当前课程知识点：生产计划与控制 > 第八章 针对不确定性需求的库存控制（1） > 第5节 (Q, R)模型期望成本计算 > 第5节 (Q, R)模型期望成本计算
下边我们就来看一看
在这种情况下各方面的成本怎么计算
我们希望算一下
按照我们决定的这个决策变量（Q，R）
年度的期望平均总成本会是多少
这里边一项一项的来看
首先持货成本
我们知道持货成本经常是按照
持货量的平均水平来算的
如果我们不考虑这个具体的随机波动
按照比较长时间范围内
顾客的需求是λ件/年这么多
这个需求总体来讲是稳定的
如果把具体这些波动去除掉的话
我们可以画一个
比较粗略的简化的库存水平曲线
你就会发现库存还是在从高到低
然后货到了 库存涨上去
又从高到低这样一个过程
就这么一波一波走下去
那么这个库存总体消耗的速率
就是我们刚才说的这个年需求率λ
按照 -λ 的这个斜率给消耗下去的
其中每隔T这么长时间
我们一批新的货到了
这个T=Q/λ
我们看库存水平的这个最高点
就是期望的这个最高点在什么位置呢
我们可以看到最高点和最低点之间
差别就这个Q
这就是每次进货的这个
库存的最高最低水平的差
当然这是个期望值不是具体值
那么最低点和我们的零点之间的距离
我们在这用s标出来
这个s被称作安全库存
为什么叫安全库存呢
就是说在没有波动的情况下
这部分是用不着的
大家看如果是我们把这个波动去除
这个斜率都变成直线了
这部分是用不着的
换句话说在平均情况下
这是个用不着的库存
但是由于具体的需求是随机的
它会在一定程度派上用场
甚至在个别情况下它还不够用呢
如果说赶上某个礼拜
来了一大客户想跟我要100件
但是我库里只有85件了
所以这个库底就用穿了
所以有个说法叫stock out
表示库存都用空了变成缺货的状况了
这个安全库存可以怎么计算呢
它表达的意义就是
下一批订货到达的那一瞬间
我们手头库存量的期望值还有多少
我们可以用再订货点减去λτ来表示
再订货点是设的比较高的
按照平均期望的需求
在τ这么长时间内
顾客需求应该是λτ这么多
那么在这个R和λτ之间的距离
就是这个s 安全库存
所以这样看来
我们期望的库存水平变化的范围
就是在s和Q+s之间这样来变化的
那么平均的库存水平也就是
s+Q/2这样一个范围
当然你也可以把这个
s=R-λτ代进去
但是大家注意这个算法是一个近似值
因为具体的随机性的需求
它是个曲线不是直的斜线
而且有时候可能会击穿库底 变成个负数
你不能把负数也取个平均吧
所以这个地方是在模型上稍微做了点简化
这是持货成本
然后我们来看订货的固定成本
我们知道订货周期表达的就是
一个批量Q和下一个批量Q之间
这个订货到达的时间间隔
可以用Q/λ来表示
那么在这个周期里边
需求的期望值Q=λT
在单位时间比如一年里头
我们订了多少次货 1/T次货
每次是K这么多固定成本
所以一年里边
这个单位时间的订货固定成本之和
就是Kλ/Q这么多
这是订货的固定成本
再来看看购买的成本
平均来讲 一个比较长的时间里头
比如一年里头
我们的需求基本是稳定的
是λ件这么多
单价是c
那么一年里头的这个采购的总成本
就是λc这么多
这是个常数
是基本不会变化的
所以我们后边计算的时候
就把这项给不考虑了
当然这个单价对我们的（Q，R）虽然没有影响
但是对我们持货成本是有影响的
因为我们计算持货成本h的时候
是用一个年利率乘以这个单价c
这是关于购买成本的部分
然后比较麻烦的是惩罚成本的计算
这是我们在前面的模型里边
基本都没有介绍到的
首先惩罚成本这件事
只有可能在提前期里边才会发生
因为只有在提前期里边才会缺货
没到提前期的时候
在你的再订货点之前的库存水平高高的呢
一点问题都没有
所以没有惩罚成本的问题
然后接下来我们就看
在这个提前期里边
如果偶尔出现的这种需求过高的情况
这个缺货的这个件数我们可以用D
就是提前期内的需求量减去R
当时我们在提前期
一开始去订货的那个再订货点那个水平
这两个之间的差 D-R
如果缺一件 它的惩罚成本是p的话
我们看一个订货周期里面
我们可能会缺多少件
具体到某一个周期这是一个随机的数
但是很多周期的有个期望的缺货件数
我们用n来表示
但是这个n跟你的再订货点R
订的多高是有关系的
R如果订的高高的 n可能就很小
如果R订的比较低
那你缺货的概率就相当大
这个期望的n可能就比较大
所以n是一个R的函数
在这里边这个n（R）
它是一个D-R和0之间的
取其大者的期望值
