视频4-3 周期信号的频谱在线视频

大家好今天我们来学习周期信号的频谱这一知识点

主要从频谱的概念周期矩形脉冲信号的频谱

和周期信号的功率三个方面进行介绍

首先观察图1所示方波信号f(t)求它的傅立叶级数展开式

利用傅里叶系数计算公式可以得到系数a0 an都为零

bn在n为奇数时等于4/npai代入展开式

得到该方波信号的傅立叶级数如（1）式所示

看到它只含有1、3、5等奇次谐波分量

观察（1）式中除了时间变量t以外

频率也在发生变化有Ω 3Ω 5Ω等等

信号的幅度也在随之发生变化

那这三个变化的量时间 频率 幅度三者之间是什么关系

通过一个动画来直观观察

应该如何来求周期信号的频谱

还是需要通过傅里叶级数来分析

这是三角形式的傅里叶级数前面A0/2表示直流项

后面的cos这些是各次谐波分量

余弦信号有三要素幅度 频率和相位

表示出各次谐波的幅度和频率之间的关系就可以得到幅度谱

横轴表示频率的变化纵轴表示各次谐波分量幅度的大小

表示出相位和频率之间的关系就可以得到相位谱

横轴表示频率的变化纵轴表示各次谐波相位的大小

为什么这里表示的是单边幅度谱和单边相位谱呢

仔细观察三角形式的傅里叶级数展开式

这里求和区间n从1取到∞加上直流分量

n取0到∞可见n只能大于等于0频率也只能取到大于等于0的部分

即单边的

再看指数形式的傅里叶级数

Fn为复系数可以写成的形式

表示出各次谐波的幅度和频率之间的关系就可以得到幅度谱

表示出相位和频率之间的关系就可以得到相位谱

这里画出的是双边幅度谱和双边相位谱

因为n的求和范围是从-∞到∞

频率正负都可以取到就表示为双边谱

发现双边幅度谱为偶函数双边相位谱为奇函数

因为三角形式傅里叶级数和指数形式傅里叶级数

可以通过欧拉公式进行相互转换

所以这两者的实质是一样的

因为指数形式便于信号的运算

所以一般的

用指数形式的傅里叶级数来求周期信号的频谱

理解了周期信号频谱的概念

下面我们以周期矩形脉冲信号为例

来求解并分析周期信号的频谱

图3所示的周期矩形脉冲信号

脉冲宽度为τ周期为T脉冲幅度为1

要求它的频谱首先求傅里叶系数Fn

将f(t)代入Fn的计算公式

将Fn带入f(t)的展开式得到指数形傅立叶级数

画频谱的时候根据|Fn|画幅度谱根据画相位谱

观察这里的系数Fn是一个实函数那Fn为正的时候

可以将相位表示为零Fn为负的时候可以将相位表示为pai

这样就可以将幅度谱和相位谱统一到一个频谱图中

画出这个周期矩形脉冲信号的频谱如图4所示

反映出了各次谐波分量的幅度和相位的信息

谱线的长度表示出各次谐波的幅度大小

如果谱线为正表示相位为零如果谱线为负

表示相位为pai观察图4的频谱

可以发现周期矩形脉冲信号频谱的一些特点

首先很直观地看到频谱图都是一根一根离散的谱线表示

即离散性谱线间隔为

第二个特点

频谱反映了各次谐波分量的幅度和相位的信息

也就是谐波性ω=nΩ

第三个特点看到频谱的包络是Sa函数的形式

具有收敛性当|n|→ 无穷大的时候|Fn|→ 0

这些虽然是从周期矩形脉冲信号的频谱得出的特点

但它具有一般性一般周期信号的频谱也具有这些特点

从频谱收敛性的这个特点上看到

信号的大部分能量都集中在零到第一个过零点之间

把这个频带宽度叫做信号的带宽

带宽是信号在频域一个非常重要的特征

从图4和周期信号频谱的特点上观察到

时域里信号的周期T决定了频率里谱线间隔的大小

时域里信号的脉宽τ决定了频率里信号带宽的大小

那我们就来分析T和τ对频谱的影响

表1列出了周期T 脉宽τ与频谱的关系

当T不变τ减少的时候谱线间隔分母不变分子为常数

所以谱线间隔保持不变带宽Δω=2π/τ分子不变

分母减小所以带宽增大频谱幅度

分母不变分子减少所以整体减小

当T增大τ不变的时候谱线间隔分母增大

分子为常数所以间隔变小

谱线变的稠密

带宽Δω=2π/τ分母不变分子为常数带宽保持不变

频谱幅度系数分母增大分子不变总体减少

当τ不变T一直增大一直到趋于无穷大的时候

下一个周期永远无法出现

即周期信号变成了非周期信号

这时候谱线间隔分母T趋于无穷大整体趋于零

即离散谱变成了连续谱

带宽保持不变频谱幅度系数分子不变

分母趋于无穷大整体趋于零是一个无穷小量

不能够表示出频谱信息了

所以非周期信号不能够再用傅立叶级数来表示频谱

我们必须寻找其他的方法

下面这个动画直观地观察

当周期T脉冲宽度τ改变时频谱的变化

周期信号是功率有限信号

如果周期信号f(t)为实信号其平均功率定义为（2）式

这是在时域计算周期信号功率的方法

利用傅里叶级数可以表示出周期信号各分量

如何在频域求得周期信号的功率

代入f(t)的傅立叶级数展开式

f(t)平方可以写成f(t)乘f(t)

第二个f(t)用指数型傅立叶级数表示

交换求和和积分的次序观察中括号里面这一部分

结合Fn的计算公式它其实可以写成F-n

那么对于复系数Fn乘上Fn也就是|Fn|2

可见

时域里求得的信号功率就等于频域里所求得的信号功率

也可以利用指数形式和三角形式傅里叶系数的关系

|Fn|=An/2也可以表示成（4）式的形式

（3）式和（4）式都称作帕西瓦尔恒等式

它表明对于周期信号在时域中求得的信号功率

与在频域中求得的信号功率相等

信号的总功率等于直流项功率与各谐波分量功率之和

已知周期矩形脉冲信号f(t)它的周期为1

脉冲宽度套等于0.2脉冲幅度为1

计算f(t)在带宽范围内个分量的功率所占总功率的百分比

首先求得信号的总功率

将f(t)代入公式得到总功率为0.2

信号的带宽Δω=2π/τ=2π/0.2=10π

谱线间隔Ω=2π/T=2πrad/s

那么在10pai这样一个带宽范围内

以2pai为间隔可以取到五次谐波

带宽内各分量的功率和求得为0.1806比上总功率0.2为90.3%

说明带宽内信号的平均功率占到整个信号平均功率的90%以上

因此在本例中若用1到5次谐波近似原信号

已经能够满足工程分析的要求了

可见对信号传输的时候

只要传输带宽范围内的谐波分量就可以了

本讲主要介绍了周期信号的频谱

频谱包括幅度谱和相位谱

幅度谱表示信号各分量的幅度与频率的变化关系

相位谱反映了信号各分量相位与频率的变化关系

周期信号的频谱具有离散性谐波性和收敛性的特点

帕斯瓦尔方程

说明周期信号在时域求得的功率就等于在频域求得的功率

一般在时域求信号的总功率在频域求信号的分量功率

好本节内容就讲到这里

谢谢大家