4.5 分数域带通采样定理在线视频

同学们好

今天我们要讲的内容是

分数域的带通采样定理

首先我们来看

这样一个分数域带通信号

它包含对称的正谱和负谱

正谱的最高频率是Ω_h

最低频率是Ω_l

带宽为B

通常来讲

信号的带宽

相对于信号的最高频率来说

是比较小的

对于这样一个分数域带通信号

它实际上也是一个分数域带限信号

因此我们可以利用

分数域低通采样定理

对其进行处理

选取采样率为两倍的

信号分数域最高频率除以sinα

此时采样信号的分数谱不发生混叠

但这样一来就会出现一定的问题

采样信号的分数谱存在很多谱间隙

因此会造成频带的浪费

如何更加高效地对分数域带通信号

进行采样呢

为了解决这个问题

首先我们来回顾一下

采样信号的分数域谱分析的结论

当采样率为ω_s的时候

采样信号可以表征为原信号

和一个单位冲击序列的乘积

相应的

采样信号的分数傅里叶变换

就可以表征为如下形式

首先对原信号的分数傅里叶变换

进行相位调制

再进行周期延拓

最后再进行调制

接下来

我们分几种情况

来具体分析带通信号的分数谱

首先第一种情况

假设信号的分数域最低频率Ω_l

小于信号带宽B

这意味着－Ω_l到Ω_l这一区间内

无法同时容纳负谱的第1个延拓谱

和正谱的第负1个延拓谱

为了保证分数谱不发生混叠

负谱的第1个延拓谱

必须位于正谱的右侧

这就意味着正谱的最高频率Ω_h

必须要小于负谱的第1个延拓谱的最低频率

注意到负谱的最低频率是－Ω_h

因此它的第1个延拓谱的最低频率

就是－Ω_h加上1个延拓周期ω_s sinα

因此我们可得出分数谱不混叠

需要满足的条件就是

ω_s乘以 sinα减Ω_h大于等于Ω_h

即ω_s大于等于两倍的Ω_h除以sinα

下面我们再来看第二种情况

假设分数域带通信号的

最低频率Ω_l的取值范围

是大于信号带宽B 小于2B

这样一来

在分数谱延拓时

－Ω_l到Ω_l这一区间内

就可以完全容纳下负谱的

第1个延拓谱

和正谱的第－1个延拓谱

但是无法再容纳下

负谱的第2个延拓谱

和正谱的第－2个延拓谱

因此 为了保证分数谱

不发生混叠

负谱的第1个延拓谱

可以位于正谱的左侧

与此同时

负谱的第2个延拓谱

必须位于正谱的右侧

这就意味着

正谱的最低频率Ω_l必须大于负谱的

第1个延拓谱的最高频率

由于负谱的最高频率是－Ω_l

因此 第1个延拓谱的最高频率

就是－Ω_l再加上一个延拓周期ω _s sinα

与此同时

正谱的最高频率Ω_h

必须要小于负谱的

第2个延拓谱的最低频率

也就是－Ω_h再加上2倍的延拓周期

进而 可以得到分数谱不混叠时

采样率所需的取值范围

一般情况下

假设分数域带通信号的

最低频率Ω_l的取值范围是

大于n倍信号带宽

小于(n+1) 倍信号带宽

这样一来

在分数谱延拓时

－Ω_l到Ω_l这一区间内

就可以完全容纳下负谱的

第1个延拓谱至第n个延拓谱

以及正谱的第－1个延拓谱

至第－n个延拓谱

但是 无法再容纳下

负谱的第n+1个延拓谱,

以及正谱的第－n-1个延拓谱

因此 为了保证分数谱不发生混叠

负谱的第n个延拓谱

可以位于正谱的左侧

而负谱的第n+1个延拓谱

必须位于正谱的右侧

这就意味着正谱的最低频率Ω_l

必须大于负谱的第n个延拓谱的

最高频率

也就是－Ω_l加上n倍的延拓周期

与此同时

正谱的最高频率Ω_h

必须要小于负谱的

第n+1个延拓谱的最低频率

也就是－Ω_h加上n+1倍的延拓周期

