当前课程知识点：分数域信号与信息处理及其应用 > 第7章 分数域时频分布 > 7.2 分数小波变换I > 7.2 分数小波变换I
同学们好
今天我们将学习分数小波变换的内容
本节课主要分为三个部分
第一部分将分析
短时分数傅里叶变换的局限性
第二部分将探讨
分数阶小波的定义和基本性质
第三部分将对分数阶小波变换的特点
以及性能进行讨论
前面课程介绍了短时分数傅里叶变换
它很好地克服了
分数傅里叶变换的不足
它的窗口大小固定
本质上是加窗分数傅里叶变换
适合分析非平稳信号
但短时分数傅里叶变换
自身也具有一定的局限性
短时分数傅里叶变换的时间分辨率
和分数阶频率分辨率
存在相互制约的问题
宽窗时间分辨率差
分数阶频率分辨率好
而窄窗时间分辨率好
分数阶频率分辨率差
通常需要折中选择
一种有效的解决办法
就是引入多尺度分析方法
为此 我们需要首先了解
经典小波变换的信号处理机理
这是经典小波变换的定义
它的核函数是母小波函数Ψ(t)
经过平移和尺度伸缩而来
其中a为尺度参数
b为平移参数
我们可以看到
大尺度对应着低频部分
小尺度对应着高频部分
经典小波变换在时域
可以表示成经典卷积的形式
在频域则体现为多尺度乘性滤波器
因此 它具有明确的物理意义
即经典小波变换
是对信号在频域的多尺度滤波处理
与经典小波变换一样
分数阶小波变换
本质是对信号在分数域上
多尺度滤波处理
在时域 它可以表示成
信号与母小波函数Ψ(t)的分数卷积
在分数域则体现为
多尺度乘性滤波器
分数阶小波变换的计算
可以分解为三个步骤
①信号与线性调频因子e(jt2cotα/2)相乘
②做经典小波变换
③再与线性因子exp(jt2cotα/2)的共轭相乘
不过这里的t需要换成b
它们都是时间变量
可以发现
分数阶小波变换的计算复杂度
主要取决于经典小波变换的
复杂度 为O(N)
N为数域的长度
分数小波变换
继承了经典小波变换的
基本性质和定理
比如线性 尺度转换
内积 能量守恒等
此外 分数阶小波变换
还具有一个自由参数——角度a
这使得它还具备经典小波
不具备的一些特有的特性
例如分数阶时移 分数卷积等
同时 随着角度的变化
分数阶小波变换
能够揭示经典小波变换
无法解释的现象
近年来受到了越来越多的关注
分数阶小波变换
是一种可逆的无损变换
通过变换系数
可以完全恢复出原始信号
这是它的逆变换公式
在逆变换公式中
要求CΨ小于无穷大
否则逆变换不存在
这一条件称为分数阶小波变换的
容许性条件
它与经典小波变换的
容许性条件是一致的
也就是说
任意一个经典小波变换的母小波
都对应着一个分数阶小波变换
所以 在分数阶小波变换中
我们可以直接利用
经典小波变换中的
所有母小波函数
当然我们也可以根据具体要求
去设计新的母小波函数
下面 我们来了解一下
分数阶小波变换的
重建核与重建方程
重建方程表明
在时间-尺度平面上的
任意一点(a0 b0)
分数阶小波变换值
都可以由所有其他点
(a b)的分数阶小波变换值表示
也就是说
分数阶小波变换是冗余的
需要对其尺度参数a
和平移参数b进行离散化处理
对应的结果就是离散分数阶小波变换
下面 我们来分析
分数阶小波变换的特点及性能
我们首先来看它的恒Q特性
前面我们讲过
分数阶小波变换
相当于分数域的多尺度滤波器
滤波器的传输函数为Ψ(aucsα)
品质因数Q就是滤波器的带宽
与中心频率之比
可以看出它是一个定值
等于母小波函数Ψ(t)的带宽
与中心频率之比
接下来
我们来考察分数阶小波变换的性能
我们首先需要求解
分数阶小波变换
核函数Ψ αa b(t)的
时间中心和时宽
经过计算
它的时间中心为b+aEΨ
这里EΨ是母小波函数Ψ(t)的时间中心
而它的时宽为aΔΨ
其中ΔΨ是母小波函数Ψ的方差
于是 从时域来看
分数阶小波变换
反映的是中心在b+aEΨ处
宽度为aΔΨ的时间窗内
信号的时域局部化信息
而从分数域来看
它又反映了信号在中心为
Esin除a带宽为sin除a的
分数阶频率窗内信号的
分数域局部化信息
这表明分数阶小波变换
