5.1 多分量chirp信号检测与参数估计方法在线视频

同学们好

前面我们已经对

分数傅里叶变换的定义

以及它的可加性性质进行了分析

那么这节课开始

我们学习离散分数傅里叶变换

具体的内容分为两部分

第一部分是离散分数傅里叶变换的研究目的

第二部分具体的分析相关的

离散分数傅里叶变换

对于分数傅里叶变换

目前我们已经有了基本的理解

那么为什么要研究它的离散化算法

也就是说为什么要研究

离散分数傅里叶变换

对于傅里叶变换

傅里叶分析理论体系

在分析与处理

平稳时不变信号的时候

它具有很大的优越性

其中FFT的提出

极大的推动了

傅里叶分析在信号处理的应用

随着信息时代的发展

信号会呈现出时变非平稳的特征

此时分数傅里叶变换

为非平稳信号的处理供了一个新的途径

那么要处理这些信号

离散分数傅里叶变换

当然是非常重要的

因此它的研究引起了广泛的关注

基于上面的分析

可以看出离散分数傅里叶变换的

研究是非常重要的

第二部分我们就具体来看一下

这些离散分数傅里叶变换

是如何实现的

对于傅里叶变换

它的核为exp(-jωt)

而我们观察一下

对于分数傅里叶变换

它的核较为复杂

包括t^2项 u^2项和tu项

此外 tu项的系数为-j/sina

这就导致了分数傅里叶变换的

离散化算法

无法直接借助傅里叶变换的

蝶形算法进行快速的计算

因此需要提出其他的思路

来实现离散分数傅里叶变换

目前的离散分数傅里叶变换有很多

主要的可以分为两类

第一类是采样型离散分数傅里叶变换

它是借助FFT来实现离散化

效率比较高

但是会牺牲可加性性质

第二类离散分数傅里叶变换

为特征分解型离散分数傅里叶变换

它是在核函数的

特征函数分解的基础上实现的

大家听过

前边视频课程的话应该清楚

分数傅里叶变换最开始的定义

是基于特征函数而定义的

它的特点是它可以满足可加性

但是计算复杂度较高

那么我们来分析一下

首先看一下

第一类采样型离散分数傅里叶变换

目前比较主流的有两个算法

第一个我们把它称为

改进的采样型离散分数傅里叶变换

第二个是closed-form

采样型离散分数傅里叶变换

对于改进的采样型离散分数傅里叶变换

在1996年的时候

Ozaktas的团队就提出了

采样型离散分数傅里叶变换

我们把它简记为

IP-DFRFT (improved-DFRFT)

其中这类算法

它是基于定义(2)提出的

定义(2)与我们之前推导的

定义(1)是等价的

它们通过尺度变化

u=u* （2π） t=t*（2π）

就可以进行转换

在时域和变换域进行离散化

其中 Δu=Δt=1/2Δx

此时得到公式(3)

它的计算复杂度和N^2成正比

还是比较高的

之后利用mn=1/2[m^2+n^2-(m-n)^2]

代入(3)式可以得到公式(4)

分析(4)式

相当于先对它进行一个chirp乘法

之后进行一个卷积运算

然后再对它进行一个chirp乘法

这样的话

在(4)的离散化算法计算中

包含两个chirp乘法和一个卷积运算

因此计算复杂度为O(NlogN)

IP-DFRFT算法的计算效率较高

然而它不满足酉性和可加性

这是它的缺点

第二类采样型离散分数傅里叶变换

是closed form离散分数傅里叶变换

它是2000年提出来的

这类算法它具体怎么执行

同样先用Δt Δu

分别对分数傅里叶变换的

时域与变换域进行离散化得到(5)式

之后 这个算法

有一个非常好的一个方面

我们可以借鉴学习的一个思想

它假定此时的离散化算法满足可逆性

即假定(6)式成立

进而推导出需满足条件

ΔuΔt=2π|sina|/(2N+1)

这个假设就保证了

离散分数傅里叶变换满足酉性

基于刚刚推导的条件

ΔuΔt=2π|sina|/(2N+1)

我们把它带入到(5)式

可以得到close-form

离散分数傅里叶变换的

公式表示(7)和(8)

