9.1 分数傅里叶光学在线视频

同学们好

今天给大家介绍的是

分数傅里叶光学相关内容

主要分为三个部分

首先给大家简要介绍

傅里叶光学

让大家有一个

比较直观的理解

并掌握其中一些基本概念

然后进一步延伸到

分数傅里叶光学

介绍其一些基本的理论

以及在光学成像与系统中

潜在的应用

谈到光学

想问下大家

什么是光学信号

同学们可能对通信信号比较熟悉

像我们平时打电话时

发送的语音信号

是随时间变化的物理量

光学信号

稍微有点不同

它是随空间位置不同

而变化的强度量

其实在我们的生活中

十分常见

比如去医院

检查做核磁共振

拿到的医学图像

大家在高中用显微镜

观测细胞分裂的过程

甚至最近比较引人注目的黑洞成像

都与光学信号有关

同样地

信号在空间维度变化

可以类比成时间维度

我们很自然会去想

是否可以对

光学信号

做傅里叶变换

从另一个视角

来观测和分析

当然可以

这里叫做空间傅里叶变换

它将信号从空域

变换到频域

如图所示

左边是一张

北理工校园的图像

右边是

其空间傅里叶变换后的样子

有了光学信号的概念

那我们来谈一谈

什么是光学系统

光学系统

是指由透镜

反射镜

棱镜和光阑等多种光学元件

按一定的次序

组合成的系统目标信号

经过光学系统作用后

发生了改变

比如左图

4f透镜成像系统

就是一种常见的光学系统

物平面的信号

经过双透镜后

在像平面上

形成倒立等大的像

那我们该如何去分析

一个光学系统的功能

这里我们引入

点扩散函数的概念

它是输入点光源后

系统产生的辐照度

我们可以用点扩散函数

来描述和分析光学系统的响应

从而研究或者设计

一个光学系统

举个例子

大家拍照

经常会遇到

聚焦模糊的情况

理想的情况是这样的

但是由于聚焦到后面的沙发

导致前景中的

小狗的样子

变得模糊

这种模糊照片的形成

也可以用点扩散函数

来分析和研究

除了刚才提到的

光学透镜系统

傅里叶变换

在光学衍射中

也发挥着重要的作用

大家物理课

可能做过单缝衍射实验

当一束平行光

照射狭窄的缝时

可以发现远处光屏上

出现了明暗相间的

有规律的条纹

这其实就是夫琅禾费衍射图案

它解释了光的另一特性 波动性

即光波会绕过障碍物继续传播

但目标光波

经过自由空间

衍射传播

究竟发生了什么样的变换呢

对光源做一些合理的假设

根据惠更斯原理

光在自由空间

衍射传播过程中

可以用菲涅尔积分表示

而当传播距离无限远时

远场光的幅度谱

与目标场的幅度谱

可以用傅里叶变换来表示

由此傅里叶变换良好的性质

比如离散与采样 快速算法等

在实际应用中

发挥了很大的作用

这里是一个简单的仿真例子

仿真的是方形孔径

类比一维的矩形窗信号的

夫琅禾费衍射传播

最左边的图是目标 光场

只有中间的方形孔径透过光

中间是传播2000m后

满足远场条件下的衍射图案

我们取出

横轴切线来看

其实就是一个sinc函数

而这个恰恰就是矩形窗函数

对应的傅里叶变换

这也验证了夫琅禾费衍射传播模型

与傅里叶变换的关系

在建立了关于傅里叶光学基本概念之后

我们来介绍一下

分数傅里叶光学的基本知识

接着傅里叶变换与夫琅禾费衍射的关系出发

分数傅里叶变换

与描述光衍射的菲涅尔积分

有着明确的对应关系

其实夫琅禾费衍射

只是菲涅尔衍射的一个特例

即远场情况

同样地

傅里叶变换

也是分数傅里叶变换

在阶次为1时的特例

这两者之间

有着微妙的相似与联系

左边图描述的是空间

传播位置上的

两个平面波

服从菲涅尔积分衍射模型

而这个模型

可以转化为

分数傅里叶变换的形式

其直观的理解就是

目标信号相位调整后

转为球面波

经过伸缩变换

与其传播一段距离后

光的场分布

存在分数傅里叶变换关系

自此菲涅尔衍射过程

可以由

分数傅里叶变换

