3.1 平均数在线视频

好 同学们好

今天我们来看描述统计里面的集中趋势

那么描述统计 前面我们说过

它主要是要描述一组数据的特征

集中趋势就是描述数据

最典型的一种统计指标

对于集中趋势来讲 有很多不同的指标

今天我们来看一个

最常用也是最简单的平均数

我们又把它简称为算术平均数

首先 那么我们来看一下

集中趋势是一种什么类型的统计指标

集中趋势它作为一种统计的测量

它主要是确定了能不能代表

1个分布中心的位置 对于中心的位置

我们也可以把它理解为

是这个数据分布中

最典型的最能够代表这一组数据的一个特征

我们有时候把它叫做

是平均的典型的这样的一个个体

也就是说 对于集中趋势来讲

它想要解决的一个问题

如果说有一组数据

你想要拿一个数据来描述它的一个

最代表性的数值的话

那么这个数据就是来描述它的集中趋势的

所以我们应该注意到 就是说

可能这个典型的特征不同的数据

应该采用不同的这样的一个指标

也就是说在测量集中趋势的时候

我们后面 除了我今天说到的平均数

还会讲到一些其它的描述数据

集中趋势的特点的指标

为什么会这样

就是说 在统计里面实际上

是没有一种统计指标

它能够在任何情况下都适用

所以这也是为什么在后面的课程里面

我们会讲到好几种类型的集中趋势

这是首先给大家一个概念

那么集中趋势是描述数据的什么样的特点的

那么我们来看第一个

我们要讲的一个最重要的一个概念

也是最常用的一个统计指标算术平均数

说起算术平均数

实际上很小的时候

我们说我们其实都知道这个平均数怎么算了

这个数字我们又把它简称为是平均数

它指的就是把分布中所有的数据加起来

所以说有一个是求和

然后再除以它的个数再除以它的个数

所以我们说另外的一个

就是要除以里面的N的大小

也就是说如果是对于一个样本而言的话

就是把样本的观测都加起来

然后再除以样本的个数的多少

那么对于平均数而言

在统计里面我们前面讲到两个概念

一个是总体

那么我们知道总体就是说

你所关心的对象的全体了

那么我们说如果说

你能够得到总体里面每一个个体的观测

那么大N表示总体里面

有的人数个数的多少的话

那么我们说总体的平均数

就定义为所有数据的和除以个数

那么我这个地方的∑x

就表示的是把总体里面

每一个个体的这些数值都加起来

我们把它叫做总体平均数

但是我们前面也知道说在心理学的研究里面

我们往往是没有办法

对于总体的每一个个体进行观测的

实际上我们观测的对象是一个样本

也就是说我们能够得到的

其实只是样本的观测值

也就是说如果说你的总体里面有1万人

但可能你最后调查的时候你只调查了一百人

那么这一百是你的样本量

一百个数据是你真实能够得到的

所以在实际应用中

我们用的最多的其实只是样本平均数

那么什么叫样本平均数

就是由你这个样本实际观测所得到的

比如说我刚才说的一百

这一百个人每一个人的观测的数据加起来

然后再除以个数一百

所得到的这样的一个平均数

我们把它叫做样本平均数

注意总体平均数和样本平均数它的一个区别

那么我们说首先我在这个地方

用到了两个不同的记号

一个叫做μ 一个用M来表示

那么μ就表示的是一个总体了

我们在最开始讲到参数和统计量的时候

我们实际上讲到这样的一个指标

那么我们说这个μ

我们把它叫做一个总体的参数

这个M把它叫做一个样本的统计量

那么实际中这个μ是不知道的

M是可以通过样本的数据计算得到的

这就是它的平均数的概念

那么我们说和你小学时候

学的最主要的一个区别

就是现在你要知道有一个总体的

和样本的平均数的一个区分

那么我们说知道了它的定义以后

我们来看一下它意味着什么

这个平均数它的一个最主要的

一个性质特点是什么

它指的就是说在测量里面

中间的这样的一个位置

或者说它的一个平衡点

那么我们说在中心的平均值的地方左右的

那么我们说这些数据的和

如果说都是从中心来看的话

那么左边和右边这一加起来它应该是一样的

所以我们也把这个平均数

其实是叫做分布里面它的一个平衡点了

从这一点上来讲的话

那么我们刚才再回过去

我刚才说它的一个集中的趋势

也就是它的一个典型的特征

也就是说在这一组数据里面

有的数字会比这个均值大有的会比它小

但是这个点是它的一个平衡点

这是我们说平均数的它的一个基本的

这样的一个性质

那么我们知道如果说什么叫做平均数

然后我们说平均数的这样的

一个特点知道了以后

那么我们说它同时还满足了

以下几个重要的性质

