5.2 Z分数的分布及转换在线视频

大家好

今天我们接着学习Z分数的相关知识

那么这一节课我们主要讲Z分数的分布和转换

在这一个部分我们主要让大家了解的内容

首先是使用Z分数将一个分布标准化

第二个是基于Z分数的另外的

一些其他的标准分布

最后我们还会讲到在统计推断中Z分数的应用

和异常值的确定

对于Z分数来讲的话

那么上一节课我们讲过了

Z分数它如何计算

我们回忆一下

我们知道说Z分数它实际上

就是每一个原始的分数减去

它所在的群体的平均分数除以标准差

而得来的

那么使用Z分数它可以把一个分布

转换到另外的一个分布上面

所转换得来的新的分布

我们把它叫做标准化

我们来看一下

也就是说通过Z分数的转换

分数中原来的数值X

就转换成了一个相应的Z分数

这时候原来的X的分布

就转换成了Z分数的这样的一个分布

转换得来的这个分布我们把它叫做标准化的转换

我们也可以说是把整个分布标准化了

我们来看一下

假如说有一个总体它的分布是服从

这样的一个正态分布了

平均数是一百

标准差是十

这是我们说原来的一个总体的这样一个分布

Z分数的转换

我们知道原来总体中的每一个X

都就转换为一个Z分数

现在转换后的Z分数

它所服从的分布应该是什么样的

原来的均值一百就转换到了Z分数等于0的

这样的一个位置

那么原来高于标准差

那么标准差是十

高于均值一个标准差的分数

也就是说110这个分数转化为Z分数以后

它呢Z就是等于1的

所以转换成了这样

那么原来的这样的一个分布

通过Z分数的转换就转换成了

也是这样的一个分布

我们来看它的分布的形态其实是一样的

只不过现在的尺度变了

均值转到了零的位置

高于一个标准差的110分

现在对应的Z分数是一低于均值一个标准差的

这个90分呢

它转成了Z等于负1这样的一个值

那么我们说这一种转换

我们又把它叫做通过Z分数

把一个原始的分布转换成了一个标准化的分布

这是我们说对于总体而言

下面我们来看一个样本数据的例子

也就是说如果说我们测查

得到的是一个样本的数据

这是一个样本的这样的一个数据了

我们如何通过Z分数的转换

把它转化到另外的一个分布上

同样的道理

在这个部分这是原始数据的分布

Z分数的转换就是每一个原始的数据X

通过一个变换

减去均值除以标准差

那么我们说在这一个样本数据里面

我们得到的样本均值是等于3

那么我们说这个部分这是它的样本的标准差了

那么我们可以算出来的一个数值

什么叫标准化

就是说所有的Z都减去一个均值除以标准差

那么我们现在就划到了这样的一个尺度上

那么这个分布就叫做一个Z分数转换以后

得来的这个分布

我们又把它叫做标准化的转换

这就是我们说首先使用Z分数

它可以把一个分布转换到另外的一个尺度上面

转换的这个尺度我们看到它有一个共同的特点

原来的平均数就对应于都是零了

比标准差大一的

现在对应的标准分数都是一

这是我们说分数分布的这样的一个转换

转换以后它有什么样的特点呢

那么我说它把原始的分布X的分布

转换为Z分数的分布以后具有哪一些性质

首先那么我们说Z分数的转换

它是一个线性的转换

它不会改变原始的数据在群体中的一个

位置的高低

因此那么我们说Z分数的转换

作为一个线性的转换

它同原始分数的分布的形态是完全相同的

如果说你原来的数据的分布是正态分布

转换完以后仍然会是一个正态分布

但是如果说你原来的分布它不是正态的

而是偏态的分布

那么这样的一个简单的Z分数的转换

它依然会是一个偏态的这样的一个分布

原始分数变成Z分数之后

它不会改变在分布中的一个相对的位置的高低

这是我们说它的第一个性质

另外X转化为Z以后

它都会以X的均值为中心点

也就是原来均值所对应的

Z分数里面Z分数的值都是等于0的

原来一个标准差转换了以后

那么我们说Z分数

它就会以这个标准差为单位了

所以Z分数就有一个很重要的性质

不管是什么样的分布

只要是转换为Z分数以后

Z分数的平均数将会是零

标准差永远都是一

