视频 5-4 拉普拉斯变换基本性质Ⅱ在线视频

大家好

上一讲我们学习了拉普拉斯变换

基本性质中的线性

尺度变换

时移特征和复频移特征

今天我们继续学习时域的微积分

卷积定理

S域的微积分和初终值定理等基本性质

接着复频移特征学习时域的微积分特征

时域的微积分特征主要用于研究

具有初始条件的微积分方程

这里先考虑函数的初始条件f(0-)

不等于0的情形

五 时域的微分特征

若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)

收敛域为

则f(t)的一阶微分对应的

象函数为sF(s)-f(0-)

即(1)式成立

f(t)的二阶微分对应的象函数为

即(2)式成立

以此类推

f(t)的n阶微分对应的象函数

也可以求出来

如(3)式所示

若f(t)为因果信号

则f(t)的n阶微分对应的象函数为

例 已知f(t)等于

的象函数

F(s)等于

的象函数

的象函数根据欧拉公式

利用线性性质我们前面已经求过

知道结果

这里利用微分特征来求

因为f(t)等于

是因果信号

故f(t)的一阶微分对应的象函数为sF(s)

把F(s)的值代入

得f(t)的一阶微分之象函数为

s平方加1分之s平方

又因为f(t)的一阶微分等于

冲激函数的象函数为1

再利用线性性质

所以可以推出

的象函数为

时域的微分特征特别重要

是S域解LTI系统微分方程的基础

大家下点功夫

重点掌握

六 时域的积分特征

时域的积分形式有两种

一种是函数从0负到t的积分

一种是负无穷到t的积分

所以时域的积分特征也有两种形式

若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)

收敛域为

则积分0负到t

f(x)dx对应的

象函数为s分之F(s)

即(4)式成立

而积分负无穷到t

f(x)dx对应的

象函数为s分之F(s)

加s分之f(-1)(0-)

即(5)式成立

推广到n重积分

展开

则a式和b式成立

应用积分特征求拉普拉斯变换

一定要注意f(t)的积分函数

在0负时候的值

(5)式的后一项

不能省略

对于因果函数

则(5)式变成(4)式

例1

已知阶跃函数

对应的象函数为S分之一

象函数

解

应用积分特征

其对应的象函数算出为s平方分之一

二重积分

等于

等于

再应用积分特征

其象函数可算出为s立方分之一

三重积分

再一次应用积分特征

其象函数可算出为s的4次方分之一

依次类推

n重积分等于

其象函数可算出等于

s的n+1次方分之一

象函数为

s的n+1次方分之n的阶乘

例2 已知因果信号f(t)如图所示

求F(s)

该题由于f(t)的积分函数比较简单

其对应的拉普拉斯变换为F1(s)

容易求出

故采用时域的积分特征来求

解

对f(t)求导得f'(t)

f'(t)的图形如图所示

由于f(t)是因果信号

故f(0-)等于0

所以

又因为

其对应的象函数F1(s)等于

根据时域积分特征

所求的F(s)等于s分之F1(s)

代入F1(s)的值

得F(s)的表达式

七 卷积定理

类似于傅里叶变换的卷积定理

在拉普拉斯变换中也有

时域和复频域卷积定理

时域卷积定理在系统分析中更为重要

时域卷积定理指出

若f1(t)的拉普拉斯变换为F1(s)

收敛域为

f2(t)的拉普拉斯变换为F2(s)

收敛域为

则f1(t)卷积f2(t)对应的拉普拉斯变换为

F1(s)乘F2(s)

即(6)式

收敛域至少是F1(s)收敛域

与F2(s)收敛域的公共部分

简单说

时域卷积定理就是

时域卷积

复频域相乘

类似地

复频域（s域）卷积定理为

复频域卷积

时域相乘

如(7)式

但一般很少使用

应用时域卷积定理

非常方便计算时域卷积结果

比如求有始周期信号的拉普拉斯变换

前面采用时移特征和线性特征

得出结论

有始周期信号的象函数等于

其第一周期内函数之象函数

乘一个

因子

这里 我们采用时域卷积定理验证

例1 如图所示为t=0接入的

周期性矩形脉冲f(t)

求其象函数F(s)

由f(t)的图形可知

f(t)是一个脉宽为τ

周期为T的有始周期矩形脉冲

它可以看成是f0(t)

