3.1 分数卷积I在线视频

同学们好

今天我们讲授一种基本的运算

分数卷积

本节内容共分为三个部分

第一部分回顾卷积的基本概念和性质

第二部分介绍分数卷积

第三部分介绍时域乘积

我们已经知道

连续线性时不变系统

完全由它的冲激响应唯一确定

任何信号通过连续线性时不变系统的输出

可以表示为信号与冲激响应的卷积

这里我们对本课程常用符号做一个约定

一般地 我们将输入信号记为x(t)

输出信号记为y(t)

冲激响应记为h(t)

卷积积分用*表示

卷积的具体计算形式如下

描述为保持信号x(t)不变

对冲激响应h(t)先反褶 移位

与信号相乘再积分

以下我们通过两个门函数的卷积

展示计算过程

红色波形表示门函数反褶后

逐渐向右移位

在红色波形与蓝色波形的公共区域

也就是黄色的区域进行积分

得到最后的计算结果

是三角波形

由积分运算的可交换性

可得卷积的可交换性

也就是说

做卷积的两个信号互为冲激响应

卷积定理说明了时域卷积对应频域相乘

冲激响应的傅里叶变换称为

系统的传递函数或频率响应

具体来讲

卷积的傅里叶变换就是两个输入信号的

频谱的乘积

反之 在频域中进行频谱截断等乘性操作

对应的时域表征就是两个信号的卷积

频域乘积的物理解释表述为

两个信号频谱的点点相乘

这也充分体现了“过滤”的含义

下面我们以一个三角波

和一个矩形波的乘积来解释点点相乘

此图中

三角波的非零区域比矩形波的非零区域大

因此 在两者的公共非零区域

三角波形保留下来

在非公共区域

三角波形被滤除

若我们把横轴当做频率轴

那么此矩形波称为低通滤波器

对应地 三角波形的高频成分被滤除

因为乘积运算是可交换的

所以从频域再次解释了做卷积的两个信号

互为滤波器

在卷积的快速计算方面

卷积定理已经建立了时域卷积

与频域乘积的傅里叶变换关系

而傅里叶变换存在快速算法

因此我们可以借助傅里叶变换快速算法

实现卷积的快速计算

实现这种快速计算的原理如下公式表示

对两个信号分别做傅里叶变换

将变换的结果相乘

然后做逆傅里叶变换

具体的快速计算流程图如下

在计算傅里叶变换部分我们用FFT表示

IFFT表示快速逆傅里叶变换

接下来 我们从时频平面的观点来看滤波

左图展示了频域中可分离的信号

和噪声频谱

右图是信号和噪声在时频平面上的分布

我们知道左图波形是信号和噪声的

时频分布在频率轴上的投影

也就是说若信号和噪声的时频分布

在频率轴上的投影可分离

那么信号和噪声在频域就可分离

但是 如果信号和噪声在频域无法分离

在某分数域上可分离时

就需要在分数域进行滤波

那自然就会产生如下问题

分数域滤波的时域表征是什么

这种表征与卷积有关系吗

我们先来看第一个问题

它的数学描述如下

两个信号分数傅里叶变换的乘积

对应的时域表征是什么呢

我们把分数域乘积对应的时域表征

称为分数卷积

其具体计算如下

在介绍具体的时域表征之前

我们先对相关符号进行介绍

我们把对应于X^α和H^α乘积的

在时域中对信号x(t)和h(t)的运算

整体记为分数卷积

为了与经典的卷积符号有所区别和联系

我们将分数卷积的符号记为*上一个α

这个α是分数傅里叶变换的参数

这里注意分数卷积的概念

不是在分数域做卷积

它是分数域两个信号乘积运算

在时域对应的表达形式

是与分数傅里叶变换有关的卷积

最终效果是时域中的分数卷积

对应分数域的乘积

分数卷积的具体计算形式如下

y(t)是两个函数卷积的相位调制

并伴有幅值的伸缩

这两个做卷积的函数与x(t)和h(t)有关

其中x弯t是x(t)的相位调制

h尖t是h(t)分数傅里叶变换的

逆傅里叶变换

这里的公式表示有些复杂

我们通过以下计算流程图帮助理解

我们先来看对x(t)的运算

只需要一步运算

也就是对x(t)进行相位调制

再来看对h(t)的运算

首先对h(t)做分数傅里叶变换

再进行逆傅里叶变换

最后做伸缩变换

将x(t)处理的结果和h(t)处理的结果

做卷积

对卷积再进行相位调制

得到最终的输出

当α等于π/2时

从流程图可以看出对x(t)的调制项成为1

对h(t)的分数傅里叶变换成为傅里叶变换

伸缩系数变为1

此时 对x(t)和h(t)运算的结果

分别是x(t)和h(t)本身

也就是做卷积的两个信号就是x(t)和h(t)

