3.4 分数功率谱在线视频

同学们好

这一节课我们介绍分数功率谱

它是功率谱的广义形式

衡量随机信号在分数域的分布规律

本节的内容共分为4个部分

首先回顾平稳随机信号的相关概念

第二部分介绍分数功率谱的定义

特别地 我们会介绍

一种特殊非平稳信号的分数功率谱

第三部分介绍分数功率谱

经过分数域滤波器后的变化规律

为分数域滤波奠定基础

最后总结本节课的内容

本节所讨论的信号

依然限定为功率型信号

功率型信号是指其能量是无限的

但功率是有限的

上节课已经介绍过

依照随机信号的相关函数

是否随时间变化

可以将随机信号

分为平稳信号和非平稳信号

注意这里的平稳性是指宽平稳

因为平稳信号的相关函数

不随时间变量变化

所以可以简记为一维信号R(τ)

功率谱的概念是从功率的定义发展出来的

反映了随机信号在频域的分布规律

我们知道功率谱和相关函数

存在傅里叶变换的关系

具体来讲

功率谱是相关函数有关时间变量积分

取平均 求极限的傅里叶变换

但是平稳信号的相关函数

与时间变量无关

所以上述积分 求平均

取极限的运算可省去

因此 平稳信号的相关函数

与功率谱之间是傅里叶变换的关系

这就是著名的维纳-辛钦定理

根据这种关系

在计算平稳信号的功率谱时

不需要极限运算

可直接通过其相关函数的

傅里叶变换得到

因此 功率谱是反映

平稳信号特征的良好工具

上一节课中 我们布置了一个思考题

如何表征随机信号分数谱的分布规律

进一步要问

如果这种表征是存在的

那么其通过线性一阶时变系统后的

变化规律是什么

与分数卷积有什么关系

带着这些问题

我们展开本节下一部分知识点的介绍

具体来讲

我们把这种特征称为分数功率谱

接下来 我们探讨它的定义和性质

我们依旧从功率的表达式出发

不过这里利用

分数傅里叶变换的帕塞瓦尔定理

将信号的功率用分数谱表示

具体表示形式如下

由于这里的x(t)是样本函数

我们对等式两边同时取期望运算

消除随机性的影响

得到功率的表达式如下

与功率谱的定义类似

我们把这里功率的被积函数

称为分数功率谱密度

简称分数功率谱

由该定义的表达式

很容易发现

当α=π/2时

分数功率谱退化为功率谱

很自然的问题就是

该分数功率谱与相关函数是什么关系

为了找到此关系

需要在表达式中

找到信号在时域的表达形式

我们知道X_α T

是样本函数的分数傅里叶变换

所以将样本的分数傅里叶变换

表达式带入

这里 我们用红色表示信号

用蓝色表示分数傅里叶变换的核函数

取期望运算是针对信号的

所以也标记为红色

通过合并相同颜色的项

红色部分的函数得到相关函数

这样我们初步得到了

分数功率谱与相关函数的关系

从蓝色部分的函数依稀可以看出来

分数谱与相关函数

有类似分数傅里叶变换的关系

我们接下来具体寻找这种关系

我们将相关函数的自变量

换为时间和时延变量

具体来讲

将t1 t2之间的差记为τ变量

这样分数功率谱的表达式

可进一步整理如下

显然 蓝色部分的函数是缺少了

u方项的分数傅里叶变换的核函数

所以我们补齐u方项

整理出分数傅里叶变换关系

具体来讲

分数功率谱是相关函数相位调制的

积分取平均的极限

再做分数傅里叶变换的结果

我们将红色部分的函数

整体称为分数相关函数

这样分数功率谱与分数相关函数

是傅里叶变换的关系

当α=π/2时

该关系退化为功率谱

与相关函数之间的关系

上面介绍的分数相关函数

是通过保留相关函数中的t2变量

将t1表示成t2+τ的形式得到的

这里我们保留相关函数中的t1变量

将t2表示成t1-τ的形式

得到另一种形式的分数相关函数

此相关函数与分数功率谱之间的

分数傅里叶变换也可类似得到

其具体表达式如下

互相关函数用来衡量

两个随机信号之间的相互依赖关系

分数相关函数与相关函数之间是

调制 积分 求极限的关系

所以可类似定义分数互相关函数

具体如下等式表示

类似的分数互功率谱