我们可以用一个积分给算
就是从再订货点R这个点
一直积到正无穷
我们用x-R跟概率密度函数f（x）乘起来
对x轴取积分
所以就是这么一个从R到正无穷的积分
这是一个周期内期望的缺货件数
那一年你会缺多少件
因为一年有1/T个周期
每一件要罚多少钱 p这么多钱
所以 总的 一年的单位时间的惩罚成本之和
就等于pλ·n（R）/Q这么多
-第1节 生产系统
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-第3节 课程内容
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-第2节 学习曲线
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-第6节 动态产能扩张模型
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-第4节 预测误差
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-第6节 指数平滑法
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-第1节 回归分析
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-第3节 季节因子
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-第7节 线性规划解算综合计划问题
-第8节 线性规划应用示例
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-小测验 （第一章~第五章）
-第1节 库存的类型
-第2节 持有库存的动机
-第3节 库存系统的特性
-第4节 库存的关联成本
-第5节 经济订货批量（EOQ）模型
-第6节 考虑订货提前期的EOQ模型
-第7节 灵敏度分析
-第8节 有限生产速率的经济订货批量
-第六章测试 针对确定性需求的库存控制（1）
-第1节 全量折扣模型
-第2节 增量折扣模型
-第3节 EOQ模型用于生产计划
-第4节 多品种轮番生产计划示例
-第5节 ABC分类库存控制
-第七章测试 针对确定性需求的库存控制（2）
-第1节 随机性需求与优化准则
-第2节 报童模型
--第2节 报童模型
-第3节 报童模型的扩展应用
-第4节 (Q, R)库存控制方式
-第5节 (Q, R)模型期望成本计算
-第6节 (Q, R)模型年度总成本计算
-第7节 (Q, R)模型应用示例
-第八章测试 针对不确定性需求的库存控制（1）
-第1节 (Q, R)库存控制方式下的服务水平
-第2节 针对第二类服务水平的最优(Q, R)策略
-第3节 估计提前期内的需求波动
-第4节 周期性观察库存控制及其服务水平
-第5节 交换曲线
--第5节 交换曲线
-第九章测试 针对不确定性需求的库存控制（2)
-小测验 （第六章~第九章）
-第1节 生产计划体系
-第2节 MRP分解计算
-第3节 生产批量规划（1）
-第4节 生产批量规划（2）
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-第6节 生产能力约束下的批量规划
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-第1节 车间作业调度问题
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-第5节 单机排序理论
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-第十五章测试 约束理论
-第1节 制造企业面临的各种变动
-第2节 应对订单变动（1）：精准预测与产能调节
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-第4节 应对劳动力变动（1）：入职测试与岗位匹配
-第5节 应对劳动力变动（2）：适应型生产线平衡
-第6节 应对劳动力变动（3）：动态平衡与激励机制
-第7节 应对物料供应变动（1）：采购管理与供应商管理
-第8节 应对物料供应变动（2）：物料管理
-第十六章测试 制造企业应对变动