在计算过程中

可以分为三部分

首先第一部分

可以把它看成一个chirp乘法

第二部分为傅里叶变换

第三部分也是一个chirp乘法

因此 close-form离散分数傅里叶变换的

计算效率较高

计算复杂度为O(NlogN) 一个量级

因为它是借助于FFT来实现的

同时 它相比较于

刚刚提到的IP-DFRFT

它满足酉性

这个酉性是通过假设

逆向推导出来相应的条件

进而实现的

但是 它不满足可加性

对于采样型离散分数傅里叶变换

它们都是基于积分核形式定义的

只不过它们用了不同的技巧

不同的限制条件

进而产生了两种不同的采样型算法

接下来我们来具体看一下

特征分解型的离散分数傅里叶变换

对于特征分解型的离散分数傅里叶变换

它是基于核函数的

谱分解的表达式(9)构建的

其中的φn

就是之前在分数傅里叶变换

定义推导中

提到的Hermite特征函数

对于特征分解型离散分数傅里叶变换

顾名思义

它其实是想要对Hermite特征函数

φn进行离散化

进而诞生了

特征分解型的离散分数傅里叶变换

它的目标有两个

首先对它进行离散

第二部分保证它正交

因为如果保证正交的话

相应的离散分数傅里叶变换

必然满足可加性的性质

对于正交化的要求

其实用施密特正交化方法

就可以实现

假如特征向量已经给定

那么下一步正交化的过程

通过施密特正交化方法执行即可

因此 最关键的部分

就是怎么得到

离散的Hermite特征向量

对于特征分解型的离散分数傅里叶变换

它的研究思路主要的有两个

第一个是基于F可交换矩阵的

离散分数傅里叶变换

第二个是基于采样Hermite高斯函数的

离散分数傅里叶变换

首先 我们来看一下第一个情形

这类特征分解型的

离散分数傅里叶变换

它主要借助一个非常重要的结论

就是说如果两个矩阵为可交换矩阵

那么它们具有公共的特征向量集

因此 我们就要寻找与 DFT矩阵F

可以交换的矩阵S

来计算相应的 Hermite特征向量

也就是说

要找一个S它满足SF=FS

因为对于一般的矩阵乘法

它是不满足交换律的

而对于要找的S与F相乘满足交换律

同时S对应的特征向量

应为离散的Hermite特征向量

此外 因为不同的 F可交换矩阵

产生的是不同的

Hermite特征向量

进而会诞生很多的

基于F可交换矩阵的特征分解型的

离散分数傅里叶变换

所以说这一部分内容的关键

是要找一个S

它可以产生Hermite特征向量

第二个主要的思想

是基于采样Hermite高斯函数的

离散分数傅里叶变换

我们来具体看一下

对于基于采样Hermite高斯函数的

离散分数傅里叶变换

主要的思想是

对连续的Hermite特征函数进行采样

可证明采样后的序列

为近似的特征向量

下一步就要把它们转化为严格的特征向量

转化方法借助公式(10)

利用DFT矩阵严格的特征向量v_k

对采样Hermite序列进行校正

然后利用这个公式

就可以对它进行转化

进而得到了严格的Hermite特征向量

我们刚刚已经讲了

不管是采样型的离散分数傅里叶变换

还是特征分解型的离散分数傅里叶变换

它们都是为了

我们在数值实验中更好的应用

在实验测试中

在采样型离散分数傅里叶变换中

选取了improved DFRFT

记为IP-DFRFT

在特征分解型的离散分数傅里叶变换中

选取了基于F可交换矩阵的DFRFT

记为FC-DFRFT

实验安排包括

首先我们看一下

采样型离散分数傅里叶变换

和特征分解型的离散分数傅里叶变换

它们是不是合理的

能不能很好地近似于连续的

分数傅里叶变换

第二个分析一下

它们的可加性满足情况

这里 a图是

连续分数傅里叶变换作用后的结果

而b图是用采样型IP-DFRFT实现的

c图是用特征分解型FC-DFRFT来实现的

从图中我们可以看出

不管是采样型离散分数傅里叶变换

还是特征分解型的

离散分数傅里叶变换

都可以较好地近似连续的

分数傅里叶变换

所以说它们的合理性是必然的

刚刚已经介绍了

对于采样型离散分数傅里叶变换

它不满足可加性

而特征分解型的离散分数傅里叶变换

是满足可加性的

在相位复原中需要用到

离散分数傅里叶变换的可加性的性质

因此我们来看一下

它们在相位复原中的性能表现

从图中可以很明显的看到特征分解型的

离散分数傅里叶变换的效果是很好的

而采样型离散分数傅里叶变换的

效果不太好

由于它不满足可加性

所以在强制使用的时候

会有一些误差的产生

表中是对应的误差结果的分析

我们可以看到对于不满足可加性的

采样型离散分数傅里叶变换而言

它随着迭代次数的增加

相应的误差是增加的

而对于满足可加性的特征分解型的

离散分数傅里叶变换而言

迭代次数越多

它的复原精度越高

误差是减少的

我们对本节课的内容做一个总结

对于采样型和特征分解型的

离散分数傅里叶变换

可以看到对于improved-DFRFT而言

它满足近似性和有界性

但是它不满足酉性和可加性

而对于 closed-form DFRFT

它满足酉性

但依然不满足可加性

对于特征分解型的

离散分数傅里叶变换

前面的性质都可以很好的满足

但它的计算复杂度比较高

这就是本节课所学习的

离散分数傅里叶变换的分析

本节课的内容就到这里

谢谢大家