视频 2-4 卷积积分在线视频

大家好

前面我们学习了LTI连续系统的

响应和冲激响应等知识点

今天我们来学习卷积积分

卷积积分在信号与系统中

占有非常重要的位置

可以将输入信号分解成

众多的冲激函数之和（积分）

利用输入激励和冲激响应的

卷积积分可以求解LTI系统

对任意激励的零状态响应

先看一个取值在

高度为A的门信号f1(t)

也可以表示成

该信号图形下面的面积为

它可以用一个脉宽为

高度为

其图形下面积为1的

脉冲信号p(t)表示

可以表示成

那么 任意信号是否也可以分解成

p(t)的形式呢

答案是肯定的

任意一个连续信号f(t)

可以把它分解为许多宽度为

窄脉冲

第“0”号脉冲的高度为f(0)

图形下面的面积即强度为

用P(t)表示成

第“1”号脉冲出现在

脉冲高度为

强度为

用P(t)表示成

第k个脉冲出现在

脉冲的高度为

强度为

用P(t)表示成

这样 可以将f(t)近似地看作

一系列强度不同

接入时刻不同的窄脉冲组成

表示成(1)式

极限条件下

p(t)函数变成了冲激函数

写成微变量

同时 求和改成求积分

(1)式变成(2)式

也就是说

任意信号通过分解

变成了众多脉冲函数之和

那任意信号作用在LTI系统上

其零状态响应如何呢

假设任意信号f(t)作用在

LTI系统上的零状态响应为yzs(t)

根据h(t)的定义

作用在系统上时

其零状态响应为h(t)

由时不变性

作用在系统上时

其零状态响应为

由齐次性

作用在系统上时

其零状态响应为

由叠加性

作用在系统上时

其零状态响应为

就是f(t)

可知任意信号f(t)作用在系统上时

其零状态响应yzs(t)就是

这一过程中

其基本思想是

把任意信号分解为冲激响应

这一基本单元信号

研究系统对冲激函数这一

基本单元信号的零状态响应

再根据线性时不变系统的基本规律

把这些基本单元信号

单独作用在系统上时

所引起的零状态响应叠加起来

求出任意信号作用在系统上时候的

零状态响应

由分析可知

系统的零状态响应

卷积积分

下面来看卷积积分的数学定义

已知定义在区间（ – ∞，∞）上的

两个函数f1(t)和f2(t)

定义卷积

卷积积分

简称卷积

记作f1(t)卷积f2(t)

注意

积分是在虚设的变量τ下来进行的

τ是积分变量

t是积分参变量

f(t)的结果仍为t的函数或者是常数

采用卷积计算LTI系统任一激励下的

零状态响应yzs(t)时

已知的是f(t)和h(t)

因此也要注意

先将f(t)换成f(τ)

h(t)换成h(t-τ)

τ是积分变量

表示脉冲信号出现的时刻

可以在(-∞，+∞)的区间连续变化

t是积分参变量

在积分过程中可视为定值

表示所要考察的响应时刻

卷积值yzs(t)是时间t的函数

随着要考察响应时刻的变化而变化

卷积的物理意义清楚了

到底怎么计算呢

根据卷积定义

可以直接按定义计算

也可以采用卷积的图示法

卷积的图示法过程可分为四步

第一步 换元

t换成τ

f1(t)换成f1(τ)

f2(t)换成f2(τ)

第二步 反转平移

反转平移是指把

f2(τ)反转变成f2(-τ)

再平移t个单位

变成f2(t-τ)

注意参变量t的取值

第三步 乘积

乘积是指f1(τ)和f2(t-τ)相乘

得乘积项

第四步 积分

积分是在参变量t不变时

针对自变量τ进行的

τ从 –∞到正∞对乘积项进行积分

下面举例说明

f1(t)是0到1

高度为1的门函数

f2(t)是0到1

高度为0.5的门函数

求f1(t)卷积f2(t)

我们用图示法来求解

第一步

将f1(t)

f2(t)的自变量t

用自变量τ代换

求出f1(τ)和f2(τ)

第二步

将f2(τ)反转变成f2(-τ)

再将函数f2(-τ)沿着正轴平移时间t

得到函数f2(t-τ)

这时注意

f2(t-τ)函数在参变量t<0时

门在原点的左边

左端点为t-1

右端点为t

门宽是1

第三步 先将两信号f1(τ)和f2(t-τ)相乘

第四步 再将乘积项进行积分

由f1(τ)和f2(t-τ)的图形可知

乘积项会随着参变量t的变化而变化

该题要分四种情况讨论

第一种情况是参变量t<0时

f1(τ)函数在原点的右边

f2(t-τ)函数在原点的左边

两函数没有交集

故乘积项结果为0

所以卷积的结果f(t)在

–∞到∞积分区间的结果也为0

第二种情况是参变量t

取于0小于t 小于1区间

此时

函数f1(τ)和函数f2(t-τ)的

重叠区间为0到t

在此重叠区间

f1(τ)=1

f2(t-τ)=0.5

两函数的乘积项等于0.5

所以乘积项

f1(τ)乘f2(t-τ)的积分自变量

τ的积分区间

–∞到正∞

变成了积分区间0到t

乘积项在0到t区间对自变量τ的积分

第三种情况是参变量

1小于t 小于2

此时 两函数的重叠区间为t-1到1

在此重叠区间

f1(τ)仍然等于1

f2(t-τ)仍然等于0.5

两函数的乘积项仍然等于0.5

但乘积项的积分自变量τ的积分区间

由–∞到正∞变成了t-1到1

乘积项在此区间的积分可以算出等于

1-0.5t

第四种情况是参变量t>2

此时

f1(τ)和f2(τ)完全分离

没有重叠区间

故卷积积分f(t)等于零

综合以上四种情况

画出f(t)的图形

t≤0和t>2时

f(t)等于0

0小于t 小于1时

f(t)等于0.5t

1小于t 小于等于2时

f(t)等于1-0.5t

因此

f(t)是0到2区间

中心为1

高度为0.5的三角函数

如图所示

该例题图示求解卷积

具有一定的代表性

但因其变量t的划分比较简单

再看例题2

采用卷积图示法求解系统的

零状态响应

激励f(t)和冲激响应h(t)如图所示

求零状态响应

h(t)函数形式复杂

换元为h(τ)

f(t)换元成f(τ)

f(τ)再反折成f(-τ)

再平移t得到

f(t-τ)

然后根据τ的取值

分步讨论

①t<0时

f(t-τ)向左移

h(τ)乘上f(t-τ)等于0

故

零状态响应yzs(t)=0

② 0

f(t-τ)向右移

③ 1

④ 2

⑤ 3≤t时

h(τ)乘上f(t-τ)等于0

故yzs(t)=0

通过例题可知

卷积积分图示法一般比较繁琐

但若只求某一时刻的卷积值

还是比较方便的

图示法的过程中

积分时

根据因变量t

确定自变量τ的积分上下限是关键

大家一定要理解

卷积积分也可以利用

性质和定义来进行

结合图示法去灵活计算

下一讲再讲

今天就讲到这里

谢谢