和有始周期脉冲

相卷积而得

其中f0(t)是f(t)内第一周期函数

因为f0(t)是门函数

其象函数为

有始周期脉冲信号

的象函数为

应用时域卷积定理

时域卷积

复频域相乘

和前面的结论是一致的

可以算出结果F(s)

如果令f(t)的脉宽τ等于二分之T

则f(t)信号变成占空比为二分之一的

有始单极性信号fsq1(t)

如图所示

应用时域卷积定理

复频率相乘

容易求出其象函数为Fsq1

把fsq1(t)信号右移半个周期

并把值取反

变成

再和fsq1(t)信号叠加

可得占空比为二分之一的

有始双极性信号fsq2(t)

因为

利用线性性质

可以算出Fsq2(s)

具有一定占空比的单、双极性信号

是实际通信系统中最常采用的信号

利用时域卷积定理求其拉普拉斯变换

希望大家能够掌握

时域卷积定理

应用最广之处在于解LTI系统的

零状态响应

例2 已知某LTI系统的冲激响应

求输入

零状态响应yzs(t)

解 yzs(t) 等于f(t)卷积h(t)

利用时域卷积定理

Yzs(s) 等于F(s)乘H(s)

因为f(t)的象函数为S分之一

h(t)的象函数为S加1分之一

所以Yzs(s) 等于

取Yzs(s)的逆变换

所以 很容易算出yzs(t)等于

通过拉普拉斯变换的时域卷积定理

把复杂的时域卷积计算简化为

复频域的简单乘法运算

简洁又方便

希望大家掌握

再看拉普拉斯变换的性质八

S域的微分和积分

S域的微积分定理指的是

若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)

收敛域为

则F(s)求微分对应的

原函数为(-t)乘f(t)

即(8)式成立

F(s)求n阶微分对应的原函数为

(-t)的n次方乘f(t)

即(9)式成立

S域的积分指的是(10)式

例1

对应的象函数为S分之一

应用S域微分定理和线性

可以推出

的象函数为负S分之一求导

等于S平方分之一

例2

象函数

解法1

对应的象函数为

利用S域微分定理

对应的象函数为

算出等于

再次利用S域微分定理

对应的象函数为

最后结果等于

也可以利用课件第4页公式

和时移特征来求解

解法2

根据公式

再利用时移特征

对应的象函数为

九 初值定理和终值定理

初值定理和终值定理常常用于

由F(s)直接求f(0+)和f(∞)的值

没有必要求出原函数f(t)

初值定理指的是已知F(s)

求f(0+)

设函数f(t)不包含

及其各阶导数

若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)

收敛域为

则初值定理(11)式成立

根据(11)式

已知F(s)时

依次可以求出f的初值

但一定要注意初值定理存在的条件

F(s)必须是有理真分式

不满足条件时

就会出错

终值定理指的是已知F(s)

求f(∞)

前提是t趋于无穷时

f(∞)要存在

若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)

收敛域为

则

当s趋于0时的极值

即(12)式成立

终值定理成立的条件是

S=0要在SF(s)的收敛域内

也就是要求

例1

已知

求f(0+)和f(∞)

解 利用初值定理(11)式

算出f(0+)等于1

显然 F(s)是有理真分式

满足初值定理存在的条件

故结果是正确的

利用终值定理公式(12)式

算出终值f(∞)等于0

这是错误的

因为F(s)的收敛域只是规定了

并没有确定常数的取值

不能保证S=0在SF(s)的收敛域内

如果规定了

则能应用终值定理求终值

否则 是错误的

可以验证

则其原函数为

初值f(0+)等于1

终值f(∞)

要根据α的值讨论确定

结果为(13)式

再看例题2和例题3

例2

已知

求f(0+)和f(∞)

解 利用初值定理和终值定理公式

算出f(0+)=∞

f(∞)=0

结果f(0+)等于无穷是错误的

不是有理真分式

根据F(s)

可以验证

f(0+)正确结果为负1

例3

已知

求终值f(∞)

利用终值定理公式

代入计算得终值f(∞)=0

但实际上可以验证

f(t)等于

终值f(∞)是不存在的

通过例题分析可知

应用初值定理和终值定理

一定要注意存在的条件

防止出错

最后

把单边拉普拉斯变换定义式

其逆变换定义式

常见信号的单边拉普拉斯变换

以及拉普拉斯变换的基本性质

简单小结成课件

供大家参考

掌握拉普拉斯变换及其逆变换的

定义以及各种性质

灵活综合应用它们

为以后变换域学习打好基础

今天就讲到这里

谢谢