所以说 此流程图在α等于π/2时

退化为经典卷积运算的流程图

当α等于π/2时

从表述形式上来看

也退化为经典卷积

其中y(t)是两个信号的卷积

通过下面两个等式发现

两个信号就是x(t)和h(t)本身

信号在分数域的表征退化为在频域的表征

也就是卷积定理的对应关系

通过计算流程图我们可以发现

借助5个FFT算法

可以实现分数卷积的快速计算

与经典的卷积运算相比

多了2个FFT运算和多个乘积运算

我们发现

这种卷积定义对h(t)的运算比较复杂

自然我们要问

是否存在一种对应于分数域乘积的

比较简洁的时域表达形式

回顾一下

我们的出发点是针对分数域做乘积的

两个信号

找到他们的时域表征

而造成上述分数卷积复杂的原因是对

h(t)的处理

所以解决问题的办法是简化对h(t)的处理

我们发现如果将h尖t作为与x(t)

做分数卷积的信号

既避免了对h(t)的分数傅里叶变换

和逆傅里叶变换的两个运算

又保证了分数谱H^α在时域的对应表示

由此我们得到分数卷积的第二种定义

通过框图我们知道此时做卷积的两个信号

为x(t)和h尖(t)

此时对应的分数卷积表达式如下

通过对第一种分数卷积的推导过程可知

这里的h尖(t)和H^α(u)

是傅里叶变换的关系

如下图所示

为了符号的对应

我们将h尖(t)的傅里叶变换

表示为H尖(u)

要注意 从h(t)变换成h尖t后

我们分析的系统变了

所以信号在时域和变换域的

对应关系也变了

当α等于π /2时

从表达式上和流程图上都可以看出

该分数卷积退化为经典的卷积

由于舍弃了第一种分数卷积中对h(t)的

分数傅里叶变换和逆傅里叶变换

也就是少了两次FFT运算

所以第二种分数卷积只需通过3次FFT

就可以实现快速计算

具体如下

x(t)通过一个乘法器后做傅里叶变换

h尖(t)通过伸缩变换后做FFT

将这两者的乘积做逆快速傅里叶变换

再经过调制可得最终的输出

下面我们对比两种分数卷积对应的

滤波器特性

第一种分数卷积中

信号x(t)是时变信号

含有exp(-jcotα/2t²)的分量

所以在经过系统之前乘

exp(jcotα/2t²)

信号h(t)中也含有exp(-jcotα/2t²)

分数傅里叶变换的核函数中有

exp(jcot α/2t²)

所以在做分数傅里叶变换时

已经包含了对h(t)乘exp(jcotα/2t²)的运算

像h(t)这种可分解为一串调频率相同

初始频率不同的chirp信号相叠加的信号

对应的时变系统称为一阶时变系统

这种时变系统在工程应用中也常常见到

例如时频双弥散信道 扫频滤波器等

第二种分数卷积中

由于已经舍弃了

对h(t)做分数傅里叶变换的运算

而是直接采用其逆傅里叶变换的结果

h尖t作为输入

此时h尖t对应的系统已经是

线性时不变系统

与上面介绍的一阶时变系统相对应

这里引入时不变系统的另一种名称

0阶时变系统

它可以看做是一串正弦波的叠加

第二种分数卷积可解释为一个非平稳信号

经过线性时不变系统

我们知道线性时不变系统的输出

由卷积表示

进一步 由卷积定理可知

线性时不变系统输出的频谱

是信号与系统传递函数的乘积

由此不难理解h尖(t)和H^α(u)是

傅里叶变换的关系

在第一种分数卷积中

信号中蕴含有exp(-jcotα/2t²)分量

是通过乘以exp(jcotα/2t²)消除的

但是一阶时变系统中的

exp(-jcotα/2t²)分量是通过

分数傅里叶变换消除的

带来表达形式上的不对等

和对h(t)较多的运算

这里就产生一个问题

既然在处理一阶时变系统时

可以通过乘以exp(jcotα/2t²)

转化为线性时不变的

那为什么不直接像对信号的运算一样

直接乘exp(jcotα/2t²)呢

如果我们这样直接对h(t)

乘exp(jcotα/2t²)

进而与x(t)乘exp(jcotα/2t²)

的结果做卷积

那么输出会变成什么呢

这个输出与我们想要的输出y(t)

有怎样的关系呢

大家可以参考如下文献

尝试寻找答案

至此 我们已经讲解了分数域乘性运算的

时域表征

也就是分数域乘性滤波的时域表征

那么 这里我们要提出一个问题

如果我们在时域对信号进行截断 采样

等乘积运算

对信号的分数谱有怎样的影响呢

带着这个问题

我们开始下一个知识点的讲解

时域乘积

这个问题可以归结为时域中

两个信号的乘积在分数域的表征

根据分数卷积的推导思路

我们可以对y(t)等于x(t)乘上h(t)

进行参数为α的分数傅里叶变换

经过整理可得如下表达式

其中Y^α(u)是y(t)的分数傅里叶变换

表示为两部分信号卷积的调制

这两个做卷积的信号分别为x(t)

分数傅里叶变换的调制

和h(t)傅里叶变换的伸缩

到这里 大家可以发现

Y^α(u)的表达式与我们介绍的

第二种分数卷积很相似

因此 我们把第二种分数卷积

和这里介绍的时域乘积在分数域的表征

放在一起进行考察

可以发现两者是对偶关系

这也就是时域的乘积对应分数域的

分数卷积

分数域乘积对应时域的分数卷积

本节课到此结束

谢谢大家