6.3 广义Hilbert变换在线视频

同学们好

这一讲介绍广义希尔伯特变换

本讲包括以下几个方面

希尔伯特变换

基于分数傅里叶变换的希尔伯特变换

广义希尔伯特变换

广义希尔伯特变换的应用

首先介绍一下

与希尔伯特变换有关的内容

对于实信号x(t)

对应的希尔伯特变换表示为

x(t)与h(t)的卷积

其中h(t)=1/πt为希尔伯特变换的核函数

将表达式展开

就得到右边的积分形式

希尔伯特变换核函数h(t)的傅里叶变换

幅度谱与对应的相位谱如图所示

从图中可以看到

幅度谱的模为1

相位分别为π/2和-π/2

这表示信号经过希尔伯特变换后

频域各频率分量的幅度保持不变

但相位将出现90°相移

因此希尔伯特变换器

又称为90°移相器

希尔伯特变换在信号处理领域

有着重要的作用

是信号分析的重要工具

还可以用于

设计数字信号滤波器

但是 传统的希尔伯特变换

只能近似应用于窄带信号

在实际应用中

存在许多非窄带信号

希尔伯特变换

对这些信号就无能为力了

本讲所介绍的广义希尔伯特变换

适合用于处理非窄带信号

如chirp信号

希尔伯特变换的另一个重要作用

是构成实信号x(t)的解析信号

即把一个一维的信号

变成二维复平面上的信号

解析信号r(t)的定义

如表达式所示

解析信号的实部为实信号x(t)

虚部则是x(t)的希尔伯特变换

对解析信号r(t)进行傅里叶变换

得到下面的表达式

这一结果表明

解析信号保留了正频率部分

剔除了负频率部分

并且正频率谱包含了

实信号x(t)所有的频谱信息

利用这一特点

就可以根据x(t)的傅里叶正频谱

恢复实信号x(t)

同时

还可以获得x(t)的希尔伯特变换

而不必使用卷积过程求解

一方面 传统的希尔伯特变换

相位φ为±π/2

如果对希尔伯特变换进行修正

使得相位φ可变

那么称其为分数阶希尔伯特变换

另一方面

传统希尔伯特变换

是基于傅里叶变换进行分析的

如果将其与分数傅里叶变换相结合

就得到基于分数傅里叶变换的

希尔伯特变换

如果将分数阶希尔伯特变换

在分数傅里叶域进行分析

则称为广义希尔伯特变换

广义希尔伯特变换已有学者提出

是从变换域给出的定义

并用于光学系统和图像边缘检测方面

但没有讨论相关的解析信号形式

和实信号重构的问题

本讲介绍一种从时域定义

广义希尔伯特变换

和解析信号的方法

以及其在单边带通信系统

与时延估计方面的应用

下面先介绍

基于分数傅里叶变换的希尔伯特变换

实信号x(t)的基于分数傅里叶变换的

希尔伯特变换

定义为对x(t)和h(t)修正后进行卷积

如表达式所示

式中x(t)和h(t)分别

增加了调制系数

α表示分数傅里叶变换的旋转角度

利用修正的信号

及其希尔伯特变换的结果

定义解析信号

如下面的表达式所示

接下来分析

这一解析信号的分数傅里叶变换

x(t)修正信号的分数傅里叶谱

如表达式所示

其中sgnα(u)表示

旋转角度为的α分数傅里叶域符号函数

对修正的解析信号

进行分数傅里叶变换

如表达式所示

可以看出

该解析信号只包含

x(t)的分数傅里叶域正频率成分

去掉了负频率成分

这一特点非常有利于

从修正的解析信号中

重构实信号x(t)