来统一描述

随着传播距离的增加

可以被视为

连续增长阶次的

分数傅里叶变换

为我们描述和分析

衍射传播

提供了新视角

这里展示了

方形孔径

菲涅尔衍射传播200m

即近场衍射图案

同样地

我们观测

其x轴切线

与我们熟悉的

矩形窗信号的

分数傅里叶变换

十分类似

建立了上述的理论基础

现有两种基本的方式

可以在光学上

实现分数傅里叶变换

第一种

是光学透镜实现

根据惠更斯-菲涅尔衍射原理

凸透镜具有

二维傅里叶变换的功能

如左图

后焦平面是前焦平面的傅里叶变换

而Lohmann教授

根据Wigner分布函数的

相空间旋转

给出了分数傅里叶变换的

光学透镜系统实现

如图I型和II型

可以根据

想要实现的

特定阶次的

分数傅里叶变换

确定标准焦距f1

以及传播距离

光学分数傅里叶变换

也可以利用连续介质

GRIN透镜实现

该连续透镜装置

可以看做

由无限小的层组成

且光波

在这些层里

聚焦和传播

同时发生

为连续的光学装置

这样的优势在于

可以实现

较小阶次的

分数傅里叶变换

避免之前透镜系统

存在的

物理局限

随着介质长度的增加

输入信号

分数傅里叶变换

阶次逐渐增大

这些阶次位置的改变

也可以由断层扫描技术来实现

同样地

分数傅里叶变换的

一些理论研究和性质

为分析和理解

光学系统

带来了

新的思路

比如分数傅里叶变换的

旋转相加性

在光学系统中

起着非常重要的作用

该图展示了

一张图像

先做0.3阶次的

分数傅里叶变换后

再接着

做一个0.7阶次的

分数傅里叶变换

等价于

直接做一个0.3+0.7

即1阶次的分数傅里叶变换

右图是对Lena图像

做阶次

从0到1

连续分数傅里叶变换的结果

这在光学系统实现中

为系统级联

或者逐个分析

提供了理论指导

最后我们介绍一下

分数傅里叶变换

在光学成像与系统的

一些潜在的应用

第一个是近场衍射成像

过去探测微观世界

比如病毒

或者蛋白质结构

像DNA的双螺旋结构

一种主流的方法

是利用x射线

照射目标

收集其远场

衍射图案

然后重构出目标光场

从而反演

物体结构信息

但是远场条件

往往比较苛刻

而且获取的信息有限

从近场出发

可以充分利用

不同距离下

观测信息的冗余

从而缓解

反演问题的病态程度

并且有了分数傅里叶变换

作为模型基础

还有其本身的一些良好的性质

如旋转相加性

快速算法等

为分析和解决

近场衍射成像中的一系列问题

带来了便利

光学成像中一个很重要的问题

是相位丢失

由于现有的采集设备

如CCD或者CMOS

只记录下来光的强度

即光的幅度谱

丢失了

相位信息

导致无法对

光场直接进行

再传播和反演

而利用

可移动透镜

在不同位置上

进行观测

根据分数傅里叶变换

建立的前向模型

结合优化算法

来重构出原光场全部信息

在很多实际应用中

都有着重要的意义

大家对

全息图应该不陌生

能够给人一种

3D的既视感

而计算全息成像

可以记录

真实存在

或虚拟物体的

物光波的全部信息

而且再现像

具有物理景深效果

能够裸眼观看

但是计算全息

最重要的一个问题

就是如何去

建模光传播过程

还有如何去

重建和记录

全息图

而探索

基于分数傅里叶变换的

近场计算

全息成像

从近场模型

到重建算法

都可能

为这个领域

提供一种

新的解决思路

还可以利用分数傅里叶变换

来分析

透镜成像系统

透镜的作用其实是一个

位相调整

我们可以利用

透镜来进行平面波

和球面波的转换

从而可以用

分数傅里叶变换

来分析透镜

成像系统

研究非聚焦

透镜成像等等

探究新型的

近场透镜成像系统

比如近场超分辨显微镜

这就是本节课我们所学习的

分数傅里叶光学相关内容

谢谢大家