第一个主要就是说我们说

所有的数据的和也就是说

你把样本里面观测所求到的这样的一个和

它相当于就这个组合会等于什么

就等于你的个数乘以这个平均值

这是我们在后面经常也会用到的

一个它的一个性质

也就是说这些数据的和你可以怎么计算

它其实就是这个平均数乘以这个个数了

同样的

那么我们说其实你把N除过来就是它的定义

另外的一个性质我们把它叫做离差和等于0

或者说也把它叫做离均差的和等于0

就是我刚才说到了它的平衡点的一个性质

也就有的会比M大有的会比它小

但是我们说比它大的和比它小的加起来

那么正负有一个抵消 这个值等于0

这个性质也是在统计里面

我们经常会用到的一个

我们把它叫做离差和等于0

这是我们说知道的一些性质

另外的是关于它计算的时候得有一些特点

那么知道了这个平均数以后

那么我们说在计算上可以有一些简化的方法

主要会用到的是下面的这两个性质

一个我们把它叫做每一个数据

看X每一个数据都加了一个乘数

C也就每一个数据我都加一个数字

那么我原来的数字X1X2到XN

我现在是X1加C X2加C

一直到XN加C

那么我现在目前这一组新的数据的平均数

和原来的数据的平均数有什么样的关系

这一个式子就描述的是每一个数据

都加上一个常数

C以后它的平均值

就等于原来的平均数加上这个常数C

就等于原来的平均数加上常数C

这是我们说它的一个加和的这样一个规则

另外的一个就是每一个数据X成了一个常数C

你可以把它理解为是

扩大多少倍或者是缩小多少倍

这样的 那么我们说它的平均值会变为什么

是原来的这一组数据的平均数成一个常数C

这是我们说的它的几个性质

我们这个部分我们可以看到

平均数的它的一些重要的性质

包括它计算时候的一些简化的规则

那么利用这些性质和简化的规则

我们就可以去用到这个平均数的计算里面

下面我们举几个例子

比如说第一个我们说要计算下列样本中的

这几个数据的平均数

根据前面的定义平均数的计算

首先我们要算这几个数据的和了

这五个数据的和把它加起来6+1加8+0+15

那么我们说知道这个加起来它是等于20

那么有五个数据20÷5

我们就可以得到它的平均数是等于4

这是我们说利用前面的定义直接去算它

我们说在这几个数据

我们已经知道它的平均数是4的基础上了

我们再看一下

利用刚才前面我说到的性质去算

说比如把每一个数据都增加4

那么计算它的样本平均数

我们知道前面我们说到

说每一个数据都加4的话

那么就每个数据都变成那么6+4

1+4 8+4

那么这变成了五个新的这样的一个数据

它的平均数是多少

它说你不用把它每一个数加上以后

再去算它的平均数

就相当于是原来的平均数4

再加上你每一个数据增加的4再加上4

那么我们就知道新的这一组数据

它的平均数就等于8

同样利用它的乘法的这样一个性质

是吧 每一个数据都乘以五

它的平均数会是多少

就是原来的平均数扩大五倍了

4×5等于20

所以我们说可以利用它的

这一些性质做一些简单的计算

这是我们说给出来了一组样本

同样的

那么我们说对于总体来讲也是这样的

假如说我们说总体的平均值μ等于80

那么如果每个数据都加上六

那么新的平均数是多少

那新的总体的平均数相当于

就是说要做一个平移

每一个都加六 那么新的μ就会是86

如果每一个数据都乘以二

也就是说都扩大二倍

那么新的平均数是多少

新的平均数也会扩大二倍

也就是80×2 一百六十

这是我们说利用它的一些性质来看

那么我们说利用它的一些性质

还可以去做一些简单的计算

比如说说我有一个样本

我的N是等于5

我算出来的它的平均数是等于8

现在如果说我增加了一个新的数据

这个数值是二 那么新的平均数是多少

我们前面我们说过

就是说对于平均数就相当于是

求和再除以个数

那么我们只要能够求出来新加的数据二以后

它的和是多少的话

我们就能够算出来新的平均数

那么根据前面说N有五个数据平均数是8

我们就知道五个数据它的和是多少

那么我们说它的和就等于它的个数

乘以这个均值

和知道了是40 那么又加了一个数字是2

那么加了新的数据以后

它的和就是四十二四十二

那么我们说现在是有六个数据

那么你就能够求出来说我新的和是42

我有六个数据我除一下

那么我新的平均数就是7

这是我们说可以利用我们前面说到的

它的定义以及它的一些性质特点

做一些简单的计算

那么我们再来看一个问题

有时候在调查的时候

我们会有不同的样本的这样一个数据