具有时间和分数阶频率的定位功能
从时间和分数阶频率的联合域来看
分数阶小波变换
在时间-分数阶频率平面上
确定了一个可变的矩形分析窗
窗的形状取决于尺度参数a,
而窗的面积则与尺度参数无关
这两幅图给出了分数阶小波变换
和经典小波变换所确定的矩形分析窗
分数阶小波变换
是在时间-分数阶频率平面（即t-u平面）上
对信号进行多尺度分析
而经典小波变换
则是在时间-频率平面（即t-ω）上
对信号进行多尺度分析
分析性能取决于尺度参数a
具体地说
分析窗对于小的a值变窄
对于大的a值变宽
现在 我们对本次课的内容做一个总结
本节课我们首先讨论了
短时分数傅里叶变换的局限性
为了克服它的局限性
我们引入了分数阶小波变换的概念
学习了它的定义和基本性质
此外 我们还阐明了
分数阶小波变换的物理意义
最后 分析了分数阶小波变换的
联合时间和分数阶频率分布的
特点和性能
本节课到此结束
谢谢大家
-1.1 分数傅里叶变换背景与理论
-1.2 分数傅里叶变换应用
-第1章 讨论题
--第1章 讨论题1
--第1章 讨论题2
-第1章 习题
--第1章 习题
-2.1 分数傅里变换的定义
-2.2 分数傅里叶变换的性质
-2.3 一维/二维分数傅里叶变换
-第2章 讨论题
--第2章 讨论题1
--第2章 讨论题2
-第2章 习题
--第2章 习题
-3.1 分数卷积I
-3.2 分数卷积II
-3.3 功率谱
--3.3 功率谱
-3.4 分数功率谱
-第3章 讨论题
--第3章 讨论题1
--第3章 讨论题2
-第3章 习题
--第3章 习题
-4.1 傅里叶域均匀采样定理
-4.2 分数域均匀采样定理I-采样信号的分数域谱分析
-4.3 分数域均匀采样定理II-信号重建
-4.4 傅里叶域带通采样定理
-4.5 分数域带通采样定理
-4.6 周期非均匀采样定理
-第4章 讨论题
--第4章 讨论题1
--第4章 讨论题2
--第4章 讨论题3
-第4章 习题
--第4章 习题
-5.1 多分量chirp信号检测与参数估计方法
-5.2 多分量chirp信号检测与参数估计背景及仿真
-5.3 基于分数傅里叶变换的时延估计
-5.4 立方相位信号参数估计理论与应用
-第5章 讨论题
--第5章 讨论题1
--第5章 讨论题2
-第5章 习题
--第5章 习题
-6.1 分数傅里叶变换离散算法
-6.2 离散分数变换
-6.3 广义Hilbert变换
-6.4 稀疏傅里叶变换的定义
-6.5 稀疏分数傅里叶变换
-第6章 讨论题
--第6章 讨论题1
--第6章 讨论题2
--第6章 讨论题3
-第6章 习题
--第6章 习题
-7.1 短时分数傅里叶变换
-7.2 分数小波变换I
-7.3 分数小波变换II
-7.4 基于分数阶相位匹配原理时频分布构造
-第7章 讨论题
--第7章 讨论题1
--第7章 讨论题2
--第7章 讨论题3
-第7章 习题
--第7章 习题
-8.1 分数傅里叶变换与模糊函数
-8.2 分数傅里叶变换与MIMO雷达模糊函数
-8.3 分数傅里叶变换与雷达通信一体化
-8.4 分数域海杂波抑制
-8.5 分数域雷达动目标检测
-8.6 分数域长时间相参积累及其应用
-8.7 分数域辐射源定位技术
-8.8 分数阶相位匹配时频分布的应用
-第8章 讨论题
--第8章 讨论题1
--第8章 讨论题2
--第8章 讨论题3
--第8章 讨论题4
-第8章 习题
--第8章 习题
-9.1 分数傅里叶光学
-9.2 分数域光学相干层析成像色散补偿技术
-9.3 基于分数傅里叶变换的牛顿环参数估计
-9.4 基于分数傅里叶变换的光纤端面检测仪
-第9章 讨论题
--第9章 讨论题1
--第9章 讨论题2
--第9章 讨论题3
--第9章 讨论题4
-第9章 习题
--第9章 习题
-10.1 分数域高光谱信号处理
-10.2 分数域高光谱异常检测
-10.3 分数域高光谱协同分类
-第10章 讨论题
-第10章 习题
--第10章 习题