信号重构过程可以表示为

修正的解析信号乘以一个调制系数后

再取实部

如下面的表达式所示

下面从时域定义广义希尔伯特变换

和解析信号

广义希尔伯特变换定义为

实信号x(t)与其解析信号修正后

相加的形式

如表达式所示

式中φ=vπ/2 为

分数阶希尔伯特变换的移相弧度

α为分数傅里叶变换的旋转角度

在此基础上

定义广义解析信号

如下面的表达式所示

式中

信号x(t)增加了一个系数

修正的希尔伯特变换函数

也增加了一个系数

从这一表达式可以看出

广义解析信号与参数φ和α都有关

接下来分析

广义解析信号的分数傅里叶变换

对广义解析信号进行分数傅里叶变换

结果如表达式所示

从这一表达式可以看出

广义解析信号

保留了分数傅里叶域正频谱部分

去除了分数傅里叶域负频谱部分

在φ≠0和π α≠0和π的情况下

该分数傅里叶谱包含了

实信号x(t)所有必要的正频谱部分

同时

还带有一个复系数

复系数中

j sinφ e(j u²/2cotα)关于u轴对称

Aa j sinφ e(-jφ) 为一个复常数

重构实信号的过程可以表示为

对广义解析信号

乘以一个系数后取实部的过程

如表达式所示

下面介绍广义解析信号的分数傅里叶谱

和重构后的实信号波形

这里使用的实信号为一个矩形波

其广义解析信号的分数傅里叶谱

如左图所示

可以看到分数傅里叶谱

只有正频谱部分

右图所示为重构后的实信号

接下来介绍广义希尔伯特变换

在通信系统和时延估计方面的应用

广义解析信号的分数傅里叶谱

只有正频谱信息

这一特点使得广义希尔伯特变换

特别适用于单边带通信系统

以节省信号带宽

本讲介绍一种

基于广义希尔伯特变换的

单边带通信系统

如图所示

图中uc是分数傅里叶域的载频

α为分数傅里叶变换的旋转角度

φ为分数阶希尔伯特变换的移相弧度

下图所示

分别为调制系统和解调系统

内部的操作过程

如果将分数傅里叶变换的旋转角度α

和分数希尔伯特变换的

移相弧度φ作为密钥

就可以实现保密的单边带通信系统

在解调系统中

如果α和φ与初始值不同

则无法正确恢复信号x(t)

例如

使用一个矩形波信号

作为单边带通信系统的输入信号

在解调过程中

采用不同参数α和φ重构信号

如图所示

可以看出

在分数傅里叶旋转角度α

和移相弧度φ不同情况下

对信号x(t)的重构结果也不同

并且只有在

旋转角度和移相弧度均正确的情况下

才能实现无失真重构

否则很难获得原信号

希尔伯特变换的另外一个重要的应用

是时延估计

相关函数的希尔伯特变换

在时延τ处给出的是0值

有文献指出

对于时延τ值比较小的情况

即欠采样情况

检测0值比检测峰值更为简单

因此

可以将基于分数傅里叶变换的

希尔伯特变换

用于chirp信号的欠采样时延估计

假设接收信号模型为s1 (t)和s2 (t)

式中为x(t)为发射信号

r((t)=x(t-τ)为时延信号

时延为τ

w1(t)和w2(t)为相互独立的复高斯噪声

且与信号不相关

首先考虑在无噪声干扰的情况下估计

对信号x(t)进行

基于分数傅里叶变换的希尔伯特变换

再与时延信号r(t)进行互相关

在滞后为0处

得到结果如表达式所示

式中Ex为信号x(t)的能量表示

可以看到

此时互相关函数的希尔伯特变换

在0处近似为正弦信号

而时延τ则出现在这一信号的参数中

根据这个特点

给出时延τ的估计子

如表达式所示

当接收信号中有噪声干扰时

估计子就将偏离真实时延τ

下面从均值和方差两个方面

分析估计性能

假设噪声w1(t)和w2(t)为相互独立的

加性复高斯随机噪声

方差均为σ2

且与信号不相关

由分数傅里叶变换性质可知

随机高斯信号的分数傅里叶变换

和分数希尔伯特变换

仍为高斯的

利用这一特点

计算出估计期望和估计方差

如表达式所示

式中SNRin=E/(Tσ2)为输入信噪比

根据估计期望可知

当输入信噪比较大时

估计接近于真实时延

但是在输入信噪比较小时

估计存在偏差

该方法的特点是

可以对chirp信号的欠采样

进行时延估计

且计算简单

但是在信噪比较低的情况下

估计的偏差增大

估计性能下降

以上就是本讲所有的内容

谢谢大家