进而 可以得到分数谱不混叠时

采样率所需的取值范围

我们对上述几种情况进行总结

发现当信号的最低频率Ω_l

小于信号带宽的时候

可以按分数域低通采样定理进行处理

这个时候

分数谱不混叠所需的采样率

可以取二倍的信号分数域最高频率

除以sinα

当信号的最低频率Ω_l大于n倍的信号带宽

小于n+1倍信号带宽的时候

分数谱不混叠所需的采样率的取值范围

如下所示

当采样率满足一定条件时

采样信号的分数谱不发生混叠

此时 可以利用一个分数域理想带通滤波器

让它与采样信号的分数谱进行相乘

就可以重建原信号的分数谱

这里 分数域理想带通滤波器

可以通过对分数域理想低通滤波器

进行平移得到

具体操作为

分数域理想低通滤波器

分别与位于Ω_0和－Ω_0处的

δ函数进行卷积

再相加

其中Ω_0是分数域带通信号最高频率

和最低频率相加后除以2的结果

在这里

我们用到了δ函数的平移性质

也就是说

位于某个特定位置的δ函数

和分数域理想低通滤波器

进行卷积

即可将理想低通滤波器

平移到δ函数所在的位置

我们为什么要进行这样的操作呢

这是因为我们之前已经推导出了

分数域低通采样定理

在推导过程中

用到了分数域理想低通滤波器的一些结论

因此在这里

通过将分数域理想带通滤波器

表征为理想低通滤波器

就可以充分利用一些已知的结论

从而使现有的问题得到简化

因此 重构信号的分数谱

就可以表示为采样信号的分数谱

乘上两个平移之后的

分数域理想低通滤波器

再进行求和的结果

为了得到重建信号的时域表征

需要利用分数卷积定理

我们来回顾一下分数卷积定理的内容

两个信号的分数傅里叶变换的乘积

对应到时域的表征为

首先对第一个信号进行调制

再与第二个信号进行卷积

其中第二个信号对应的是分数谱的

傅里叶反变换

并且存在尺度伸缩

最后再进行调制

我们将采样信号的时域表达式

带进公式中

并且来探究一下分数域理想带通滤波器

它的傅里叶反变换是一个怎样的形式

首先我们来看一下

位于右侧的分数域理想带通滤波器

它是一个门函数

门函数的傅里叶反变换是一个sinc函数

再利用一下傅里叶变换的平移性质

就可以得到

位于右侧的门函数的傅里叶反变换

是一个sinc函数乘上一个相位调制项

我们再来看一下

位于左侧－Ω_0的门函数

它的傅里叶反变换也是一个sinc函数

同时 再次利用一下

傅里叶变换的平移性质

可以得到它的傅里叶反变换

也是一个sinc函数乘上一个相位调制项

因此 分数域带通滤波器

对应的时域表征

就是之前得到的

两个相位调制的sinc函数的加和

我们利用一下欧拉公式

就可以得到分数域理想带通滤波器的

傅里叶反变换是一个sinc函数

再乘上一个cos函数

接下来

我们就可以将采样信号的时域表征

和分数域理想带通滤波器的

时域表征带入到表达式中

并进行一定的化简

首先利用的是δ函数的抽取性质

进一步 在卷积的计算过程中

利用的是δ函数的移位性质

最终 进行一些常数项的化简

就可以得到重建信号的时域表达式

与分数域低通采样定理

所得的信号时域内插公式相比

带通信号的重建公式多了一个cos项

这一项是理想低通滤波器

与δ函数做卷积引入的

当分数域带通信号

退化为分数域带限信号时

分数域带通信号重建公式

可以退化为分数域低通采样定理

所得的时域内插公式

当α等于二分之π时

分数域带通信号重建公式

也可以退化为经典带通信号的

时域内插公式

好 我们就讲到这里

谢谢大家