视频1-5 系统的描述在线视频

大家好今天我们学习1.5节系统的描述

主要内容包括系统的描述和分类

系统的数学模型以及系统的框图表示

首先简要复习一下系统和系统分析的概念

什么是系统呢？系统是指若干相互作用相互联系的事物

按一定规律组合而成的具有特定功能的整体

在本门课程中

系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理

将其转换为所需要的输出信号

系统用方框表示不关注其内部结构

而仅关心系统响应与激励之间的关系

系统分析主要研究对于给定的系统

在输入信号作用下产生的输出信号

即求响应的问题

因此需要首先建立描述该系统基本特性的数学模型

然后用数学方法求解并对结果赋予实际含义

系统的数学模型是指从实际的物理问题抽象出来的

描述系统输入输出关系的数学表达式。根据数学模型不同

系统可分为以下几类

1.连续系统与离散系统

若系统的输入信号是连续信号

输出信号也是连续信号

则称该系统为连续时间系统简称连续系统

若系统的输入信号和输出信号均是离散信号

则称该系统为离散时间系统简称离散系统

描述连续系统的数学模型是微分方程

描述离散系统的数学模型是差分方程

2.动态系统与即时系统

若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关

而且与它过去的历史状况有关

则称为动态系统或记忆系统

含有记忆元件电容电感等的系统是动态系统

否则称为即时系统或无记忆系统

单输入单输出系统是指系统的输入输出信号都只有一个

如果系统的输入输出信号有多个

称为多输入多输出系统

关于线性系统与非线性系统

以及时不变系统与时变系统的定义

将在1.6节中深入讨论

虽然连续系统的内容各不相同

但描述连续动态系统的数学模型都是微分方程

例如图示RLC串联电路

以电压源Us(t)作激励以电容的端电压Uc(t)作为响应

由基尔霍夫定律KVL或KCL

列方程并整理可得描述该系统输入输出关系的方程

这是一个二阶系统

求解该方程需要两个初始条件Uc (0+),Uc'(0+)

抽去方程中RLC各参数具体的物理含义

并用y(t)和f(t)表示响应和激励

则上式可写成式(1)的形式

可见二阶电路系统的数学模型是二阶线性微分方程

类似的可用n 阶线性微分方程

来描述n 阶的连续动态系统如式（2）

关于微分方程及其求解方法将在第二章讨论

描述离散动态系统的数学模型是差分方程

它描述了离散系统的响应y(k)与激励f(k)的数学运算关系

由相乘, 相加, 差分等基本运算表示并相互联接

例如

设某地在第k年的人口数为y(k)

人口的出生率和死亡率分别为a和b

第k年从外地迁入的人口数为f(k)

则第k年该地区的人口总数为

y(k)=y(k-1)+ay(k-1)-by(k-1)+f(k)

整理可得

y(k)-(1-a+b)y(k-1) = f(k)

抽去方程中各参数具体的物理含义

写成一阶常系数差分方程的形式

关于差分运算、差分方程及其求解方法等将在第三章讨论

系统除用微分或差分方程描述外

还可用框图表示

方程从数学角度来说代表了某些基本运算

如微分、差分、加乘、延时等以及它们之间的运算关系

将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来

并按照方程描述的运算关系相互联接

这样画出的图称为系统的模拟框图

简称框图

在用框图描述的系统中

各单元在系统中的作用和地位可以一目了然

连续系统的数学模型是微分方程

框图中和基本运算对应的理想部件单元有积分器

加法器 数乘器它们的输入输出关系如图所示

图中箭头表示信号的传输方向

由于积分器的抗干扰性较好

而且积分器的输入信号是其输出信号的一阶导数

因此用于实现方程中的微分运算

此外

连续系统有时还会用到延迟时间为T的延时器如图所示

下面通过例题说明由框图列写方程的方法

例1某连续系统的框图如图所示写出该系统的微分方程

观察可知

系统的输出信号y(t) 就是框图中最右端积分器的输出

这样的系统较为简单

一般可直接列写加法器的输入输出关系

整理后得到系统方程

框图中有两个积分器故描述该系统的是二阶微分方程

由于积分器的输入信号是其输出信号的一阶导数

因此可得

各积分器的输入分别为y’(t)及y”(t)

如图所示

再由加法器的输入输出关系可得

y”(t) = f(t) – ay’(t) – by(t)

对上式整理后得式（3）

即该系统的微分方程注意整理方程时

要把输出y(t)及其各阶导数项放在方程的左边

输入f(t)及其各阶导数项放在方程的右边

已知例2中的框图写出系统的微分方程

观察可知

系统的输出信号y(t)不是框图最右端积分器的输出

这样的系统较为复杂 需要设中间变量

通常设最右端积分器的输出为中间变量x(t)

则各积分器的输入分别为x’(t), x”(t)如图所示

从左往右依次列写各加法器的方程

得到第一个加法器的输入输出方程

并整理得到x”(t) + 3x’(t) + 2x(t) = f(t)

列写第二个加法器的输入输出方程

y(t) = 4x’(t)+ x(t)

最后消去中间变量x(t)

得该系统的微分方程如式(4)

离散系统的数学模型是差分方程

框图中的基本部件单元有数乘器加法器迟延单元

数乘器和加法器与连续系统的符号相同

只需将表达式中的自变量t改为k

迟延单元的符号如图

输出信号是输入信号右移一位因此也称移位器

由离散框图列差分方程的方法与连续系统类似

例如某离散系统的框图如图写出该系统的差分方程

观察可知响应y(k)是框图中最左端迟延单元的输入

这样的系统较为简单

一般可直接列写加法器的输入输出关系

整理后得到系统方程

注意框图中有两个迟延单元

故描述该系统的是二阶差分方程

各迟延单元的输出分别为y(k-1)以及y(k-2)

如图所示

由加法器的输入输出关系可得

y(k) = f(k) +3y(k-1) –2y(k-2)

对上式整理后得该系统的差分方程

例4的框图较为复杂

写出系统的差分方程需要设辅助变量

通常设最左端迟延单元的输入为x(k)

则各迟延单元的输出分别为x(k-1)，x(k-2)如图所示

列写第一个加法器方程

并整理得到x(k) - 3x(k-1) + 2x(k-2) = f(k)

列写第二个加法器方程

y(k) = x(k) - 3x(k-1)

消去中间变量x(k)得该系统的差分方程

最后小结由框图列方程的基本步骤

对于简单系统可直接列写各加法器输出方程

并整理得到系统方程

对于复杂系统

列写系统方程的基本步骤是

1.设中间变量对于连续系统

设其框图最右端积分器的输出为x(t)

对于离散系统设其框图最左端迟延单元的输入为x(k)

2.写出各加法器输出信号的方程

3.消去中间变量

好本节内容就讲到这里

谢谢大家