小实现（二）：多变量系统的能控实现、能观实现--作业
-6. 实现问题、最小实现（三）：最小实现问题
--Video
-6. 实现问题、最小实现（三）：最小实现问题--作业
-1.状态反馈和输出反馈
--视频
-1.状态反馈和输出反馈--作业
-2. 反馈对能控性和能观测性的影响
--视频
-2. 反馈对能控性和能观测性的影响--作业
-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法
--视频
-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法--作业
-4.极点配置算法(二)：极点配置举例
--视频
-4.极点配置算法(二)：极点配置举例--作业
-5.极点配置算法（三）：极点配置算法
--视频
-5.极点配置算法（三）：极点配置算法--作业
-6. 状态空间中系统的镇定问题
--视频
-6. 状态空间中系统的镇定问题--作业
-1. 状态观测器的基本概念
--视频
-1. 状态观测器的基本概念--作业
-2. 全维观测器的设计
--视频
-2. 全维观测器的设计--作业
-3. 降维观测器
--视频
-3. 降维观测器--作业
-4. 重构状态反馈控制系统
--视频
-4. 重构状态反馈控制系统--作业
-5. 扰动量的观测
--视频
-5. 扰动量的观测--作业
-1. 基本概念
--视频
-1. 基本概念--作业
-2. 对外扰的完全不变性
--视频
-2. 对外扰的完全不变性--作业
-3. 输出对外扰的静态不变性
--视频
-3. 输出对外扰的静态不变性--作业
-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
--视频
-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制--作业
-1. 带观测器的抗外扰控制
--视频
-1. 带观测器的抗外扰控制--作业
-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
--视频
-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
--视频
-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-1. 基本概念
--视频
-1. 基本概念--作业
-2. 李雅普诺夫方法
--视频
-2. 李雅普诺夫方法--作业
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
--视频
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法--作业
-1. 线性定常系统的稳定性
--视频
-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
--视频
-2. 离散系统的稳定性--作业