这是我们说Z分数均值和标准差

正是因为它的平均数和标准差

有这样的一个特点

所以我们在统计上又把这样的转换

叫做标准化的分布的转换

也就是说我不管你原来的均值是多少

标准差是多少

只要通过Z分数的转换

转换完以后

这个Z分数的分布

它的均值一定是等于0的

标准差一定是等于1的

这样我们把它叫做标准化的分布

当然了基于Z分数

它同样也会有其他的解释上的一些局限性

虽然我们前面在说Z分数它的意义更加明确了

但是我们也知道Z分数通过这样的一个转换

它的平均数变成了零了

也就是说会有一些数值对应的Z分数是大于零的

有一些值是对Z分数来讲它是小于零的

那么这样子的话也就是说

转换以后的Z分数里面

它是包含有负值和一些小数的值的

在我们心理学的应用里面

比如说在我们心理测验的应用里面

经常大家对于这些小数的值或者对于负值

其实解释起来往往是有一些困难的

为了解决这样的一个问题

那么我们说我们经常还会把Z分数

再去做一个转换

也就是说转换得到的Z分数以后

再把它转换为预先设定好了的一个平均数

和标准差的这样的一个分布上面

我们构建这样的一个分布的目的

就是为了使得这个分数的

这样的一个它可解释性依然存在

而且从分数的表示上来讲更加容易理解

更加合理

那么我们说也就是通常在心理测量里面

我们讲的一个标准化的分数

也就是把Z分数再做一个转换

我们把它记作标准T分数

这个转换就是原始的分数转化为Z分数以后

那么我们说再把它去做一个线性的转换

那么我们说转换以后的T分数

它的平均分数就是这个b

标准差就是a

因此那么我们说它可以转换到

我们预先设定的一个均值

和标准差的这样的一个尺度上

比如说我们想要让转换以后的T分数

它的平均值是一百

那么我们只要让b等于100

如果我们想要让它的标准差是十

我们只要让这个a等于10就可以做到这一点

所以说测量上所用的这种标准的T分数的转换

其实是基于Z分数的转换而得来的一个转换

那么我们再来看一下

比如说那么我们说SAT的考试

和智力测验的一些分数

经常就是基于Z分数而转换得来的

另外一种形式的标准的分布

它通常第一步是把X转化为Z分数

所以我们知道这一步就是

每一个数字要减去它的平均值

再除以它的标准差

就得到Z分数

然后为了使得这个数据更加容易解释

再把Z分数转化为一个标准的T分数

那么T分数里面我们就可以转换到我们预想的

平均值和标准差

通过确定a和b的值

我们就可以转换到我们希望的这样的一个尺度上

那么这一个转换的过程

实际上是两步的线性转换了

两步的线性转换

它不会改变原始数据

在分布中的一个相对的位置

这是很重要的一点

那么我们说这样的一个分数的转换

它可以使得我们这个分数保持了Z分数

它的一个明确的意义的前提下

又符合我们的解释分数的习惯

我们来看一个例子

这是原始的数据的一个分布

那么原始的数据的分布

现在我们的平均值是57分

标准差是14

那么现在如果我想要把这个数据的分布

转换到另外的一个标准的这样的一个分布上

首先第一步我们去做Z分数的转换

也就是所有的分数要减去它的平均值57

再除以它的标准差14

那么我们把57就转到了零的这个位置

那么43就转换到了负1的这样的一个位置

如果我们想要让这个分数

它再到另外的一个尺度上

比如说我们现在想把它转换到一个

标准化的T分布的这样的一个分数上

使得它的均值等于50

标准差等于10

那么我们只要在我们转换的标准分数的基础上

做一个转换

50加上标准差是十

就是十乘以Z

所以我们的T分数的转换就是什么

T等于50+10Z

我们就会得到这样的一个分布

那么在这个分布里面

如果我们来看一个数值

比如说原来低于标准差一个标准差

那么也就是低于14分的这样的一个个体

43分

那么转化为标准分数

它对应的是负1

那么再转化为T分数

它对应的就是低于它的均值

一个标准差的位置也就是40分

这就是我们说这样的一个分数的转换

使得分数更加容易解释

而没有改变它在群体中的这样的一个位置