比如说我现在就有两个样本

第一个样本样本量12平均值六

第二个样本样本量8平均数7

那么我们说我要把这两个样本合并起来

那么整体的它的一个平均数是多少了

总的平均数是多少了

那么对于这样的一个问题来讲的话

那么我们说根据平均数的定义

我们只要知道了总和知道了总的个数

我们用总和除以总的个数

就可以得到它的一个平均值

所以我们来看我们想要

把这两个样本合并起来去求它的均值的话

其实我们就是要求出来它的总和了

也就是说我们可以就是说n1m

那么第一个数据它的第一个样本

它的总和就是它的样本量乘以它的均值

第二个它的总和样本量乘以均值

那么合并起来以后的样本量

就是两个样本量合起来

那么我们说是N1+2

我们就可以得到说我合并起来以后

我的总的均值就变为6.4

那么我们再把这个东西概括的来看一下

我们刚才所说到的思路

就是说我根据这个平均数的概念

是要求出来这个总和

然后这个总和除以总的个数

那么我们在这个里面求总和的时候

我利用到了说这个总和

是等于这个个数乘以均值的

这就是我们说刚才这样的一个问题的思路

我们再来看一下对于刚才的这个问题

我们可以把它叫做加权平均数

为什么可以把它叫做加权平均数

我们来看一下

说我们刚才计算的过程是这样的

如果我们把这个式子给它分开来写

我们就可以得到这个地方有一个值

这个地方有一个值

也就是说它的一个平均数

我们现在要求的新的平均数

她是M1和M2的一个平均值

但是它们前面有一个权重

有一个描述它们重要性程度的一个指标

那么这一个就是说N1除以总数

也就是说第一个样本量

在总的里面它所占的一个比例

我们又把它叫做M1的权重

所以我们把这一种计算平均数的方法

又叫做加权平均数的方法

那么我们一定要注意的就是说

你知道了各个样本的

平均数和各个样本的样本量的大小

要求总的平均数的时候

并不是说把原来的平均数加起来求个平均

而是要求一个加权平均权重大小

取决于它样本量在总的样本里面

它的一个占比的情况

那么我们说如果N1占的比例大

那么M1最后在这个平均数里面

它所占的权重就要大

所占的比例就要大

这是我们说到的加权平均数

有了加权平均数这样的一个概念

那么可以把它用到我们很多的情况下

去求这个平均数

那么我们说很多的比如说绩效考核里面

你可能有很多部分组成

每一个部分的比例不一样

那么你就可以用它来做这样的一个加权平均

我们来看一下加权平均数

它在计算算术平均数时候的一个应用

我这儿给大家呈现的是

我们前面的讲过的很多次讲过的

这样的一个次数分布表了

那么我们说X是列出来了

它的每一列的数据F是列出给出来了

每一个数据它的出现的次数的多少

如果在这个里面我们要根据频数分布表

去计算它的算术平均数的话我们怎么算

我们知道根据它的定义

我们还是要算它的和还是要算它的和

那么在这个地方我们就是说

每一个数据的和就和怎么算

你可以通过每一个数据

它出现的次数那是一这一个数据的

F乘以X然后我们说这个和

是把这一列数据加起来

158这20个数据的它的一个和

我们写成公式的形式

我们我们可以把它写成这样

那么下面除以多少除以就是

它的总的样本量的大小了

也就是你的观测个数的多少

在这里就是20

那么我们就可以算出来

在频数分布表里面平均值

所以在频数分布表里面

我们也可以把它看成是加权平均的一种形式

这个权重是什么来定的是

由F在总的里面所占的比例

那么你看X1它所占的所占的比例

那么我们说F1在总的里面

它的一个比重来确定的

这是我们说在频数分布表里面

在前面的频数分布里面

我们还讲过为了汇总数据的方便

讲为一种分组的频数分布表

那么我们看这是一个分组频数分布表了

如果说我是在分组的频数分布表里面的话

那么我想要从这个表格里面

去计算它的平均数 我如何计算了

在这里面我们要知道就是说

我现在我所知道的这一个值

比如说这一个里面

它是有时一个人分数是落在

70到75这样的一个区间的

但是我其实并不知道

这11个人的分数到底是多少

我只知道它落在这样的一个区间里面

所以说从现在的信息里面来看的话

我们实际上是有一些信息的损耗的

也就是说我们不知道原始数据

我们只知道它落在某一个范围里面

那这样子的话我们计算出来的平均值

只能是一个估计值

但是我们说我怎么才能去算出来

它我只知道是落在这个区间里面

那么我们前面就讲过一个组中值的概念

组中值是作为这一组的

一个典型的一个代表的值

