视频1-6 系统特性和分析方法在线视频

大家好今天我们学习1.6节系统特性和分析方法

主要内容包括系统的线性、时不变性、因果性和稳定性

以及LTI系统分析方法概述

LTI系统是指具有线性和时不变性的系统

是本书研究的主要系统

首先学习系统的线性性质

在本门课程中系统用方框表示不关注其内部结构

而仅关心系统响应与激励之间的关系

注意(·)表示既可以是t也可以是k

系统的激励f(t 或 k)所引起的响应y(t 或 k)

可记为y(·) = T[ f (·)]

式中的T是算子

描述了将输入信号转变为输出信号的某种运算

从数学运算的角度线性性质包括两方面：齐次性和可加性

齐次性是指系统的激励增大a倍

其响应也相应地增大a倍即算子T满足式(1)

可加性是指

系统对于和信号的响应等于各激励的响应之和

即算子T满足式(2)

若系统既是齐次的又是可加的则称该系统是线性的

此时算子T满足式(3)

下面讨论动态系统是线性系统时其响应满足的条件

已知动态系统的响应不仅与激励有关

而且与系统的初始状态｛x(0)｝有关

初始状态也称内部激励｛｝表示有多个

通常用0时刻表示电源接入电路系统的瞬间

或电路发生换路的瞬间

用0－时刻表示换路前系统储能的初始状态

以大家熟悉的RLC串联电路为例

如图所示

该系统既有初始储能il(0-)和uc(0-)，也有激励电压源Us(t)

所以系统响应uc(t)既有初始储能产生的部分

也有激励产生的部分

根据引起响应的不同原因

可定义动态系统的各种响应

例如全响应y (t 或 k)是激励与初始状态共同作用引起的

如图中的uc(t)是连续系统的全响应y(t)

零状态响应yzs(t 或 k)是只有激励作用时引起的响应

此时初始状态全为零

如图所示

响应uc(t)= yzs(t)完全由激励源引起

零输入响应yzi (t 或 k)是只有

初始状态｛x(0)｝作用时引起的响应

此时激励全为零

如图所示

响应uc(t)= yzi(t)完全由初始储能引起

最后根据线性性质

全响应可看做是激励｛f (·)｝与初始状态{x(0)}

单独作用时引起的响应之和如式(4)所示

线性系统的这一性质称为分解特性

线性动态系统的响应一定具有分解特性

也就是说

系统的全响应一定能表示为零输入响应和零状态响应之和

但是仅仅具有分解特性

并不足以把系统看做是线性的

还需要满足零状态线性和零输入线性

零状态线性是指当所有的初始状态为零时

系统的零状态响应对于多个输入信号应呈现线性

包括齐次性和可加性

零输入线性是指

当所有的输入信号为零时系统的零输入响应

对于各初始状态应呈现线性

包括齐次性和可加性

综上所述

一个既具有分解特性

又具有零状态线性和零输入线性的系统称为线性系统

否则称为非线性系统

下面来看例题

判断系统是否为线性系统

第一小题为y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1

显然 y (t)中包含x(0) f (t)

不能分解成零状态响应yzs(t) 和 零输入响应yzi(t) 之和

不满足分解特性故为非线性系统

第二小题为 y (t) = x(0)∧2 + 2 f (t)

可见 yzs(t) = 2 f (t) ，yzi(t) = x(0)∧2 显然满足分解特性

但是零输入响应yzi(t)是对激励的平方运算

在激励为a x(0)时响应为[a x(0)]∧2 =[a ∧2 ] [x(0)∧2]≠a yzi(t)

不满足齐次性故而不满足零输入线性为非线性系统

一般而言

线性系统的数学模型是线性微分或差分方程

以后各章所讨论的内容

就建立在线性性质的基础上

系统具有时不变性是指

若系统的输入延迟一定时间

其零状态响应也相应延迟一定时间

即若激励为f(t或k)时系统的零状态响应为yzs(t或k)

则对于连续系统当激励为f(t - td)时

其零状态响应为yzs(t - td)

对于离散系统

当激励为f(k - kd)时 其零状态响应为yzs(k - kd)

系统具有时不变性

说明零状态响应与激励的接入时间无关

或者系统的参数都是常数

如图所示是连续系统时不变性的示意图

满足时不变性质的系统称为时不变系统

否则称为时变系统

下面来看例题

已知y zs(t) = f (– t)判断系统是否为时不变系统

根据已知

当激励为 f( t –td)时 零状态响应为f(– t –td)

而yzs (t –td) = f [–( t – td)]

显然两者不相等故该系统为时变系统

系统时不变性的直观判断方法是

若 f (t或k) 前出现变系数或有反转

展缩变换则系统为时变系统

本课程重点讨论线性时不变系统Linear Time-Invariant

简称LTI系统

LTI系统的数学模型是线性常系数微分（或差分）方程

LTI连续系统还具有微分特性和积分特性

微分特性是指若激励为f (t)时

系统的零状态响应为yzs(t)，则当

激励为f′(t)时系统的零状态响应为y′zs(t)，同理有积分特性

根据微分特性求解例3

可得当输入为 δ(t)时的零状态响应= δ(t) –2e∧ –2t ε(t)

下面讨论系统的因果性和稳定性

人们将激励和零状态响应看做是因果关系

因此称零状态响应不出现在激励之前的系统为因果系统

如下列系统均为因果系统

而下列系统为非因果系统

因为令t = 1时有yzs(1) = 2f(2)

以及t = 1时有yzs(1) = f(2)

可见零状态响应均出现在激励之前

借用因果一词常把在t = 0时接入的信号

（即在t<0时 f(t)=0的信号）称为因果信号

一个系统若对有界的激励所产生的零状态响应也是有界的

则称该系统为有界输入有界输出稳定

即若激励的绝对值小于∞

其零状态响应的绝对值必小于∞

则称系统是稳定的

例如yzs(k) = f(k) + f(k-1)是稳定系统

而yzs(t) =∫-∞到 t f(x)dx

是不稳定系统

因为当 f(t) = ε(t) 时激励是有界的，其积分结果为tε(t)

可见当t →∞时yzs(t) →∞是无界的

关于系统的稳定性将在第七章讨论

最后概述LTI系统分析的主要内容

系统分析研究的主要问题是

对于给定的具体系统求出它对给定激励的响应

具体地说

系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答

系统分析的方法有

第一章到第七章的输入输出法也称外部法

第八章的状态变量法也称内部法

外部法分为时域法包括第二 三章和变换域法

包括第四章的连续系统频域分析方法

第五章的复频域分析方法以及第六章的离散系统z域分析方法

第七章系统特性主要研究系统函数

在求解系统的各种响应时基本思路是

(1)把零输入响应和零状态响应分开求

(2)把复杂信号分解为众多基本信号之和

根据线性系统的可加性

多个基本信号作用于线性系统所引起的响应

等于各个基本信号所引起的响应之和

采用的数学工具主要是(1)卷积积分与卷积和

(2)傅里叶变换(3)拉普拉斯变换(4)Z变换

在本门课程中

这些方法不仅是作为解方程的数学方法引入的

而且是从信号分析和信号与系统之间相互作用的观点引入的

这对于深入理解信号分析与LTI系统分析的基本概念

以及掌握它们的分析方法是大有好处的

好本节内容就讲到这里

谢谢大家