5.3 基于分数傅里叶变换的时延估计在线视频

同学们好

这一讲介绍基于分数傅里叶变换的

时延估计

本讲包含以下几个方面

分数傅里叶变换的时延特性

基于分数傅里叶变换的

时延估计-估计子

基于分数傅里叶变换的

时延估计-性能分析

基于分数傅里叶变换的

时延估计-仿真

首先介绍一下分数傅里叶变换的时延特性

假设chirp信号s(t)经过时间延时τ后

得到时延信号s(t-τ)

对时延信号进行分数傅里叶变换

结果如表达式所示

分数傅里叶变换时延特性表明

时延τ不但出现在变换结果的相位信息中

还与分数傅里叶谱的位置信息有关

根据这一特点

就可以利用时延信号

分数傅里叶变换的谱峰估计时延τ

对初始信号s(t)和时延信号

分别进行分数傅里叶变换

波形如图所示

上图是信号s(t)的分数傅里叶谱

下图是时延信号的分数傅里叶谱

从图中可以看出

两个信号的谱峰位置不同

这是由于时延信号中

存在时延τ引起的

时延信号分数傅里叶谱峰的位置

就包含了时延信息

接下来介绍基于分数傅里叶变换的

时延估计方法

假设参考信号

为一个理想的chirp信号s(t)

式中T为信号持续时间

a0表示信号幅值

K为chirp信号的调频率

f0为chirp信号的中心频率

rect(t/T)为矩形窗函数

不失一般性

令f0=0

接收信号r(t)为参考信号s(t)

经过时延τ后

得到的信号s(t-τ)与噪声w(t)之和

如表达式所示

式中w(t)为零均值的

加性平稳复高斯噪声

并且与信号独立

对接收信号r(t)以旋转角度a

进行分数傅里叶变换

结果如表达式所示

对应的分数傅里叶谱如图所示

从图中可以看出

接收信号的谱峰位置发生了改变

谱峰位置与时延有关

由分数傅里叶变换的定义可知

分数傅里叶变换在某个分数傅里叶域中

对给定的chirp信号

具有最好的能量聚集性

对于有限长chirp信号

在某一特定的分数傅里叶域上

呈现出聚集特性

其幅度出现明显的峰值

另外 根据统计特性可知

高斯白噪声的分数傅里叶谱

也是复的高斯随机变量

其能量均匀地分布在整个时频平面

在任何分数傅里叶域上

都不会出现能量聚集效果

这一点有助于从含有噪声的接收信号中

估计时延信息

接下来先分析

在没有噪声干扰的情况下

即噪声为0时

时延信号的分数傅里叶变换的特点

对接收信号的分数傅里叶谱取模

得到如下公式

从参考信号s(t)与时延信号s(t-τ)的

分数傅里叶谱的波形可以看出

如果τ=0

那么分数傅里叶谱的峰值

将出现在坐标轴0点处

而当τ≠0

谱峰的位置将移到

与时延信息相关联的位置

即u=τcosa

因此 只要获得谱峰的位置信息

就可以估计出

带有尺度因子cosa的时延信息

进而获得时延参数τ的估计

根据这个思路

给出基于分数傅里叶变换的

时延估计子定义

如表达式所示

如果接收信号中只有时延信号

而没有噪声

那么估计子将给出真实的时延估计

但实际接收信号中都有噪声存在

这时接收信号的分数傅里叶谱峰的位置

将发生漂移

离开了真实位置

使得u≠τcosa

由于噪声是随机的

这种随机性必将影响到

峰值位置的漂移也具有随机性

这时 时延估计就会偏离真实的时延τ

存在随机误差δτ

为了考察时延估计子的性能

下面从分数傅里叶域

输出信噪比和时延估计精度

两个方面对估计子进行评价

首先

从变换域的角度定义输出信噪比

如表达式所示

式中分子表示

时延信号s(t−τ)的

分数傅里叶功率谱的峰值

即功率谱在τ′处的取值

分母则表示

含噪声的接收信号分数傅里叶谱

在τ′处的方差

先求解分子的值

对时延信号的分数傅里叶域的功率谱

在τ′处取值

即峰值

可以得到结果如表达式所示

接下来求解输出信噪比公式中分母的值

接收信号分数傅里叶谱

在τ′处的方差如表达式所示

对于零均值高斯噪声w(t)