它是这一组里面那么中间位置的这个点

所以在分组频数分布表里面

我们就用这个组中值作为这一组的

它的一个值的一个代表

比如说70到75分

这个里面我们就用72作为它的代表

然后用72×11作为它这一组的

一个和的估计值

那么这样的话我们就可以近似地算出来

在分组的频数分布表里面

它的算术平均值的大小

这是我们说到了平均数的计算

那么在统计里面我们知道

我们为了描述一组数据

我们会用到一些统计指标

比如说我们今天讲到的平均数

那么我们说在这个里面后面的推断统计里面

我们为了去描述总体的这样一个平均数

比如说我前面说到的μ它是不知道的

那么我们可能就要用M来

估计这个μ在这个里面的话

什么时候我用它来做描述

什么时候我用平均数

什么时候我不能用它

那么我们下面来看一下

这个平均数的特点和它在应用过程中

我们要注意的一些问题

首先我们来看一下它的优点

对于平均数而言的话

根据它的计算

我们看到了它是里面的每一个数据求和

然后除以个数

从利用信息量这一点来讲的话

它用到了分布中的每一个数值

通常来讲利用信息量是比较大的

那么我们说通常统计指标也有很好的代表性

所以我们说在这一点来讲

平均数是相对我后面要讲的

几个集中趋势的量数它的一个很大的优点了

另外一个在描述一组数据的分布的

形态的时候

我们今天说到的集中趋势

是说找一个点找一个最典型的

那么后面我们还会讲到描述

它的分散程度的一系列指标

我们会重点讲到的就是方差和标准差

在统计里面平均数方差

或者是标准差经常用来

联合起来了去描述大多数的

这样的一个分布的形态

比如说正态分布

我们就可以用平均数和方差结合起来

就完全描述了一个分布的形态

所以平均数也是在描述分布形态的时候

经常我们会和后面的描述

分散程度的指标结合起来共同使用的

一个指标 那么除了这一点

那么我们就说在推断统计里面

这是说描述上面的一个特点

在推断统计里面我们可能要用它来去推断

总体不知道的μ这个参数μ

那么在总体的推断里面

算术平均数它也是有很好的性质

我们在后面推断统计里面

会讲到它的比如说它的无偏性有效性

所以这也是为什么在推断统计里面

算术平均数是我们最常用的一个统计指标

那么我们说作为对于集中趋势的一个描述

可以说后面我讲到的中数或者众数

都只是对于平均数的一个补充了

我们通常会认为我们今天讲到的平均数

它是描述数据集中趋势的

最好的一个统计指标

除非这个指标它不能用

我们才会考虑其它的一些指标

但是作为一个统计指标它就有它的局限性

我们来看一下它有哪些局限性

首先我们说在一些特殊的情况下

我们为了描述这一组数据的

它的一个典型的代表性的特点的时候

可能有时候这个平均数我们没有办法算

刚才前面说到它的优点的时候

就说到每一个数据都加入运算

这时候就说如果有一些数据你不知道

可能就没有办法去算它的平均数

比如说如果数据中出现一些模糊的数据

也就是在我这个观测里面

假如说我知道每一个分数段的人数

但是我后面我说不及格的人数有十人

那么我这样的一个数据表格里面

我想要去计算它的平均数的话

那么我这个不及格就太笼统的一个东西了

那么我们可能就没有办法去知道

它的这一些数值

也没有办法找一个典型的值来估计它

这样的话我们就没有办法去算它的平均数

另外还有一种情况

那么我们说平均数

主要是来描述它的一个集中的

一个典型的一个代表值的

有时候有一些数据你用它的平均数

并不能很好的去描述它的典型的指标

比如说我们举一个例子

现在我这儿有五个数据

三 五 七 十 五十

那么我们说我们如果

去算它的算术平均数的话

我们可以算出来算术平均数它是等于15

那么我们看看在这五个数据里面

其实是只有一个数据

50它是比十五大了

然后在这里面那么四个数据都是比15小的

很显然15它并不能很好的

描述这个数据的集中趋势原因在哪

原因就在于在这个里面有五十太大了

那么我们说在这一组数据里面

如果是出现了一个特别大

或者特别小的这样一个数据

我们又把它叫做是有极端的数据

所以平均数它是容易受到极端数据的影响的

如果里面有极端数据出现的话

那么我们说平均数往往就不能

很好地去描述一组数据的典型的特点

这是我们说在应用的过程中要特别注意的

那么我们说今天我们主要讲的内容

就包括什么叫平均数

然后平均数它的一些性质特点

以及如何去计算平均数和在应用的过程中

平均数的优点和缺点

那么今天的课我们就到这

好 谢谢大家