这是我们通过例子来说这一点

基于Z分数的转换

实际上在测验里面还是特别的常用

比如说我们经常大家会说到的IQ的这个分数

那么IQ的分数实际上来讲就是一个标准的

这样的一个T分数

也就是说首先是做了一个标准分数的转换

然后又把它转换到了平均值是一百

标准差是15的这样的一个分数上面

这在我们测验上经常会用到

那么里面就会用到一个Z分数和T分数

之间的这样的一个转换

希望大家能够理解这一点

那么我们知道了Z分数知道了一个Z分布以后

那么我们说我们就可以去判断

一个个体它到底是不是一个极端的一个个体了

怎么来讲这一件事呢

也就是说我们通常在统计里面

我们是希望通过样本的数据来推断总体的情况

或者说在心理学的研究里面

我们经常希望判断一个实验的处理

它会不会有效果

或者说它会不会对我们的实验结果有影响

如果为了判断这一点的话

我们经常就会去说

在一个样本里面我们对它做了一些处理

然后我们又去测量了

那么我们知道这个原始数据

如果我们把它转化为Z分数的话

我们怎么来看

如果说是一个典型的有代表性的个体

那么它转换完得来的Z分数

应该说在我的分布里面

它在靠近中间的位置

因为它靠近中间的位置的可能性是最大的

但是如果说接受完实验处理以后

我转换的这个Z分数它变成了一个和一般的这个个体

显著不同的这样的一个个体

我们可能就会去判断说这个个体

它可能是一个改变了的

或者说是和一般的个体有显著差异的

这样的一个个体

那么在后面的推断统计里面

我们还会返回来再去讲这一点

实际上我们说因为Z分数它可以表示一个数据

在群体中的这样的一个位置了

所以说通过我们计算它的Z分数就可以来判断

这个个体在它的这个样本的分布里面

它到底是不是一个极端的这样的一个个体

通过这一点我们经常也会用来

做异常值的一个确定

那么我们说做异常值的判断主要是来源于

下面的这一个结论

也就是说假如说一组数据它是服从正态分布的

那么我们说对于正态分布在平均数

上下一个标准差的位置

其实它所包含的这个个体的数量比例是一定的

比如说在正负1个标准差之内的区域范围

是包含了68.26%的数值

也就是说如果说一个分布是正态分布的

那么我们说这个数字

落在正负1个标准差之内的可能性就有68.26%

落在正负2个标准差之间的可能性是95.45%

落在三个标准差之内的可能性就有99.73%

也就是说如果说你随机的从一个正态分布中

去抽取一个个体的话

你抽到的这个个体落在正负3个标准差之内的可能性

是有99.73%的这样的一个可能的

正是根据这样的一个结论

我们就可以去判断一个个体

它会不会是一个极端的这样的一个数字

也就是说我们会利用

三个标准差的这样的一个原则

对于一个数据来讲

我们知道如果是一个随机的抽样

它落在三个标准差之外的可能性

其实不足0.27%了

那么我们说对于一个数据

我们就可以去计算它的标准分数

如果说它对应的标准分数的绝对值大于三了

那么我们可能就说这个数字

它是一个特别极端的值

也就是说它几乎不可能出现了

这样的一个值我们就把它

作为判断这个异常值的一个标准

这是我们说到的三个标准差的这样的一个原则

来做异常值的一个判断

那么我们说这是我们这一节课主要讲到的内容

那么在这一节课我们首先要清楚的就是说

原来的一个原始的分布

通过一个Z分数的转换

转换到另外的一个分布里面

这个分布它就有特别好的一个性质

不管原来的分布是什么样的

转换以后的Z分数的分布

它的平均值就会等于0

标准差是等于1的

因此我们又把这个分布叫做标准化的分布

对于标准化的分布

那么我们说依此我们还在测验中

去转换另外的一系列的标准分数

那么我们说基于Z分数

它和正态分布中的一个概率的关系

我们经常在推断统计

或者说作为极端数值的选取的时候

我们可能会用到的一个标准

就是来判断这个Z分数

是不是一个显著不同的这样的一个个体

也就是我们讲到的三个标准差的

这样的一个原则

这是我们这一节课主要讲的内容

好谢谢大家