8.1 分数傅里叶变换与模糊函数在线视频

同学们好

今天这节课我们讲的是

分数傅里叶变换与模糊函数

首先介绍为什么要使用模糊函数

当设计一个波形的时候

需要知道这个波形的性能

一个波形的性能主要从两方面评价

一方面是

对目标的分辨能力

一方面是对干扰的抑制能力

模糊函数是评价这两种能力的

有效工具

我们看这两个图

分别是

线性调频信号

和编码信号的模糊函数

中间这一部分幅度较高的是主瓣

代表波形对目标的分辨能力

四周的较低的部分是副瓣

代表对干扰的抑制能力

一个波形它的主瓣越窄

代表对目标的分辨能力越强

副瓣越低

代表对干扰的抑制能力越强

所以评价一个波形的性能

必须使用到模糊函数

模糊函数的定义

并不是唯一的

这是由于根据波形形式的不同

以及目标模型的不同

使模糊函数的定义

会有所不同

首先我们介绍最简单

也是最先提出的

woodward’s模糊函数

发射的信号

假设为窄带载波调制信号

a(t)为信号幅值

fc为载波频率

那么接收信号

等于对发射信号做一个时间延迟τ

并乘上一个与多普勒频率fd

有关的相位

τ与目标和雷达之间的

距离R有关

fd与目标运动速度有关

那么Woodward’s模糊函数

等于对发射和接收信号做相关

也就是对发射信号

发射信号的延迟

共轭相乘

再做一个傅里叶变换

woodward’s模糊函数

有很多非常好的性质

比如它的幅值是一个偶对称的函数

它的体积为常数

也就是说

不管波形的形式是怎样的

对模糊函数的能量进行时间延迟

和多普勒频率这两个维度的积分后

得到的值

都是2倍能量总和E的平方

另外它的最大值

始终在（0，0）这一点

利用这三个性质

就可以对波形进行设计

已知波形的能量总和E

希望波形的能量在（0，0）点

周围聚集的越多越好

并且越窄越好

所以模糊函数不仅是评价波形的有效工具

也可以用来进行波形设计

由于宽带信号的距离分辨率

比窄带信号高

逐渐被广泛研究

但woodward’s模糊函数

对宽带信号是不适用的

一是因为

宽带信号形式不仅局限于

调制载波信号

另外宽带信号不满足

woodward’s适用的窄带条件

这一条件稍后会进行推导

所以需要对宽带模糊函数进行定义

假设任意一个发射信号u(t)

由于在信号的发射过程中

目标是运动的

所以当发射信号发射到目标上时

目标与发射机的距离

由两部分组成

一部分是目标的初始距离

一部分是在发射过程中

运动的距离

所以接收信号中的时间延迟

与R，v，t有关

对发射与接收信号做相关

得到宽带模糊函数

将这个式子进一步整理

可以化简成

这个形式

其中β为多普勒因子

与目标速度有关

当发射信号限制为调制信号时

宽带模糊函数

可以进一步写为这个式子

可以看到

在接收信号中

相当于对时间进行了一个尺度变换

在信号持续时间T内

接收信号与发射信号的差

为（1- β ）T

当这一变化值远远小于

信号的时间分辨率

也就是带宽B的倒数时

引起的幅值上的尺度变化

可以省略

但是在相位调制项上

由于载波频率通常很高

它的倒数与c相当

所以相位的变化不可省略

这样宽带模糊函数就退化为

窄带woodward’s模糊函数

这一条件称为窄带条件

所以woodward’s模糊函数

仅对满足窄带条件的信号适用

下面介绍

分数傅里叶变换和模糊函数的关系

分数傅里叶变换

作为傅里叶变换的一种广义形式

提供了时域和频域之间的表示

而模糊函数

也是一种时频表达

所以探索它们之间的关系

是非常有意义的

首先推导

分数窄带模糊函数

利用分数傅里叶变换的时移性质

用分数傅里叶变换

表示u*(t-τ)

可以得到这个式子

然后我们利用

分数傅里叶变换的频移性质

表示中括号里面的内容

从而得到这样一个式子

将这个式子

进一步整理和简化

可以得到

分数窄带模糊函数的

一个非常简洁的形式

这个式子

与woodward’s模糊函数非常相似

它是两个由分数傅里叶变换

表示的信号相乘

再对它们做傅里叶变换

x，y是对时频平面进行

进行旋转得到的变量

所以信号的分数窄带模糊函数

本质上

是原信号的模糊函数的旋转形式

下面推导

分数宽带模糊函数

首先将分数傅里叶变换

应用到

宽带模糊函数的发射

和接收信号中

宽带模糊函数表示为这个式子

利用分数傅里叶变换的可加性

引入一个中间阶次φ

使α=α-φ+φ

从而核函数K_α(t，u)

可以表示成

阶次为α-φ

和φ的两个核函数的积分

把这个等式代入到

与多普勒因子有关的核函数中

通过一系列推导

分数宽带模糊函数

可以导出如这个式子

这个式子比较复杂

从中很难找出什么规律

为了将推导出的分数宽带模糊函数

整理成一种简单的表达形式

定义两个算子

一个是F^α{⋅}

表示对信号做一个chirp调制

另一个是G^b

表示对信号做Weirstrass变换

将这两个算子代入到

分数宽带模糊函数中

左面这部分

由算子F^α{⋅}表示

右面这部分

由 G^b {⋅}和F^α {⋅}表示

这样分数宽带模糊函数

可以整理成这样一个简洁的表达

从这个式子中可以看出

分数宽带模糊函数的本质

其实是

两个由分数傅里叶变换表示的

新信号的相关

下面推导

分数宽带模糊函数

与分数窄带模糊函数

和Woodward’s模糊函数的关系

如果将传输波形

限制为窄带调制载波

由于v远小于c

所以β约等于1-2v/c

分数宽带模糊函数

可以近似为

分数窄带模糊函数

当α=0

上式退化为Woodward‘s 模糊函数

下面推导

分数宽带模糊函数

与宽带模糊函数的关系

考虑目标一般做慢速运动

即v远小于c

进一步可以得到

b约等于0

根据已知的

当b趋于0时

一个函数乘一个高斯函数的极限

为δ函数

而分数宽带模糊函数里面的这部分

Weirstrass积分

约等于δ积分

进而分数宽带模糊函数

可以整理近似为这样一个式子

这个式子更方便进行计算

当α=0时

上式中的分数宽带模糊函数

退化为宽带雷达模糊函数

下面总结一下

本节课我们主要讲了

分数傅里叶变换与模糊函数

首先介绍了

最常用的也是最先提出的

woodward’s模糊函数

然后介绍了

宽带模糊函数

由于分数傅里叶变换与模糊函数

都是时频表示方法

所以推导它们之间的关系

得到分数窄带模糊函数

最后推导了

分数宽带模糊函数

并发现

分数宽带模糊函数

是其他三种模糊函数的广义形式

今天的课就讲到这里

谢谢大家