可从功率的角度出发

定义如下

也可从分数互相关函数的

分数傅里叶变换角度来定义

我们发现分数相关函数

和分数功率谱相关函数都包含极限运算

在实际应用中不易计算

以下我们具体分析

在计算分数功率谱过程中

求极限运算的位置

从随机信号出发

有两种方法可以计算分数功率谱

第一种是通过先计算相关函数

再计算分数相关函数

最后通过分数傅里叶变换得到分数功率谱

另一种方法是根据原始定义

由样本函数计算分数傅里叶变换

再通过取期望和求极限运算

得到分数功率谱

那么我们的问题转化为

是否存在一种随机信号

由它的相关函数计算分数相关函数时

可省去求极限运算

其实这种信号类型是存在的

称为chirp平稳信号

建模为两个函数相乘

其中第一个函数是chirp信号

也称为线性调频信号

其波形如下图所示

另一个函数是平稳信号

其相关函数表示如下

可以发现chirp平稳信号的相关函数

随时间变量变化

所以是一种非平稳信号

其非平稳性是由chirp调制项引起的

当mu=0时

容易发现chirp函数的值是1

此时chirp平稳信号退化为平稳信号

将chirp平稳信号的相关函数

带入分数相关函数的表达式中发现

被积函数中有关t的项被消除

也就是在计算chirp平稳信号

分数相关函数的过程中

其实不需要关于变量t2的积分

和极限的运算

Chirp平稳信号的分数相关函数是时不变的

进一步

对分数相关函数求分数傅里叶变换

并进行调制可得分数功率谱

所以说分数相关函数和分数功率谱

是反映chirp平稳信号特征的统计量

在计算过程中避免了求极限的运算

接下来我们考察随机信号

尤其是chirp平稳信号

通过分数域滤波器后的变化规律

进而分析分数域滤波原理

分数相关函数和分数功率谱

是在相关函数的基础上定义的

因此随机信号经过分数域滤波器后

分数相关函数和分数功率谱的变化规律

可按照如下思路整理

首先探讨随机信号经过分数域滤波器后

相关函数的变化规律

进而根据分数相关函数与相关函数的关系

得到分数相关函数的变化规律

最后根据分数相关函数与分数功率谱的关系

得到分数功率谱经过分数域滤波器的变化规律

信号经过分数域滤波器的输出Y(t)

可表示为X(t)和h(t)的分数卷积

将Y(t)的表达式带入

输出输入互相关函数R_YX的表达式中

整理可得R_YX与输入自相关函数R_X的关系

具体如表达式(1)

类似地

输出自相关函数R_Y

与输出输入互相关函数R_YX的关系

如表达式(2)

R_Y与R_X的关系的关系如表达式(3)

利用分数相关函数

和分数互相关函数的定义

在上面介绍的输出输入互相关函数R_YX

与输入自相关函数R_X的基础上

可得输出输入分数互相关函数

与输入分数相关函数的关系

如表达式(1)

注意 我们为了得到分数相关函数

与分数互相关函数之间的

分数卷积关系

需要用到第二种分数相关函数的定义

在上面介绍的相关函数R_Y

与互相关函数R_YX关系的基础上

得到的第二种分数相关函数

与分数互相关函数的关系

如表达式(2)

在上述分数相关函数的基础上

利用分数卷积定理

就可以得到分数功率谱

经过系统后的变化规律

具体表示如下

这三种关系分别表示如下

其中关系(1) (2)

可用于一阶时变系统辨识

关系(3)可用于分数域滤波器设计

以下对本节课做一个简单的总结

本节课主要包括的知识点有

分数傅里叶变换的帕塞瓦尔定理

信号经过分数域滤波器后的

分数卷积表示和分数卷积定理

本节课新讲解的知识点包括

介绍了分数功率谱的概念

给出了衡量随机信号

分数谱分布规律的度量

建立了分数功率谱与分数相关函数之间的

分数傅里叶变换关系

介绍了chirp平稳信号模型

考察了其分数功率谱的特征

介绍了分数功率谱

经过分数域线性时不变系统的乘性规律

为分数域滤波器设计提供了理论支撑

本节课的所有内容

为分数域随机信号分析奠定了理论基础

本节课的内容到此结束

感谢各位同学