3.3 功率谱在线视频

同学们好

这一节我们介绍随机信号分析的相关内容

主要围绕功率谱展开

本节共分为三个部分

首先介绍随机信号的二阶统计量

分别是相关函数和功率谱

接下来探究平稳信号经过

线性时不变系统后

统计量的变化规律

最后对本课程进行小结

我们知道随机现象是广泛存在的

实际应用中采集到的信号多为随机信号

这里的随机性一方面

是由于信号本身的随机性引起

另一方面是由环境的随机噪声引起

相应地需要发展随机信号处理理论

一方面可以从随机信号中提取有用信息

另一方面

降低甚至消除随机噪声的干扰

下图是一个随机信号的4个观测样本

每种颜色代表一次观测

我们发现

同一个随机信号的不同观测样本值

是不同的

也就是说随机信号没有统一表达式

但是

随机信号的每个观测样本都是确定的函数

这里我们对观测样本做一个约定

方便后续的理论研究

考察一个样本截断后的能量

与观测时长的比值

如果这个比值的极限是有限的

那么这个极限值就是功率

这个信号就是功率型信号

以正弦波信号为例

它的模平方在整个时间轴上的积分

是无限的

但是模平方积分在积分区间上的均值

是有限的

即正弦信号是功率型信号

这里我们假设关注的随机信号

都是功率型信号

用一句话概括随机信号分析的本质

就是寻找不确定中的确定量

本课程关注的确定性特征

是相关函数和功率谱

关注信号是相关函数和功率谱

都存在的信号

首先介绍相关函数的定义

它是信号X(t)

与自身平移一段时间后的期望

表示同一信号在不同时刻的相似性

我们将相关函数的两个自变量分别命名为

时间和时延变量

时间参数代表了关注的时刻

时延参数代表了从关注时刻开始

滞后的时长

依据随机信号的相关函数

是否随时间变量变化

可以将随机信号分为平稳随机信号

和非平稳随机信号

注意这里的平稳是指宽平稳

因为平稳随机信号的相关函数

不随时间变量变化

所以可以省略二维相关函数中的时间变量

将其简记为一维函数R(τ)

在工程应用中常见的白噪声

是典型的平稳信号

其相关函数为δ函数

相关函数衡量了信号与自身的相关性

类似的互相关函数用于衡量

两个随机信号之间的相关性

互相关函数有两种表达形式

分别为R_XY和R_YX

其中R_XY表示X(t)与Y(t)平移时间τ后的

相关性

R_YX表示Y(t)与X(t)平移时间τ后的相关性

如果互相关函数不随时间变量变化

那么称X(t)与Y(t)联合平稳

此时互相关函数可记为R_XY(τ)和R_YX(τ)

在信号与系统课程中

我们已经发现傅里叶变换可以建立

时域和频域之间的关系

频域分析有时可以大大简化问题复杂度

尤其是系统分析时

傅里叶变换可以将卷积计算转化为

乘积运算

不仅提供了快速计算方法

而且有清晰的物理含义

当然这些性质都是傅里叶变换

在确定信号处理中的体现

我们自然会问

傅里叶变换是否可用于分析随机信号呢

答案是肯定的

其实功率谱就是反应随机信号

频谱分布规律的表征

所以接下来介绍功率谱的概念

从功率的概念出发

首先利用傅里叶变换的帕塞瓦尔定理

也就是信号的能量守恒定理

用信号的频谱表示功率

然后将被积函数的期望记为功率谱密度

简称功率谱

类似于互相关函数

互功率谱的定义如下

功率谱和相关函数

都可反映随机信号的特征

那么这两者之间有关系吗

我们知道功率谱反映的是

信号在频域的特征

相关函数反映信号在时域特征

所以第一步要把功率谱定义中的

X-T用时域信号的傅里叶变换表示

第二步将公式中的红色部分

对应的运算合并

蓝色部分对应的运算合并

为了整理成τ变量积分的形式

令τ=t1-t2

此时 可进一步整理上述等式为

容易发现

功率谱可通过相关函数

关于时间变量积分的极限

再做傅里叶变换得到

我们已经介绍过

平稳信号相关函数与时间变量无关

所以上述关于时间变量积分的极限

仍是相关函数本身

所以说平稳信号的功率谱与相关函数

是傅里叶变换的关系

这也是经典的维纳-辛钦定理

此定理提供了平稳信号功率谱计算的

另一种方法

这种方法可以避免极限运算

我们知道白噪声是平稳信号

其相关函数是δ函数

而δ函数的傅里叶变换是1

所以白噪声的功率谱是1

接下来我们介绍平稳随机信号

经过线性时不变系统后

相关函数和功率谱的变化规律

我们把线性时不变系统的输出记为Y(t)

那么其样本函数y(t)可表示为

输入信号X(t)的样本函数x(t)

与系统冲激响应h(t)的卷积

所以Y(t)可以表示为X(t)与h(t)的卷积

我们首先考察输出输入之间的互相关函数

与输入信号自相关函数的关系

将Y(t)等于X(t)卷积h(t)的表达式

带入到R_YX的表达式中

经过整理得到R_YX是R_X与h(τ)的卷积

这说明了两个问题

一是若输入信号是平稳的

那么输出输入之间是联合平稳的

并且输出输入互相关函数

可表示为输入信号的自相关函数

与系统冲激响应的卷积

二是我们不需要知道输出信号的具体表征

只需知道输入信号的相关函数

就能得到输出输入的互相关函数

类似地 通过将Y(t)等于X(t)卷积h(t)的表达式

带入R_Y的表达式中

可得输出信号的自相关函数与输入信号的

自相关函数的关系

从Y(t)的自相关表达式可知

若线性时不变系统的输入信号是平稳的

那么其输出信号也是平稳的

具体来讲

输出信号的自相关函数

可表示为输入信号的自相关函数

与系统冲激响应的两次卷积

同样 只需知道输入信号的自相关函数

就可计算输出信号的自相关函数

由维纳-辛钦定理可知

平稳信号的相关函数和功率谱

是傅里叶变换的关系

我们已知平稳信号经过线性时不变系统后

相关函数的变化规律

所以做傅里叶变换就可得到

功率谱之间的关系

具体来讲

输出输入之间的互功率谱

为输入信号功率谱与系统传递函数的乘积

该乘积关系常用于线性时不变系统辨识

具体来讲

通过输入功率谱已知的随机信号

通过计算输出输入信号的互功率谱

利用此乘积关系

可得到系统传函在各个频率点的取值

类似可知

输出信号功率谱是输入信号功率谱

与系统传递函数模平方的乘积

该关系可用于线性时不变系统设计

接下来我们总结本节课的内容

并提出思考题

本节课我们讲解了随机信号相关函数的

功率谱定义

分析了他们经过线性时不变系统后的

变化规律

所用的知识点包括

帕塞瓦尔定理

信号经过线性时变系统后的卷积表示

维纳-辛钦定理

白噪声的特性

特殊函数的傅里叶变换

卷积定理等

我们已经介绍了确定信号的

分数傅里叶变换

它从分数域反映了信号的特征

那么随机信号的分数谱特征如何表征呢

学有余力的学生可进一步思考一下

这种表征经过一阶时变系统后的变化规律

大家可以参考如下文献进行学习

本节课到此结束

感谢各位同学