其分数傅里叶谱的均值仍为零

考虑到噪声和信号统计独立

可以计算出表达式第一项的结果

结合接收信号分数傅里叶谱的期望

得到表达式第二项的结果

进而计算出方差如表达式所示

其中Aa的模平方为1/(2π|sina|)

将所求解的结果带入到

输出信噪比表达式分子和分母

最终计算得到输出信噪比

表示为信号持续时间T

和输入信噪比的乘积

从表达式可以看出

接收信号经过分数傅里叶变换后

其输出信噪比

与信号持续时间T

和输入信噪比有关

因此 增加信号持续时间

或输入信噪比

都可以改善输出信噪比

提高估计性能

参数估计的性能一般

由估计量的统计特性来评估

这里采用一阶扰动分析的方法

进行分析

在没有噪声的情况下

时延估计与真实时延τ一致

但是接收信号中混有随机噪声

使得估计结果偏离真实时延τ

而产生了扰动δτ

即接收信号分数傅里叶变换

对应的峰值位置发生偏离

由于噪声的随机性

扰动δτ也具有随机性

对含有噪声接收信号

进行分数傅里叶变换

并取模平方

得到表达式如下

假设在大信噪比情况下进行检测

于是表达式最后一项为0

此时 表达式可以表示为

无噪声的时延信号

分数傅里叶谱的模平方

与含有噪声干扰的噪声函数项之和

另外 由于接收信号分数傅里叶谱

在峰值处的一阶导数为零

其模平方的峰值处一阶导数也为零

因此二者对因子u取一阶导数是一样的

对这一表达式求一阶导数

并进行泰勒级数展开

由于时延信号的分数傅里叶谱

在u=τ′处取得极大值

其一阶导数为零

于是可以得到估计误差δτ

如表达式所示

接下来考察估计误差的两个统计特性

期望和方差

对时延估计误差求期望

得到误差期望值为0

即时延估计的均值等于真值τ

这一结果表明该估计是无偏估计

下面的表达式

给出了估计误差的方差

式中E表示信号s(t)的能量

误差方差公式表示了

时延估计的方差与信号能量

带宽以及噪声方差之间的关系

这一形式具有与时延估计的

CRLB相同的形式

理论估计精度可以达到CRLB

这与匹配滤波时延估计是一致的

因此 这一方法是有效的估计

下面对估计误差性能进行仿真验证

假设噪声为零均值的复高斯噪声

输入信噪比的变化范围-20dB到0dB

间隔4dB

仿真分别运行了

1000次独立的MonteCarlo模拟

图示为仿真结果

其中 实线表示CRLB

虚线加圆圈表示DC估计误差

实线加星号为本讲介绍的

分数傅里叶变换时延估计的误差

从图中可以看到

在输入信噪比较低的地方

由于噪声影响严重

这两种方法的估计性能都急剧下降

但是 随着信噪比增加

估计误差都逐渐靠近CRLB

因此 这一方法适合应用于

chirp信号的时延估计

本方法在调频率参数已知的情况下

只需要对接收信号

进行一次分数傅里叶变换即可

而不需要在整个分数傅里叶域

进行峰值搜索

寻找合适的旋转角度

同时 分数傅里叶变换具有与

FFT相当的计算量

也就是说本方法所需计算量

相当于一次FFT的操作

而匹配滤波技术估计时延

需要对参考信号和接收信号

进行两次FFT和一次IFFT操作

因此本讲介绍的时延估计方法

计算量大为降低

这在工程实现中尤为重要

需要指出的是

由于信号选择不同

量化过程不同等因素影响

仿真结果可能会出现差异

以上就是本讲的所有内容

谢谢大家