6.2 离散分数变换在线视频

各位同学好

下面我来介绍一下

特征分解型离散分数变换的相关内容

我们主要介绍三个方面的内容

首先简单回顾一下

特征分解型分数傅里叶变换

然后再介绍

三种典型的余弦类离散分数变换

最后我们将介绍一下

关于特征分解型离散分数变换的统一框架

大家对于积分形式的

连续傅里叶变换是比较熟悉的

通过前面课程的学习

我们已经知道到它所对应的特征方程如下

其中e的负j二分之nπ

是傅立叶变换的特征值

φn（t）表示归一化的

Hermite-Gaussian特征函数

它们构成了

傅里叶变换一组完备正交的标准基函数

其中第n阶

Hermite-Gaussian特征函数的表达式如下

此处的Hn（t）

为第n阶Hermite多项式

我们在这里也给出了它的具体表达式

在1980年

Namias将连续的

特征分解型傅里叶变换的特征值

推广为分数阶次

而特征函数保持不变

从而得到了如下形式的

连续特征分解型的分数傅里叶变换的定义

其中e的负jnα为分数傅里叶变换的特征值

Φn（u）为其对应的

Hermite-Gaussian特征函数

如果我们将信号x(t)

在Hermite-Gaussian基函数上展开

令α等于二分之aπ

就可以得到分数傅里叶变换的

核函数的谱展开形式

通过以上定义式可以看出

与傅里叶变换的定义相比

分数傅里叶变换特征值的相位上

多了一个分数阶次的参数α

也就是说

分数傅里叶变换可以看作

将傅里叶变换的特征值进行了分数化

而特征函数保持不变

基于上面的分数傅里叶变换

核函数的谱展开公式

在模拟连续情况下

傅里叶变换和分数傅里叶变换之间的关系

贝首先定义了

特征分解型的离散分数傅里叶变换

也就是对于a阶大小为N*N的

离散分数傅里叶变换

它的核函数就定义为

F的a次幂等于V乘D的a次幂

再乘V的转置

在这里我们要注意

当N为奇数时

特征向量为离散

Hermite-Gaussian向量的前N-1项

当N为偶数时

是前N-2项

加上VN项

那么这样定义的

特征分解型离散分数傅里叶变换

能够很好的逼近它的连续情况

因此在贝提出以后

就引起了相关学者的关注

并将研究工作集中到寻找逼近

连续Hermite-Gaussian函数的

特征向量上来

分数傅里叶变换特征值矩阵的元素

为特征向量所对应的特征值

它的分配原则由下表确定

它与离散傅里叶变换的特征值

具有相同的多样性特征

由此我们就了解了

分数傅里叶变换的特征值

和特征向量的特点

在对特征分解型

傅里叶变换的进一步研究过程中

人们发现

也可以通过改变特征函数而赋予其新的内涵

从而拓展出其它的新型分数变换

例如分数正弦变换

分数余弦变换

分数Hartley变换等等

由于这些变换的核函数与余弦函数密切相关

因此又被称为余弦类分数变换

它们现在已经成为信号处理领域的研究热点

被广泛应用于通信

信息安全 图像处理等各个领域

下面我们就来介绍一下

余弦类离散分数变换的相关内容

在分数变换的离散化方面

主要是以前面介绍的

特征分解型的离散分数傅里叶变换为基础

而进行拓展的

那么我们首先来看一下

离散分数余弦变换的拓展过程

Wang Zhongde在他的研究中

给出了余弦变换和正弦变换的离散化方法

并且定义了四类离散余弦变换的核函数

由这些定义式可以看出

I型和IV型离散余弦变换核函数

具有相同的对称性质

且周期都为2

而II型和III型核函数互为正负变换对

并不具备周期性

因此在后续研究中

关于余弦变换的分数化工作

都是在I型和IV型的基础上进行的

我们下面的介绍都是以I型结构为例

贝基于离散傅里叶变换特征值的多样性

分析了I型离散余弦变换特征值的构成

并给出了其特征空间的维度

如表所示

除了特征值之外

他还研究了I型离散余弦变换

特征向量的选取方法

并指出其可以由一个

2N-2点的离散傅里叶变换矩阵的

偶向量来得到

具体构造方法如下

基于此 我们可以容易的写出

离散余弦变换的特征分解形式

