视频 2-1 LTI连续系统微分方程的经典解在线视频

大家好

今天我们从时域分析的角度来学习

LTI连续系统微分方程的经典解

这一知识点

对于给定的激励

根据描述系统响应与激励之间的

微分方程

求出系统的响应

这个过程不涉及任何变换

直接求解系统的微分、积分方程式

方法比较简单

物理概念比较清楚

是学习各种变换方法的基础

对于单输入

单输出线性时不变系统

描述激励f(t)与响应y(t)之间关系的

数学模型是

n阶常系数线性微分方程

表示成（1）式

简写成（2）式

该微分方程的全解

也称完成解

由齐次解yh(t)加特解yp(t)组成

齐次解yh(t)是齐次微分方程的解

其函数形式由（3）式的

微分方程的特征根确定

特解yp(t)的函数形式

与激励函数的形式有关

确知了描述LTI连续系统的微分方程

是n阶的常系数线性微分方程

也明确了其经典解为齐次解加特解

那么求解的步骤如何

全解的形式怎么样呢

一般经典求解LTI连续系统

微分方程的步骤为

第一步 先求齐次解

根据齐次微分方程

写出齐次微分方程的特征方程式

再求出其特征根

由不同的特征根的形式

写出带待定系数的齐次解yh(t)

不同特征根对应的齐次解

见教材第41页的表2-1

这里要注意不同特征根

对应不同的齐次解形式

不管是哪种形式的特征根

对应的齐次解形式

都是带待定系数的

这时的待定系数暂时不能求出

应在求出特解及全解以后

由系统的初始值来确定

求出待定系数的齐次解yh(t)后

第二步求解特解yp(t)

求特解时

教材41页表2-2列出了

不同激励对应的特解形式

根据已知的激励形式

设出含待定系数的特解函数式

把其代入原微分方程

比较系数定出特解

第三步

求出齐次解和特解以后

微分方程的全解为齐次解加特解

此时的全解中齐次解的

待定系数还未知

可由已知的初始值确定解中的

待定系数

从而获得微分方程的全解

根据解题步骤

先求齐次解yh(t)

齐次解满足齐次微分方程式（3）

由式（3）写出该齐次微分方程的

特征方程式式（4）

由特征方程式求出特征根

得微分方程的齐次解

齐次解的形式分为四种情况

第一种情况是特征根均为单实根

这种情况的齐次解

为如式（5）所示的

其中的待定系数Ci

由系统的初始值待定

第二种情况是特征根有重实根

是r重实根

则齐次解中相应于

的部分有r项

其余n-r项的单根形式和第一种情况相同

齐次解的形式见式（6）

其中待定系数由初始值确定

第三种情况是特征根有一对共轭复根

则微分方程的齐次解

有式（7）的形式

待定系数C1、C2由初始值确定

第四种情况是特征根有r重共轭复根

设共有r重

则微分方程的齐次解为式（8）的形式

也要注意待定系数的值由初始值确定

求出待定系数的齐次解以后

求特解Yp(t)

特解的函数形式与激励的函数形式有关

下表列出了几种不同类型的激励函数

及其所对应的特解形式

选定特解以后

将其代入到原微分方程中

求出其待定系数Pi

就可得出特解

微分方程的完全解由齐次解Yh(t)

加上特解Yp(t)组成

由此时的完全解中只有

特解的系数是确定的

齐次解中的系数还没有确定下来

这时可根据系统给出的初始值

把完全解中的待定系数确定下来

得出完全解

齐次解的函数形式仅与

系统本身的特性有关

而与激励f(t)的函数形式无关

故称齐次解为系统的固有响应

或自由响应

特解的函数形式由激励确定

称为系统的强迫响应

为确定全解的待定系数所需要的

一组初始值

是指t=0+时刻的值

记y阶0+

简称0+值

在t=0-时

激励尚未接入

因而响应及其各阶导数在该时刻的值

y阶0-

反映了系统的历史情况而与激励无关

它们为求得t>0时的响应y(t)提供了

以往历史的全部信息

称这些在t=0-时刻的值为初始状态

简称0-值

通常

对于具体的系统

初始状态0-值常常容易求得

因此采用经典法求解LTI微分方程时

已知的是初始状态

即0-的值

而全解的待定系数是由系统的

0+值确定的

因此 涉及一个由0-求0+的问题

那么 什么情况下系统的响应及其导数

从y阶0-到y阶0+的值发生跃变呢

这就处取决于LTI连续系统

微分方程等号的右端

若微分方程等号右端不含冲激函数

及其各阶导数

那么响应y(t)在t=0处是连续的

其0+值等于0-值

即y阶0+等于y阶0-

若微分方程等号右端含有冲激函数

及其各阶导数

那么 响应y(t)在t=0处会发生跃变

y阶0+不等于y阶0-

下面以二阶系统为例

介绍由0-值求0+值的一般步骤

大体可分为四步

第一步 将输入f(t)代入微分方程

如果方程等号右端含有冲激函数

及其各阶高阶导数

根据微分方程等号两端

各奇异函数的系数相等的原理

判断方程左端y(t)的高阶

对于二阶系统为

所含冲激函数

的最高阶次

例如为

其中的r0(t)不含冲激函数及其高阶导数

带入原微分方程

根据方程等号两端

奇异函数系数相等的原理

比较微分方程等号两端冲激函数

及其各阶导数的系数

从而求得

各待定系数a、b和c

第四步

等号两端从0-到 0+

无穷小区间进行积分

求得

等号两端从0-到 0+

无穷小区间进行积分

求得y(0+)值

以二阶系统为例介绍了由0-值

求0+值的方法

求出0+值

再确定LTI连续系统经典解中的

全解中的待定系数

下面举例说明

已知系统方程

初始状态

激励为冲激函数

求y(0+)和y'(0+)

以及系统的全解

先由0-的值求0+的值

根据解法步骤

第一步把

代入微分方程

发现方程左端最高阶为

方程右端冲激函数最高阶为

故第二步可令

从-∞到t进行积分

其中的r1(t)不含冲激函数及其高阶导数

从-∞到t进行积分

求得

写成

其中的r2(t)也不含冲激函数及其高阶导数

第三步把

代入原微分方程

并整理合并方程左端冲激函数

及其一阶、二阶导数的系数

等号两端的冲激函数

及其各阶导数的系数应分别相等

得到关于常数a、b和c的方程组

从而求得a=1 b=-2 c-5

将求得的a=1和b=-2代入

并对等号两端从0-到0+的

微区间进行积分

得到

也就是说

表达式中的第一项

在0+到0-的微区间积分取值等于0

第二项积分等于-2

第三项在微区间积分为零

所以

y(0+)-y(0-)=-2

由于y(0-)已知为1

故求出y(0+)=-1

同样将a=1

b=-2

c=5代入

并在微区间0-到0+积分

最终求得

求出了初始值

再来求齐次解和特解

由微分方程可知

其特征方程为

得到二重实根

所以 齐次解为

由于激励信号为冲激函数

作用在系统上时

只改变系统的初始状态

而当t>0时

特解为零

故全解为

可算出其一阶微分

令t=0

代入y(0+)和y'(0+)的初始值

得到一个关于C1C2的

二元一次方程组

求出C1=3 C2=-1

所以系统的全解为

通过实例可知

经典法从时域解LTI连续系统

常系数线性微分方程

其全解为齐次解（自由响应）

和特解（强迫响应）

也可以从响应的角度可以分为

零输入响应 yzi(t) 和 yzs(t)

下一节再讲

今天就讲到这里

谢谢