当前课程知识点：信号与系统分析 > 第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 > 4-6 傅里叶变换的性质II > 视频4-6 傅里叶变换的性质（2）
大家好
今天我们来学习
“傅里叶变换的性质”这部分内容
前面我们已经学习了傅里叶变换性质中的
线性、反转性、对称性
尺度变换、时移特性和
频移特性六个性质
今天来学习卷积定理
时域微分特性
频域微分特性
时域积分特性
频域积分特性和帕斯瓦尔方程
这六个性质
则当信号在时域卷积
其对应的频谱在频域相乘
如（1）式所示
这就是时域卷积定理
如果信号在时域相乘
其对应的频谱为1/2pai乘上
如（2）式所示
这就是频域卷积定理
可见乘法和卷积是一对傅里叶变换对
求如图1所示三角形脉冲f(t)的频谱函数
三角形脉冲脉冲可以看作是门宽为2
门高为1的两个门函数卷积得到
这里的门函数
根据时域卷积定理
时域卷积对应频域相乘
f(t)的傅立叶变换
例2 求单位斜坡函数r(t)的频谱函数
可以将斜坡函数r(t)看做是
两个函数相乘得到
根据频域卷积定理
计算卷积
求得r(t)的频谱函数
卷积定理揭示了时间域
与频率域的运算关系
在通信系统和信号处理研究领域中
得到大量应用
我们来看下面这个例题
已知某LTI连续系统的冲激响应
h(t)
求输入在f(t)时的零状态响应y(t)
在时域里求零状态响应时
可以由激励和冲激响应的卷积来求得
利用时域卷积定理
频域里
可以转换到频域求解
f(t)是单边指数函数
求得其频谱函数F(jw)
h(t)也是一个单边指数函数
求得其频谱函数H(jw)
两者相乘得到Y(jw)
又可以写为
时域响应y(t)是对Y(jw)取逆变换
可见 利用时域卷积定理
可以将时域求响应
转化为频域求响应
这是系统频域分析的重要方法
那么信号在时域求导
其频谱函数在频域乘jw
如（3）式所示
推广到高阶形式
时域求n阶导
如（4）式所示
根据时域微分性质
在时域求导
得到结果
这和傅里叶变换定义
所求得的结果是一致的
在频域求导
时域就给f(t)乘-jt
如（5）式所示
推广到高阶
频域求n阶导
如（6）式所示
我们来看例5
求单位斜坡函数r(t)的频谱函数
之前用卷积已经进行了求解
这里我们利用频域微分性质重新求解
利用频域微分性质
在时域乘-jt
那么在频域就要进行求导
得到求导的结果
两端再约去系数-j
就得到r(t)的傅里叶变换
与前面的结论是一致的
可见 利用傅里叶变换的性质
我们可以方便灵活的
来求得信号的频谱函数
在时域积分
频域相应的变化
如（7）式所示
它的几何意义就是来求f(t)的面积
如果f(t)为奇函数
在对称区间积分为0
F(0)=0
则时域积分性质可表示为（8）式
信号在时域积分
频域里给频谱函数除以jw
利用时域积分性质
求图2（a）所示f(t)的频谱函数
f(t)可以看作是图b信号y(t)的积分
利用时域性质和前面的结论
得到频谱函数
根据时域积分性质
得到f(t)的频谱函数
在频域积分时
时域相应的变化如（9）式所示
其中 f(0)按照傅里叶变换的定义
为t=0时f(t)的值
如果f(0)=0
那么频域积分性质
就可表示为（10）式所示
信号在频域积分
时域里给f(t)除以-jt
频域积分性质
我们做简单了解即可
非周期信号f(t)是实函数
那么f(t)在时间区间(-∞,∞)上的能量
表示为f(t)乘f(t)
第2个f(t)写成傅里叶逆变换的形式
交换积分次序
中括号中的形式和
傅里叶变换的定义比较
相当于将定义中的
称为能量密度谱函数
简称为能量谱
对其积分
即为信号在频域的能量
我们就得到了帕斯瓦尔方程
如（11）式所示
说明非周期、能量信号
在时域中的归一化能量
等于其在频域中的归一化能量
能量是保持守恒的
利用帕斯瓦尔方程可以
简化一些积分运算
例7 求这样一个积分
直接进行积分计算会比较复杂
利用对称性可求得其傅里叶变换
由帕斯瓦尔方程将时域的积分
转换到频域积分
容易求得结果为pai
简化了运算
本讲主要介绍了傅里叶变换的性质
包括时域卷积定理
频域卷积定理
时域微分特性
频域微分特性
时域积分特性和频域积分特性
时域和频域的卷积、微分
积分性质之间具有一定的对称关系
最后又得到了帕斯瓦尔方程
说明了信号在时域求得的能量
与在频域求得的能量是相等的
能量保持守恒
其中 需要重点掌握的是卷积定理
本讲内容就到这里
谢谢大家
-1-1 绪言
--视频1-1 绪言
--课件1-1 绪言
--讨论题
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-1-2 信号的分类
--讨论题
-1-3 信号的基本运算
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- 1-4 阶跃函数和冲激函数
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-1-5 系统的描述
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--讨论题
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-填空题
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-2-1 LTI连续系统微分方程的经典解
--讨论题
-2-2 LTI连续系统的响应
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-2-3 冲激响应和阶跃响应
--讨论题
-2-4 卷积积分
--讨论题
-2-5 卷积积分的性质
--讨论题
-判断题
-单选题
-填空题
-讨论题
-3-1 LTI离散系统的描述及经典解
--讨论题
--讨论题
-3-2 LTI离散系统的响应
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-3-3 单位序列响应和阶跃响应
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- 3-4 卷积和及性质
--讨论题
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- 4-1 信号分解为正交函数
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-4-2 周期信号的傅里叶级数
--讨论题
-4-3 周期信号的频谱
--讨论题
-4-4 傅里叶变换
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-4-5 傅里叶变换的性质I
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- 4-6 傅里叶变换的性质II
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-4-7 周期信号的傅里叶变换
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-4-8 连续系统的频率响应
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-4-9 LTI连续系统的频域分析
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-4-10 无失真传输与低通滤波
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-4-11 取样定理
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-5-1 拉普拉斯变换定义与收敛域
--讨论题1
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- 5-2 单边及常见信号的拉普拉斯变换
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-5-3 拉普拉斯变换性质Ⅰ
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-5-4 拉普拉斯变换性质Ⅱ
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-5-5 拉普拉斯逆变换
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--讨论题
-5-6 LTI连续系统的复频域分析
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-5-7 拉普拉斯变换的应用-电路的S域分析
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-5-8 拉普拉斯变换的应用-LTI系统的S域框图
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-6-1 Z变换定义与收敛域
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-6-2 Z变换的基本性质I
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-6-5 LTI离散系统的Z域分析
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-6-6 Z变换的应用----LTI系统的Z域框图
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-8-1 基于MATLAB的信号表示与可视化
-8-2 信号时域运算的MATLAB实现
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-8-3 卷积和与卷积积分的MATLAB实现
- 8-4 LTI系统时域分析的MATLAB实现
-8-5 连续信号频域分析的的MATLAB实现
-8-6 连续系统频域分析的的MATLAB实现
-8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--视频8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--课件8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
-8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--视频8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--课件8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
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