与离散分数傅里叶变换类似

将上式的特征值进行分数化

并利用离散傅里叶变换的

Hermite-Gaussian特征向量

定义离散分数余弦变换的核函数如下

当a等于1时

C的a次幂会退化为余弦矩阵

即离散分数余弦变换

是离散余弦变换的一般形式

与离散余弦变换情况相似

离散正弦变换的核函数也有四种形式

分别为如下定义

其中系数km和kn

与离散余弦变换的定义相同

可以看到

I型和IV型的离散正弦变换的核函数

与相应的余弦变换相对应

也具有相同的对称性质

周期都为2

另外 经过分析发现

I型离散正弦变换的特征值

也具有如表所示的多样性

但是I型离散正弦变换的特征向量

来源于一个2N+2点的

离散傅里叶变换的奇向量

具体选取方法如下

基于此我们就可以容易的写出

离散正弦变换的特征分解形式

与前面的介绍相似

离散分数正弦变化也是将其特征值进行分数化

而成向量由离散傅立叶变换的

Hermite-Gaussian特征向量来生成

由公式可以看出

离散分数正弦变换

是离散正弦变换的一般形式

前面介绍了I型离散正弦

余弦变换的核函数

它们都是具有对称性和周期性的

因此 离散Hartley变换的核函数

一般就由这两种类型的核函数来共同定义

它的第（m，n）个元素可以定义如下形式

那么离散Hartley变化的特征向量

与离散分数傅里叶变化是相同的

而它的特征值是多样性

它的特征值的多样性由这个表给出

基于这样的特征值和特征向量

我们就可以得到

离散Hartley变化核函数的特征分解形式

将它的特征值进行分数化

我们就得到了

离散分数Hartley变化的核函数

需要注意的是

余弦类分数变换的输出

同时包含信号的时域和频域信息

随着对分数傅里叶变换研究的不断深入

人们发现

改变其特征值和特征函数的取值方式

可以赋予分数傅里叶变换新的内涵

从而衍生拓展出一系列新型的分数变换

除余弦类分数变换外

还包括分数哈达玛变换

分数Hilbert变换

分数梅林变换等等

以及在这些变换基础上

衍生拓展的多参数形式和随机形式

事实上 我们前面介绍的几种

典型余弦类离散分数变换的特征分解形式

都是可对角化的周期分数矩阵

这个事实就使得我们能够从数学的角度

来分析离散分数变换共有的性质和特点

下面我们就从数学的角度来介绍一下

特征分解型离散分数变换统一框架的定义

首先我们先来给出引理1

令L表示一个大小为N乘N的周期矩阵

满足L的p次幂等于单位阵

它的特征分解形式如下

其中P是矩阵L的周期

H表示矩阵的共轭转置

也就是说

特征向量矩阵V是一个

酉矩阵D是一个对角矩阵

它的对角向元素是L的特征值

然后是引理2

将上述公式的特征值进行分数化

可以得到a阶N乘N层的周期分数矩阵的定义

这个定义满足阶次可加性条件和边界性条件

根据贝所提出的

离散分数傅里叶变换的快速计算方法

我们团队证明了

关于周期分数矩阵的一般化结论

也就是定理1

令L表示一个大小为N乘N的周期矩阵

在满足引理1的前提下

当n等于周期p的时候

周期分数矩阵L的a次幂

与下式所定义的线性求和函数Lsa是等价的

定理2

当N不等于周期p时

我们可以令b等于P除以N

再用K表示一个周期为N

大小为N乘N的周期分数矩阵

这样就可以用K来表示L的b次幂

那么周期分数矩阵L的a次幂

就等于K的a除以b次幂

关于定理1和定理2的详细证明

可以参考我们团队在2010年

发表在TSP上的文章

以上引理中的周期分数矩阵

可以理解为只具有数学意义的算子

当对它的特征值和特征向量

赋予具体的形式之后

才含有具体的物理意义

比如我们前面介绍的

典型余弦类离散分数变换就是该框架的特例

基于以上的框架定义

使得我们能够从离散分数变换的

一般化数学模型入手

总结凝练出它的共同特点

分析它共有的性质等

在此框架的指导下

就可以构造出新的在实际应用中

可能有效的离散分数变换

这对于进一步丰富并发展

分数与信号处理的理论体系

具有重要意义

以上就是本次课的全部内容

谢谢大家